Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে , [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে , [গণিত] নির্ণেয় [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

z=x+iyz=x+i y এবং (1−z1)2+(x2−1)=0.\left(1-z_1\right)^2+\left(x^2-1\right)=0 .

উত্তর

প্রদত্ত জটিল সংখ্যা =2−2i=2-2 i ধরি, x+iy=2−2ix+i y=2-2 i ∴x=2\therefore \mathrm{x}=2 এবং y=−2\mathrm{y}=-2 আমরা জানি, r2=x2+y2\mathrm{r}^2=\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2 বা, r2=(2)2+(−2)2=4+4=8r^2=(2)^2+(-2)^2=4+4=8 ∴r=22\therefore r=2 \sqrt{2} আবার, (2,−2)(2,-2) বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্পিত। ∴θ=−tan⁡−1∣yx∣=−tan⁡−1∣−22∣=−tan⁡−1∣−1∣=−tan⁡−1(1)=tan⁡−1(tan⁡π4)=−π4\begin{aligned}\therefore \theta & =-\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|=-\tan^{-1}\left|\frac{-2}{2}\right|= \\& -\tan^{-1}|-1|=-\tan^{-1}(1)=\tan^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\pi}{4}\end{aligned} ∴2−2i\therefore 2-2 i জটিল সংখ্যাটির পোলার আকৃতি =r(cos⁡θ+isin⁡θ)=22{cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4)}=r(\cos \theta+i \sin \theta)=2 \sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right\}

উত্তর

question image দেওয়া আছে, z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} এখন, ∣z+2i∣>3|z+2 i|>3 বা, ∣x+iy+2i∣>3|x+i y+2 i|>3 বা, ∣x+i(y+2)∣>3|x+i(y+2)|>3 বা, x2+(y+2)2>3\sqrt{x^2+(y+2)^2}>3 বা, x2+(y+2)2>9x^2+(y+2)^2>9 [বর্গ করে] ∴(x−0)2+{y−(−2)}2>32\therefore \quad(\mathrm{x}-0)^2+\{\mathrm{y}-(-2)\}^2>3^2 (0,−2)(0, - 2) কেন্দ্র এবং ও একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের বাইরের সকল বিন্দুকে নির্দেশ করে।

উত্তর

দেওয়া আছে , (1−z1)2+(x2−1)=0\left(1-z_1\right)^2+\left(x^2-1\right)=0 বা, (1−z1)2=−(x2−1)\left(1-z_1\right)^2=-\left(x^2-1\right) বা, (1−z1)2=i2(x2−1)[∵i2=−1]\left(1-z_1\right)^2=i^2\left(x^2-1\right)\left[\because i^2=-1\right] বা, 1−z1=ix2−11-z_1=i \sqrt{x^2-1} ∴z1=1−ix2−12=12{2−2i(x+1)(x−1)}\therefore z_1=1-i \sqrt{x^2-1^2}=\frac{1}{2}\{2-2 i \sqrt{(x+1)(x-1)}\} =12{(x+1)−(x−1)−2i(x+1)(x−1)}=12{(x+1)+i2(x−1)−2i(x+1)(x−1)}[∵i2=−1]=12{(x+1)2−2⋅x+1⋅ix−1+(ix−1)2}=12(x+1−ix−1)2∴z1=12(x+1−ix−1)2=±12(x+1−ix−1)\begin{aligned} & =\frac{1}{2}\{(x+1)-(x-1)-2 i \sqrt{(x+1)(x-1)}\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{(x+1)+i^2(x-1)-2 i \sqrt{(x+1)(x-1)}\right\}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{1}{2}\left\{(\sqrt{x+1})^2-2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot i \sqrt{x-1}+(i \sqrt{x-1})^2\right\} \\ & =\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-i \sqrt{x-1})^2 \\ \therefore \sqrt{z_1} & =\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{x+1}-i \sqrt{x-1})^2}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}-i \sqrt{x-1})\end{aligned} z1=P−iQ\sqrt{z_1}=P-i Q হলে , P−iQ=±12(x+1−ix−1)P-i Q= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}-i \sqrt{x-1}) ∴P+iQ=±12(x+1+ix−1)∴∣P+iQ∣={12(x+1)}2+{±12(x−1)}2=12(x+1)+12(x−1)=12x+12+12x−12=12x+12x=x\begin{aligned} & \therefore P+i Q= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1}+i \sqrt{x-1}) \\ & \therefore|P+i Q|=\sqrt{\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+1})\right\}^2+\left\{ \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x-1})\right\}^2} \\ &=\sqrt{\frac{1}{2}(x+1)+\frac{1}{2}(x-1)} \\ &=\sqrt{\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} x}=\sqrt{x}\end{aligned} নির্ণেয় ∣P+iQ∣=x|\mathrm{P}+\mathrm{iQ}|=\sqrt{\mathrm{x}}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন