Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ... [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] ... [গণিত] .

উত্তর: 'খ' হতে প্রাপ্ত, [গণিত] এখন, [গণিত] ... [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] ...(1) এখন, (1)নং এ [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] ... [গণিত] বা, [গণিত] ...(2) (1) নং এ x = [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] ...(3) [গণিত] আবার, (1)নং এ, [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] . [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . বা, [গণিত] . [গণিত] . (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

... হলে দেখাও যে, ... .

উদ্দীপক

question image এবং ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমূল ।

উত্তর

প্রদত্ত অসমতা : ∣2x−5∣>5|2 x-5|>5 (2x−5)(2 \mathrm{x}-5) ঋণাত্মক হলে, 2x−5>52 \mathrm{x}-5>5 বা, 2x−5+5>5+52 x-5+5>5+5 বা, 2x>102 x>10 বা, 2x2>102∴x>5\frac{2 x}{2}>\frac{10}{2} \therefore x>5 আবার, (2x−5)(2 x-5) ঋণাত্মক হলে, - (2x−5)>5(2 x-5)>5 বা, 2x−5<−52 x-5<-5 [উভয়পক্ষকে (-1) দ্বারা গুণ করে] বা, 2x−5+5<−5+52 x-5+5<-5+5 বা, 2x<02 x<0 বা, 2x2<02\frac{2 x}{2}<\frac{0}{2} ∴x<0\therefore \quad \mathrm{x}<0 নির্ণেয় সমাধান : x>5x>5 অথবা x<0x<0.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x2−x+cf(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-\mathrm{x}+\mathrm{c} এখানে, f(x)=x2−x+cf(x)=x^2-x+c বক্ররেখাটি (0,1)(0,1) দিয়ে অতিক্রম করে। অর্থাৎ, 1=02−0+c1=0^2-0+\mathrm{c} বা, c=1c=1 ∴f(x)=x2−x+1=1x+x2\therefore \quad f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-\mathrm{x}+1=1 \mathrm{x}+\mathrm{x}^2 বামপক্ষ =f(ω).f(ω2).f(ω4)=f(\omega) . f\left(\omega^2\right) . f\left(\omega^4\right) ……….\ldots\ldots\ldots. 2n\mathbf{2 n} সংখ্যক পদ =(1−ω+ω2){(1−ω2+(ω2)2}{1−ω4+(ω4)2}=\left(1-\omega+\omega^2\right)\left\{\left(1-\omega^2+\left(\omega^2\right)^2\right\}\left\{1-\omega^4+\left(\omega^4\right)^2\right\}\right. …………2n\ldots\ldots\ldots\ldots 2n সংখ্যক পদ =(1−ω+ω2)(1−ω2+ω4)(1−ω4+ω8)……..2n=\left(1-\omega+\omega^2\right)\left(1-\omega^2+\omega^4\right)\left(1-\omega^4+\omega^8\right)\ldots\ldots.. 2n সংখ্যক পদ =(1−ω+ω2)(1−ω2+ω)(1−ω+ω2)=\left(1-\omega+\omega^2\right)\left(1-\omega^2+\omega\right)\left(1-\omega+\omega^2\right)………...\ldots\ldots\ldots... 2n2n সংখ্যক পদ [∵ω3=1]\left[\because \omega^3=1\right] ={(1−ω+ω2)(1−ω+ω2)=\left\{\left(1-\omega+\omega^2\right)\left(1-\omega+\omega^2\right)\right.…………..n\ldots\ldots\ldots\ldots.. n সংখ্যক পদ} {(1−ω2+ω)(1−ω2+ω)\left\{\left(1-\omega^2+\omega\right)\left(1-\omega^2+\omega\right)\right. …………...n\ldots\ldots\ldots\ldots... n সংখ্যক পদ} =(1−ω+ω2)n(1−ω2+ω)n=\left(1-\omega+\omega^2\right)^n\left(1-\omega^2+\omega\right)^n =(1+ω2−ω)n(1+ω−ω2)n=\left(1+\omega^2-\omega\right)^n\left(1+\omega-\omega^2\right)^n =(−ω−ω)n(−ω2−ω2)n[∵1+ω+ω2=0]=(-\omega-\omega)^n\left(-\omega^2-\omega^2\right)^n\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] =(−2ω)n(−2ω2)n=(-2 \omega)^n\left(-2 \omega^2\right)^n =[(−2ω)(−2ω2)]n=[4ω3]n=4n⋅(ω3)n=\left[(-2 \omega)\left(-2 \omega^2\right)\right]^n=\left[4 \omega^3\right]^n=4^n \cdot\left(\omega^3\right)^n =(22)n⋅1n[∵ω3=1]=\left(2^2\right)^{\mathrm{n}} \cdot 1^{\mathrm{n}}\left[\because \omega^3=1\right] =22n=2^{2 \mathrm{n}} ডানপক্ষ =22n(1+ω8)(1+ω10)=2^{2 \mathrm{n}}\left(1+\omega^8\right)\left(1+\omega^{10}\right) =22n{1+(ω3)2⋅ω2}{1+(ω3)3⋅ω}=2^{2 \mathrm{n}}\left\{1+\left(\omega^3\right)^2 \cdot \omega^2\right\}\left\{1+\left(\omega^3\right)^3 \cdot \omega\right\} =22n(1+ω2)(1+ω)[∵ω3=1]=2^{2 \mathrm{n}}\left(1+\omega^2\right)(1+\omega)\left[\because \omega^3=1\right] =22n⋅(−ω)(−ω2)[∵1+ω+ω2=0]=2^{2 \mathrm{n}} \cdot(-\omega)\left(-\omega^2\right)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] =22n⋅ω3=22n⋅1[∵ω3=1]=2^{2 \mathrm{n}} \cdot \omega^3=2^{2 \mathrm{n}} \cdot 1\left[\because \omega^3=1\right] =22n=2^{2 \mathrm{n}} ∴f(ω).f(ω2).f(ω4)…….2n\therefore \quad f(\omega) . f\left(\omega^2\right) . f\left(\omega^4\right) \ldots \ldots .2 \mathrm{n} সংখ্যক পদ =22n(1+ω8)(1+ω10).=2^{2 \mathrm{n}}\left(1+\omega^8\right)\left(1+\omega^{10}\right) . (দেখানো হলো)

উত্তর

'খ' হতে প্রাপ্ত, f(x)=1−x+x2f(\mathrm{x})=1-\mathrm{x}+\mathrm{x}^2 ∴f(−x)=1−(−x)+(−x)2=1+x+x2\therefore f(-\mathrm{x})=1-(-\mathrm{x})+(-\mathrm{x})^2=1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^2 এখন, {f(−x)}n=b0+b1x+b2x2+\{f(-\mathrm{x})\}^{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_0+\mathrm{b}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}_2 \mathrm{x}^2+ ………...\ldots\ldots\ldots... +b2nx2n+b_{2 n} x^{2 n} অর্থাৎ, (1+x+x2)n=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5+b6x6+………+b2nx2n\left(1+x+x^2\right)^n=b_0+b_1 x+b_2 x^2 +b_3 x^3+b_4 x^4+b_5 x^5+b_6 x^6 +\ldots \ldots \ldots+b_{2 n} x^{2 n}…………...(1)\ldots\ldots\ldots\ldots...(1) এখন, (1)নং এ x=1\mathrm{x}=1 বসিয়ে পাই, (1+1+12)n=b0+b1+b2+b3+b4+b6+\left(1+1+1^2\right)^n=b_0+b_1+b_2+b_3+b_4+b_6+ ………...\ldots\ldots\ldots... +b2n+\mathrm{b}_{2 \mathrm{n}} বা, 3n=b0+b1+b2+b3+b4+b5+b6+3^{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_0+\mathrm{b}_1+\mathrm{b}_2+\mathrm{b}_3+\mathrm{b}_4+\mathrm{b}_5+\mathrm{b}_6+
…………...(2)(1)\ldots\ldots\ldots\ldots...(2) (1)
নং এ x=ωx = \omega বসিয়ে পাই, (1+ω+ω2)n=b0+b1ω+b2ω2+b3ω3+b4ω4+b5ω5+b5ω6+……+b2nω2n\begin{aligned}\left(1+\omega+\omega^2\right)^n=b_0+b_1 \omega+b_2 \omega^2+ & b_3 \omega^3+b_4 \omega^4+b_5 \omega^5 \\ & +b_5 \omega^6+\ldots \ldots+b_{2 n} \omega^{2 n}\end{aligned} বা, 0=b0+b1ω+b2ω2+b3+b4ω+b5ω2+b6+0=b_0+b_1 \omega+b_2 \omega^2+b_3+b_4 \omega+b_5 \omega^2+b_6+ …………...(3)\ldots\ldots\ldots\ldots...(3) [∵1+ω+ω2=0]\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] আবার, (1)নং এ, x=ω2x=\omega^2 বসিয়ে পাই, (1+ω2+ω4)n=b0+b1ω2+b2ω4+b3ω6+b4ω8+b5ω10+b6ω12+………+b2nω4n\begin{aligned}\left(1+\omega^2+\omega^4\right)^n=b_0+b_1 \omega^2+b_2 \omega^4 & +b_3 \omega^6+b_4 \omega^8+b_5 \omega^{10} \\ & +b_6 \omega^{12}+\ldots \ldots \ldots+b_{2 n} \omega^{4 n}\end{aligned} বা, (1+ω2+ω)2=b0+b1ω2+b2ω+b3+b4ω2+b5ω+b6+\left(1+\omega^2+\omega\right)^2=b_0+b_1 \omega^2+b_2 \omega+b_3+b_4 \omega^2+b_5 \omega+b_6+ ____\_\_\_\_ [∵ω3=1]\left[\because \omega^3=1\right] বা, 0=b0+b1ω2+b2ω+b3+b4ω2+b5ω+b6+………(4)0=b_0+b_1 \omega^2+b_2 \omega+b_3+b_4 \omega^2+b_5 \omega+b_6+\ldots \ldots \ldots(4) [∵1+ω+ω2=0]{\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]} এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই, 3n=3 b0+b1(1+ω+ω2)+b2(1+ω2+ω)+3 b3+b4(1+ω+ω2)+b5(1+ω2+ω)+3 b6+\begin{aligned} 3^{\mathrm{n}}=3 \mathrm{~b}_0+ & \mathrm{b}_1\left(1+\omega+\omega^2\right)+\mathrm{b}_2\left(1+\omega^2+\omega\right)+3 \mathrm{~b}_3 \\ & +\mathrm{b}_4\left(1+\omega+\omega^2\right)+\mathrm{b}_5\left(1+\omega^2+\omega\right)+3 \mathrm{~b}_6+\end{aligned} বা, 3n=3b0+b1⋅0+b2⋅0+3b3+b4⋅0+b5⋅0+3b6+….3^n=3 b_0+b_1 \cdot 0+b_2 \cdot 0+3 b_3+b_4 \cdot 0+b_5 \cdot 0+3 b_6+\ldots .. [∵1+ω+ω2=0]\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] বা, 3n=3(b0+b3+b6+……)3^n=3\left(b_0+b_3+b_6+\ldots \ldots\right) বা, 3n3=b0+b3+b6+…….\frac{3^n}{3}=b_0+b_3+b_6+\ldots \ldots .. বা, 3n−1=b0+b3+b6+…….3^{\mathrm{n}-1}=\mathrm{b}_0+\mathrm{b}_3+\mathrm{b}_6+\ldots \ldots .. ∴b0+b3+b6+……..=3n−1\therefore \quad \mathrm{b}_0+\mathrm{b}_3+\mathrm{b}_6+\ldots \ldots . .=3^{\mathrm{n}-1}. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন