Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] অথবা -1, যখন n এর মান যথাক্রমে ও দ্বারা বিভাজ্য অথবা যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর: দেওয়া আছে , [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য না হলে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একেত্রে বামপক্ষ [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য না হলে, [গণিত] এক্ষেত্রে বামপক্ষ [গণিত] আবার, [গণিত] দ্বারা বিভাজ্য না হলে, [গণিত] . এক্ষেত্রে বামপক্ষ [গণিত] অতএব, [গণিত] অথবা, -1 যখন n এর মান যথাক্রমে 3 -দ্বারা বিভাজ্য অথবা যেকোনো পূর্ণসংখ্যা। (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, অথবা -1, যখন n এর মান যথাক্রমে ও দ্বারা বিভাজ্য অথবা…

উদ্দীপক

z1=−12+32i+z2=a+ibz_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i+z_2=a+i b এবং z3=1+ix;z_3=1+i x ; যেখানে a,b,x∈Ra, b, x \in R.

উত্তর

7−30−2=7−302i=7−2.5⋅32i=25−2.5⋅32i−18=52−2.5(32i)+(32i)2[∵i2=−1]=(5−32i)2\begin{aligned} 7-30 \sqrt{-2} & =7-30 \sqrt{2} i=7-2.5 \cdot 3 \sqrt{2} i \\ & =25-2.5 \cdot 3 \sqrt{2} i-18 \\ & =5^2-2.5(3 \sqrt{2} i)+(3 \sqrt{2} i)^2\left[\because i^2=-1\right] \\ & =(5-3 \sqrt{2} i)^2\end{aligned} ∴7−30−2=±(5−32i)\therefore \sqrt{7-30 \sqrt{-2}}= \pm(5-3 \sqrt{2} i) নির্ণেয় বর্গমূল ±(5−32i)\pm(5-3 \sqrt{2} i)

উত্তর

দেওয়া আছে, z2=a+ib∴z2‾=a−ibz_2=a+i b \quad \therefore \overline{z_2}=a-i b z3=1+ix∴zˉ3=1−ixz_3=1+i x \therefore \bar{z}_3=1-i x এবং a2+b2=1a^2+b^2=1 এখন, zˉ3z3=z2‾\frac{\bar{z}_3}{z_3}=\overline{z_2} বা, 1−ix1+ix=a−ib\frac{1-i x}{1+i x}=a-i b বা, 1+ix1−ix=1a−ib\frac{1+i x}{1-i x}=\frac{1}{a-i b} [বিপরীতকরণ করে] বা, 1+ix−1+ix1+ix+1−ix=1−a+ib1+a−ib\frac{1+i x-1+i x}{1+i x+1-i x}=\frac{1-a+i b}{1+a-i b} [বিয়োজন-যোজন করে] বা, \frac{2 i x}{2}=\frac{(1-a+i b)(1+a+i b)}{(1+a-i b}(1+a+i b)} বা, i x=\frac{(1+i b-a)(1+i b+a)}{(1+a}^2-(i b)^2} =(1+ib)2−a21+2a+a2−i2b2=1+2ib+i2b2−a21+2a+a2+b2[∵i2=−1]=1+2ib−(a2+b2)1+2a+a2+b2=1+2ib−11+2a+1[∵a2+b2=1]\begin{aligned} & =\frac{(1+i b)^2-a^2}{1+2 a+a^2-i^2 b^2}=\frac{1+2 i b+i^2 b^2-a^2}{1+2 a+a^2+b^2}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{1+2 i b-\left(a^2+b^2\right)}{1+2 a+a^2+b^2}=\frac{1+2 i b-1}{1+2 a+1}\left[\because a^2+b^2=1\right]\end{aligned} বा. ix=2ib2(1+a)=ib1+ai x=\frac{2 i b}{2(1+a)}=\frac{i b}{1+a} ∴x=b1+a;\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{\mathrm{b}}{1+\mathrm{a}} ; যা x এর একটি বাস্তব মান এবং এটি zˉ3z3=z2‾\frac{\bar{z}_3}{\mathrm{z}_3}=\overline{\mathrm{z}_2} সমীকরণকে সিদ্ধ করে। (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে , z1=−12+3i2=−1+3i2=ωz_1=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3} i}{2}=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}=\omega ∴z1‾=−1−3i2=ω2\therefore \quad \overline{z_1}=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}=\omega^2 বামপক্ষ =(zi)n+(z1‾)n=ωn−(ω2)n=ωn+ω2n=\left(z_i\right)^n+\left(\overline{z_1}\right)^n=\omega^n-\left(\omega^2\right)^n=\omega^n+\omega^{2 n} n,3n, 3 দ্বারা বিভাজ্য না হলে, n=3 mn=3 \mathrm{~m}, যেখানে m∈Zm \in \mathbb{Z} একেত্রে বামপক্ষ =ω3m+ω2.3m=\omega^{3 m}+\omega^{2.3 m} =(ω3)m+(ω6)m=1m+1m[∵ω3=1]=1+1=2\begin{aligned} & =\left(\omega^3\right)^m+\left(\omega^6\right)^m \\ & =1^m+1^m\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =1+1=2\end{aligned} n,3n, 3 দ্বারা বিভাজ্য না হলে, n=3m+1n=3 m+1 এক্ষেত্রে বামপক্ষ =ω3m+1+ω2⋅(3m+1)=\omega^{3 m+1}+\omega^{2 \cdot(3 m+1)} =ω3m⋅ω1+ω6m⋅ω2=(ω3)m⋅ω+(ω3)2m⋅ω2=1m⋅ω+12m⋅ω2[∵ω3=1]=1⋅ω+1⋅ω2=ω+ω2=−1[∵1+ω+ω2=0]\begin{aligned} & =\omega^{3 m} \cdot \omega^1+\omega^{6 m} \cdot \omega^2 \\ & =\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^2 \\ & =1^m \cdot \omega+1^{2 m} \cdot \omega^2\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =1 \cdot \omega+1 \cdot \omega^2 \\ & =\omega+\omega^2 \\ & =-1\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} আবার, n,3n, 3 দ্বারা বিভাজ্য না হলে, n=3m+2n = 3m + 2. এক্ষেত্রে বামপক্ষ =ω3m+2+ω2(3m+2)=\omega^{3 m+2}+\omega^{2(3 m+2)} =ω3m⋅ω2+ω6m⋅ω4=(ω3)m⋅ω2+(ω3)2m⋅ω3⋅ω=1m⋅ω2+12m⋅1⋅ω[∵ω3=1]=1⋅ω2+1⋅1⋅ω=ω2+ω=−1\begin{aligned} & =\omega^{3 m} \cdot \omega^2+\omega^{6 m} \cdot \omega^4 \\ & =\left(\omega^3\right)^m \cdot \omega^2+\left(\omega^3\right)^{2 m} \cdot \omega^3 \cdot \omega \\ & =1^m \cdot \omega^2+1^{2 m} \cdot 1 \cdot \omega\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =1 \cdot \omega^2+1 \cdot 1 \cdot \omega=\omega^2+\omega=-1\end{aligned} অতএব, (z1)n+(zˉ1)n=2\left(z_1\right)^n+\left(\bar{z}_1\right)^n=2 অথবা, -1 যখন n এর মান যথাক্রমে 3 -দ্বারা বিভাজ্য অথবা যেকোনো পূর্ণসংখ্যা। (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন