Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে. প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] [ধরি, [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত) [গণিত] [বি: দ্র: [গণিত] এবং [গণিত] এর পরিবর্তে যথাক্রমে [গণিত] এবং [গণিত] হবে]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

হলে. প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

g(x)=p+qx+rx2, h(a, b)=a+ib.\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2, \mathrm{~h}(\mathrm{a},\mathrm{~b})=\mathrm{a}+\mathrm{ib}.

উত্তর

i+3=2i×i2(i+3)=2i×12(i2+3i)=2i×12(−1+3i)[∵i2=−1]=2ωi[∵ω=12(−1+3i)]\begin{aligned} i+\sqrt{3} & =\frac{2}{i} \times \frac{i}{2}(i+\sqrt{3})=\frac{2}{i} \times \frac{1}{2}\left(i^2+\sqrt{3} i\right) \\ & =\frac{2}{i} \times \frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} i)\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{2 \omega}{i}\left[\because \omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3} i)\right]\end{aligned} এবং i−3=2i×i2(i−3)=2i×12(i2−3i)\mathrm{i}-\sqrt{3}=\frac{2}{\mathrm{i}} \times \frac{\mathrm{i}}{2}(\mathrm{i}-\sqrt{3})=\frac{2}{\mathrm{i}} \times \frac{1}{2}\left(\mathrm{i}^2-\sqrt{3} \mathrm{i}\right) =2i×12(−1−3i)[∵i2=−1]=2ω2i[∵ω2=12(−1−3i)]\begin{aligned} & =\frac{2}{i} \times \frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} i) \quad\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{2 \omega^2}{i} \quad\left[\because \omega^2=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3} i)\right]\end{aligned} প্রদত্ত রাশি =(i+3)100+(i−3)100=(i+\sqrt{3})^{100}+(i-\sqrt{3})^{100} =(2ωi)100+(2ω2i)100=2100⋅ω100i100+2100⋅ω200i100=\left(\frac{2 \omega}{i}\right)^{100}+\left(\frac{2 \omega^2}{i}\right)^{100}=\frac{2^{100} \cdot \omega^{100}}{i^{100}}+\frac{2^{100} \cdot \omega^{200}}{i^{100}} =2100⋅(ω3)33⋅ω(i2)50+2100⋅(ω3)66⋅ω2(i2)50=\frac{2^{100} \cdot\left(\omega^3\right)^{33} \cdot \omega}{\left(i^2\right)^{50}}+\frac{2^{100} \cdot\left(\omega^3\right)^{66} \cdot \omega^2}{\left(\mathbf{i}^2\right)^{50}} =2100⋅ω1+2100⋅ω21[∵ω3=1=\frac{2^{100} \cdot \omega}{1}+\frac{2^{100} \cdot \omega^2}{1}\left[\because \omega^3=1\right. এবং i2=−1]\left.i^2=-1\right] =2100(ω+ω2)=2^{100}\left(\omega+\omega^2\right) =2100×(−1)[∵1+ω+ω2=0]=2^{100} \times(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] =−2100=-2^{100} নির্ণেয় মান : - 21002^{100}

উত্তর

দেওয়া আছে, h(a,b)=a+ib\mathrm{h}(\mathrm{a}, \mathrm{b})=\mathrm{a}+\mathrm{ib} ∴h(a,−b)=a−ib\therefore \mathrm{h}(\mathrm{a},-\mathrm{b})=\mathrm{a}-\mathrm{ib} h(x,y)=x+iyh(x, y)=x+i y এবং h(x,−y)=x−iyh(x,-y)=x-i y এখন, h(a,b)3=h(x,y)\sqrt[3]{h(a, b)}=h(x, y) হলে. a+ib3=x+iy\sqrt[3]{a+i b}=x+i y বা, a+ib=(x+iy)3a+i b=(x+i y)^3 [উভয় পক্ষকে ঘন করে] বা, a+ib=x3+3x2iy+3x(iy)2+(iy)3a+i b=x^3+3 x^2 i y+3 x(i y)^2+(i y)^3 [∵(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3]\left[\because(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3\right] বা, a+ib=x3+3x2yi−3xy2−y3i[∵i2=−1a+i b=x^3+3 x^2 y i-3 x y^2-y^3 i\left[\because i^2=-1\right. এবং i3=−i]\left.i^3=-i\right] ∴a+ib=(x3−3xy2)+(3x2y−y3)i\therefore \quad a+i b=\left(x^3-3 x y^2\right)+\left(3 x^2 y-y^3\right) i ……..(1)\ldots\ldots..(1) সমীকরণ (1)(1) হতে বাস্তব ও অবাস্তব অংশ সমীকৃত করে পাই, a=x3−3xy2a=x^3-3 x y^2 এবং b=3x2y−y3b=3 x^2 y-y^3 বামপক্ষ =a−ib3=x3−3xy2−i(3x2y−y3)3=\sqrt[3]{a-i b}=\sqrt[3]{x^3-3 x y^2-i\left(3 x^2 y-y^3\right)} =x3−3xy2−i3x2y+iy33=\sqrt[3]{x^3-3 x y^2-i 3 x^2 y+i y^3} =x3−3x2(iy)+3x(iy)2−(iy)33[∵i2=−1=\sqrt[3]{x^3-3 x^2(i y)+3 x(i y)^2-(i y)^3}\left[\because i^2=-1\right. এবং i3=−i]\left.i^3=-i\right] =(x−iy)33=x−iy=h(x,−y)==\sqrt[3]{(x-i y)^3}=x-i y=h(x,-y)= ডানপক্ষ ∴h(a,−b)3=h(x,−y):\therefore \quad \sqrt[3]{h(a,-b)}=h(x,-y): (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=l+mx+nx2\mathrm{g}(\mathrm{x})=l+\mathrm{mx}+\mathrm{nx}^2 ∴g(ω)=l+mω+nω2∴ g(ω2)=l+mω2+nω4=l+mω2+nω\begin{aligned} & \therefore \quad \mathrm{g}(\omega)=l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2 \\ & \therefore \quad \mathrm{~g}\left(\omega^2\right)=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega^4=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\end{aligned} বামপক্ষ ={g(ω)}3+{g(ω2)}3=\{g(\omega)\}^3+\left\{g\left(\omega^2\right)\right\}^3 =(l+mω+nω2)3+(l+mω2+nω)3=\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2\right)^3+\left(l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\right)^3 =x3+y3=\mathrm{x}^3+\mathrm{y}^3 [ধরি, x=l+mω+nω2,y=l+mω2+nω]\left.\mathrm{x}=l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2, \mathrm{y}=l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\right] =(x+y)(x2−xy+y2)=(x+y){x2+(−1)xy+12y2}=(x+y){x2+(ω+ω2)xy+ω3y2}=(x+y)(x2+xyω+xyω2+y2ω3)=(x+y){x(x+yω)+yω2)(x+yω)}=(x+y)(x+yω)(x+yω2)=(l+mω+nω2+l+mω2+nω)(l+mω+nω2+lω+mω3+nω)(l+mω+nω2+lω2+mω4+nω3)={2l+m(ω+ω2)+n(ω+ω2)}{l(1+ω)+m(1+ω)+2nω2}{l(1+ω2)+2 mω+n(1+ω2)}=(2a−m−n)(−lω2−mω2+2nω2)(−lω+2 mω−nω)=(2l−m−n)(−l−m+2n)(−l−n+2 m)ω2.ω\begin{aligned} & =(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{xy}+\mathrm{y}^2\right)=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}^2+(-1) \mathrm{xy}+1^2 \mathrm{y}^2\right\} \\ & =(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}^2+\left(\omega+\omega^2\right) \mathrm{xy}+\omega^3 \mathrm{y}^2\right\} \\ & =(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{xy} \omega+\mathrm{xy} \omega^2+\mathrm{y}^2 \omega^3\right) \\ & \left.=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left\{\mathrm{x}(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega)+\mathrm{y} \omega^2\right)(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega)\right\} \\ & =(\mathrm{x}+\mathrm{y})(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y} \omega^2\right) \\ & =\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2+l+\mathrm{m} \omega^2+\mathrm{n} \omega\right)\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2\right. \\ & \\ & \left.+l \omega+\mathrm{m} \omega^3+\mathrm{n} \omega\right)\left(l+\mathrm{m} \omega+\mathrm{n} \omega^2+l \omega^2+\mathrm{m} \omega^4+\mathrm{n} \omega^3\right) \\ & =\left\{2 l+\mathrm{m}\left(\omega+\omega^2\right)+\mathrm{n}\left(\omega+\omega^2\right)\right\}\{l(1+\omega) \\ & \left.+\mathrm{m}(1+\omega)+2 \mathrm{n} \omega^2\right\}\left\{l\left(1+\omega^2\right)+2 \mathrm{~m} \omega+\mathrm{n}\left(1+\omega^2\right)\right\} \\ & =(2 \mathrm{a}-\mathrm{m}-\mathrm{n})\left(-l \omega^2-\mathrm{m} \omega^2+2 \mathrm{n} \omega^2\right)(-l \omega+2 \mathrm{~m} \omega-\mathrm{n} \omega) \\ & =(2 l-\mathrm{m}-\mathrm{n})(-l-\mathrm{m}+2 \mathrm{n})(-l-\mathrm{n}+2 \mathrm{~m}) \omega^2 . \omega\end{aligned} =(2l−m−n)(2n−l−m)(2 m−l−n)=(2l+l)(2n+n)(2 m+m)=3l.3n.3 m\begin{aligned} & =(2 l-\mathrm{m}-\mathrm{n})(2 \mathrm{n}-l-\mathrm{m})(2 \mathrm{~m}-l-\mathrm{n}) \\ & =(2 l+l)(2 \mathrm{n}+\mathrm{n})(2 \mathrm{~m}+\mathrm{m}) \\ & =3 l .3 \mathrm{n} .3 \mathrm{~m}\end{aligned} =27/mn==27 / \mathrm{mn}= ডানপক্ষ ∴{f(ω)}3+{f(ω2)}3}=27lmn\left.\therefore \quad\{f(\omega)\}^3+\left\{f\left(\omega^2\right)\right\}^3\right\}=27 \mathrm{lmn}. (প্রমাণিত) l+m+n=0l=−m−nm=−l−nn=−m−l\begin{aligned} & l+\mathrm{m}+\mathrm{n}=0 \\ & l=-\mathrm{m}-\mathrm{n} \\ & \mathrm{m}=-l-\mathrm{n} \\ & \mathrm{n}=-\mathrm{m}-l\end{aligned} [বি: দ্র: l,ml,m এবংnn এর পরিবর্তে যথাক্রমে p,qp, q এবং rr হবে]
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন