Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয় , তবে z এবং [গণিত] এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

উত্তর: ধরি, [গণিত] এবং, [গণিত] দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এর মান [গণিত] নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর মান [গণিত] নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] এর জন্য, [গণিত] এবং [গণিত] এর জন্য, [গণিত] z এর জন্য ঢাল, [গণিত] আবার, [গণিত] এর জন্য ঢাল; [গণিত] এবং [গণিত] এর মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] যেহেতু বিন্দুটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত] [গণিত] নির্ণেয় কোণ [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

যদি এবং হয় , তবে z এবং এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos \theta+i \sin \theta)

উত্তর

বামপক্ষ =(1−ω+ω2)2+(1+ω−ω2)2=\left(1-\omega+\omega^2\right)^2+\left(1+\omega-\omega^2\right)^2 =(−ω−ω)2+(−ω2−ω2)[∵1+ω+ω2=0]=(−2ω)2+(−2ω2)2+4ω2+4ω4=4ω2+4ω3⋅ω=4ω2+4ω[∵ω3=1]\begin{aligned} & =(-\omega-\omega)^2+\left(-\omega^2-\omega^2\right)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] \\ & =(-2 \omega)^2+\left(-2 \omega^2\right)^2+4 \omega^2+4 \omega^4=4 \omega^2+4 \omega^3 \cdot \omega \\ & =4 \omega^2+4 \omega\left[\because \omega^3=1\right]\end{aligned} =4(ω2+ω)=4(−1)=−4==4\left(\omega^2+\omega\right)=4(-1)=-4= ডানপক্ষ ∴(1−ω+ω2)2+(1+ω−ω2)2=−4\therefore \quad\left(1-\omega+\omega^2\right)^2+\left(1+\omega-\omega^2\right)^2=-4. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos \theta+i \sin \theta)……(i)\ldots\ldots(i) ধরি, x=rcos⁡θx=r \cos \theta এবং y=rsin⁡θy=r \sin \theta তাহলে, x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θx^2+y^2=r^2 \cos^2 \theta+r^2 \sin^2 \theta =r2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=r2⋅1=r2=r^2\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right)=r^2 \cdot 1=r^2 (i)(i) নং হতে পাই, z=rcos⁡θ+irsin⁡;θz=r \cos \theta+i r \sin ; \theta বा, z=x+iyz=x+i y ∴∣z∣=x2+y2=r2=r\therefore \quad|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2}=r এখন, ∣z∣=r=1|z|=r=1 এবং θ=−π4\theta=-\frac{\pi}{4} হলে, (i)(i) নং হতে পাই, z=1×cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4)=cos⁡π4−isin⁡π4[∵cos⁡(−θ)=cos⁡θ]=12−i12=12(1−i)\begin{aligned} z & =1 \times \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\cos \frac{\pi}{4}-i \sin \frac{\pi}{4}[\because \cos (-\theta)=\cos \theta] \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}-i \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\end{aligned} বা, 2.z=1−i\sqrt{2} . z=1-i বা, (2.z)2=(1−i)2(\sqrt{2 . z})^2=(1-i)^2 [বর্গ করে] বা, 2z2=1−2i+i22 z^2=1-2 i+i^2 বা, 2z2=1−2i−1[∵i2=−1]2 z^2=1-2 i-1 \quad\left[\because i^2=-1\right] বা, 2z2=−2i2 z^2=-2 i বা, z2=−iz^2=-i বা, z4=i2z^4=i^2 ∴z4=−1\therefore \quad z^4=-1 প্রদত্ত রাশি, $
=z6+z4+z2+1=(z2)3+(−1)+(−i)+1=(−i)3−1−i+1=−i3−i=−i2⋅\begin{aligned} & =z^6+z^4+z^2+1 \\& =\left(z^2\right)^3+(-1)+(-i)+1=(-i)^3-1-i+1 \\& =-i^3-i=-i^2 \cdot \end{aligned}
i-i=-(-1) ⋅i−i=i−i=0\cdot i-i=i-i=0$ নির্ণেয় মান : 00.

উত্তর

ধরি, x=rcos⁡θx=r \cos \theta এবং, y=rsin⁡θy=r \sin \theta দেওয়া আছে, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos \theta+i \sin \theta) বা, z=rcos⁡θ+irsin⁡θz=r \cos \theta+i r \sin \theta বা, z=x+iyz=x+i y বা, ∣z∣=x2+y2|z|=\sqrt{x^2+y^2} বা, 2=x2+y2[∵∣z∣=2]2=\sqrt{x^2+y^2} \quad[\because|z|=2] ∴x2+y2=4\therefore \quad x^2+y^2=4…...(i)\ldots...(i) এবং θ=2π3=tan⁡−1(yx)\theta=\frac{2 \pi}{3}=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) বা, yx=tan⁡(2π3)=−3\frac{y}{x}=\tan \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-\sqrt{3} ∴y=−3x\therefore \quad y=-\sqrt{3} x …...(ii)\ldots...(ii) yy এর মান (i)(i) নং এ বসিয়ে পাই, x2+(−3x)2=4x^2+(-\sqrt{3} x)^2=4 বা, x2+3x2=4x^2+3 x^2=4 বা, 4x2=44 x^2=4 বা, x2=1x^2=1 ∴x=±1\therefore \quad \mathrm{x}= \pm 1 xx এর মান (ii)(ii)নং এ বসিয়ে পাই, y=−3(±1)=±3y=-\sqrt{3}( \pm 1)= \pm \sqrt{3} ∴(1,3)\therefore \quad(1, \sqrt{3}) এর জন্য, z=1+i3z=1+i \sqrt{3} ∴zˉ=1−i3\therefore \quad \bar{z}=1-\mathrm{i} \sqrt{3} এবং (−1,−3)(-1,-\sqrt{3}) এর জন্য, z=−1−i3\mathrm{z}=-1-\mathrm{i} \sqrt{3} ∴zˉ=−1+i3\therefore \quad \bar{z}=-1+\mathrm{i} \sqrt{3} z এর জন্য ঢাল, m1=3+31+1=232=3\mathrm{m}_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1+1}=\frac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} আবার, zˉ\bar{z} এর জন্য ঢাল; m2=−3−31+1=−232=−3\mathrm{m}_2=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{1+1}=\frac{-2 \sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3} ∴z\therefore \quad \mathrm{z} এবং z‾\overline{\mathrm{z}} এর মধ্যবর্তী কোণ =tan⁡−1 m1−m21+m1 m2=\tan^{-1} \frac{\mathrm{~m}_1-\mathrm{m}_2}{1+\mathrm{m}_1 \mathrm{~m}_2} =tan⁡−13+31−3⋅3=tan⁡−1(23−2)=\tan^{-1} \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) =π−tan⁡−13⋅[=\pi-\tan^{-1} \sqrt{3} \cdot[ যেহেতু বিন্দুটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত] =π−π3=2π3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} নির্ণেয় কোণ 2π3\frac{2 \pi}{3}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন