Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] আবার, [গণিত] এখানে, [গণিত] হলো একককর একটি কাল্পনিক ঘনমূল। [গণিত] অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি [গণিত] ধরি, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত) [বি: দ্র: x, y ও z এর পরিবর্তে যথাক্রমে a, b ও c হবে]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

a+b+c=0\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0 হলে, প্রমাণ কর যে, p3+q2=27abc\mathrm{p}^3+\mathrm{q}^2=27 \mathrm{abc}

উত্তর

দেওয়া আছে, x+y+z=Rx+y+z=R আবার, R=0∴x+y+z=0R=0 \quad \therefore x+y+z=0 এখানে, ω\omega হলো একককর একটি কাল্পনিক ঘনমূল। ∴\therefore \quad অপর কাল্পনিক ঘনমূলটি =ω2=\omega^2 ধরি, x+yω+zω2=ax+y \omega+z \omega^2=a এবং x+yω2+zω=bx+y \omega^2+z \omega=b ∴(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b)(a2+b2−ab)=(a+b){(a+b)2−2ab−ab}=(a+b){(a+b)2−3ab}\begin{aligned} & \therefore \quad\left(x+y \omega+z \omega^2\right)^3+\left(x+y \omega^2+z \omega\right)^3=a^3+b^3 \\ &=(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right) \\ &=(a+b)\left(a^2+b^2-a b\right) \\ &=(a+b)\left\{(a+b)^2-2 a b-a b\right\} \\ &=(a+b)\left\{(a+b)^2-3 a b\right\}\end{aligned} এখন, a+b=(x+yω+zω2)+(x+yω2+zω)a+b=\left(x+y \omega+z \omega^2\right)+\left(x+y \omega^2+z \omega\right) =2x+y(ω+ω2)+z(ω+ω2)=2x+y(−1)+z(−1)[∵1+ω+ω2=0∴ω+ω2=−1]=2x−y−z=3x−(x+y+z)=3x−0[∵x+y+z=0]=3x\begin{aligned} & =2 x+y\left(\omega+\omega^2\right)+z\left(\omega+\omega^2\right) \\ & =2 x+y(-1)+z(-1)\left[\because 1+\omega+\omega^2=0 \therefore \omega+\omega^2=-1\right] \\ & =2 x-y-z=3 x-(x+y+z) \\ & =3 x-0[\because x+y+z=0] \\ & =3 x\end{aligned} এবং ab=(x+yω+zω2)(x+yω2+zω)a b=\left(x+y \omega+z \omega^2\right)\left(x+y \omega^2+z \omega\right) =x2+xyω2+zxω+xyω+y2ω3+yzω2+zxω2+yzω4+z2ω3=x2+xy(ω2+ω)+zx(ω+ω2)+yz(ω2+ω2)+y2+z2[∵ω3=1]=x2+y2+z2−xy−yz−zx[1+ω+ω2=0]\begin{aligned} & =x^2+x y \omega^2+z x \omega+x y \omega+y^2 \omega^3+y z \omega^2+z x \omega^2+y z \omega^4+z^2 \omega^3 \\ & =x^2+x y\left(\omega^2+\omega\right)+z x\left(\omega+\omega^2\right)+y z\left(\omega^2+\omega^2\right)+y^2+z^2\left[\because \omega^3=1\right] \\ & =x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\left[1+\omega+\omega^2=0\right]\end{aligned} =x2+(y+z)2−2yz−yz−x(y+z)=x^2+(y+z)^2-2 y z-y z-x(y+z) =x2+(−x)2−3yz−x(−x)[∵x+y+z=0]=x^2+(-x)^2-3 y z-x(-x)[\because x+y+z=0] =x2+x2−3yz+x2=3x2−3yz=x^2+x^2-3 y z+x^2=3 x^2-3 y z বামপক্ষ =(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=\left(x+y \omega+z \omega^2\right)^3+\left(x+y \omega^2+z \omega\right)^3 =(a+b){(a+b)2−3ab}=3x{(3x)2−3(3x2−3yz)}=3x(9x2−9x2+9yz)\begin{aligned} & =(a+b)\left\{(a+b)^2-3 a b\right\} \\ & =3 x\left\{(3 x)^2-3\left(3 x^2-3 y z\right)\right\} \\ & =3 x\left(9 x^2-9 x^2+9 y z\right)\end{aligned} =3x×9yz=27xyz=L=3 \mathrm{x} \times 9 \mathrm{yz}=27 \mathrm{xyz}=\mathrm{L} ডানপক্ষ ∴(x+yω+zω2)3+(x+yω2+zω)3=27xyz\therefore \quad\left(x+y \omega+z \omega^2\right)^3+\left(x+y \omega^2+z \omega\right)^3=27 x y z. (প্রমাণিত) [বি: দ্র: x, y ও z এর পরিবর্তে যথাক্রমে a, b ও c হবে]
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
হলে, প্রমাণ কর যে, | Prosthuti