Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] [ঘन করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . i. [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 3: জটিল সংখ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 3: জটিল সংখ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

M=x−i3,y=(p+iq)13M=x-i^3, y=(p+i q)^{\frac{1}{3}}

উত্তর

ক দেওয়া আছে, i−49+x=0\mathrm{i}^{-49}+\mathrm{x}=0 বা, 1i49+x=0\frac{1}{\mathrm{i}^{49}}+\mathrm{x}=0 বা, 1i4×12⋅i+x=0\frac{1}{\mathrm{i}^{4 \times 12} \cdot \mathrm{i}}+\mathrm{x}=0 বা, 1i+x=0[∵i4n=1]\frac{1}{i}+x=0 \quad\left[\because i^{4 n}=1\right] বা, ii2+x=0\frac{i}{\mathrm{i}^2}+\mathrm{x}=0 বা, i−1+x=0\frac{i}{-1}+x=0 বা, −i+x=0-i+x=0 ∴x=i\therefore \quad \mathrm{x}=\mathrm{i} প্রদত্ত রাশি =x3+2x2+x+2=x^3+2 x^2+x+2 =i3+2i2+i+2=i2⋅i+2i2+i+2=−i−2+i+2[∵i2=−1]=0\begin{aligned} & =i^3+2 i^2+i+2=i^2 \cdot i+2 i^2+i+2 \\ & =-i-2+i+2\left[\because i^2=-1\right] \\ & =0\end{aligned} নির্ণেয় মান : 0 .

উত্তর

দেওয়া আছে, M=x−i3yM=x-i^3 y বা, M=x−i.i2,yM=x-i . i^2, y বা, M=x−i(−1)⋅y[∵i2=−1]M=x-i(-1) \cdot y \quad\left[\because i^2=-1\right] ∴M=x+iy\therefore \quad \mathrm{M}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} এখন, ∣M+6∣+∣M−6∣=20|M+6|+|M-6|=20 বা, ∣x+iy+6∣+∣x+iy−6∣=20|x+i y+6|+|x+i y-6|=20 বা, ∣(x+6)+iy∣+∣(x−6)+iy∣=20|(x+6)+i y|+|(x-6)+i y|=20 বা, (x+6)2+y2+(x−6)2+y2=20\sqrt{(x+6)^2+y^2}+\sqrt{(x-6)^2+y^2}=20 বা, (x+6)2+y2=20−(x−6)2+y2\sqrt{(x+6)^2+y^2}=20-\sqrt{(x-6)^2+y^2} বা, {(x+6)2+y2}2={20−(x−6)2+y2}2\left\{\sqrt{(x+6)^2+y^2}\right\}^2=\left\{20-\sqrt{(x-6)^2+y^2}\right\}^2 [বর্গ করে] বা, (x+6)2+y2=(20)2−2×20×(x−6)2+y2(x+6)^2+y^2=(20)^2-2 \times 20 \times \sqrt{(x-6)^2+y^2} +{(x−6)2+y2}2+\left\{\sqrt{(x-6)^2+y^2}\right\}^2 বা, (x+6)2+y2=400−40(x−6)2+y2+(x−6)2+y2(x+6)^2+y^2=400-40 \sqrt{(x-6)^2+y^2}+(x-6)^2+y^2 বা, x2+12x+36+y2=400−40x2−12x+36+y2x^2+12 x+36+y^2=400-40 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} +x2−12x+36+y2+x^2-12 x+36+y^2 বা, x2+12x+36+y2−400−x2+12x−36−y2x^2+12 x+36+y^2-400-x^2+12 x-36-y^2 =−40x2−12x+36+y2=-40 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} বা, 24x−400=−40x2−12x+36+y224 x-400=-40 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} বা, 8(3x−50)=−40x2−12x+36+y28(3 x-50)=-40 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} বা, 3x−50=−5x2−12x+36+y23 x-50=-5 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2} বা, (3x−50)2=(−5x2−12x+36+y2)2(3 x-50)^2=\left(-5 \sqrt{x^2-12 x+36+y^2}\right)^2 [বর্গ করে] বা, 9x2−300x+2500=25(x2−12x+36+y2)9 x^2-300 x+2500=25\left(x^2-12 x+36+y^2\right) বা, 9x2−300x0+2500=25x2−300x+900+25y29 x^2-300 x_0+2500=25 x^2-300 x+900+25 y^2 বা, 25x2−9x2+25y2−300x+300x=2500−90025 x^2-9 x^2+25 y^2-300 x+300 x=2500-900 ∴16x2+25y2=1600\therefore \quad 16 x^2+25 y^2=1600 নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ 16x2+25y2=160016 x^2+25 y^2=1600.

উত্তর

দেওয়া আছে, M=x−i3y=(p+iq)13M=x-i^3 y=(p+i q)^{\frac{1}{3}} বা, M=x+iy=(p+iq)13M=x+i y=(p+i q)^{\frac{1}{3}} এখন, x+iy=(p+iq)13x+i y=(p+i q)^{\frac{1}{3}} বা, (x+iy)3=p+iq(x+i y)^3=p+i q [ঘन করে] বা, x3+3⋅x2⋅iy+3⋅x⋅(iy)2+(iy)3=p+iqx^3+3 \cdot x^2 \cdot i y+3 \cdot x \cdot(i y)^2+(i y)^3=p+i q বা, x3+3ix2y+3x.i2⋅y2+i3y3=p+iqx^3+3 i x^2 y+3 x . i^2 \cdot y^2+i^3 y^3=p+i q বা, x3+3ix2y+3x(−1)y2+i2\mathrm{x}^3+3 i \mathrm{x}^2 \mathrm{y}+3 \mathrm{x}(-1) \mathrm{y}^2+\mathrm{i}^2. i. y3=p+iq[∵i2=−1]\mathrm{y}^3=\mathrm{p}+\mathrm{iq}\left[\because \mathrm{i}^2=-1\right] বা, x3+3ix2y−3xy2−iy3=p+iqx^3+3 i x^2 y-3 x y^2-i y^3=p+i q বা, (x3−3xy2)+i(3x2y−y3)=p+iq\left(x^3-3 x y^2\right)+i\left(3 x^2 y-y^3\right)=p+i q এখন, উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, p=x3−3xy2=x(x2−3y2)p=x^3-3 x y^2=x\left(x^2-3 y^2\right) এবং q=3x2y2−y3=y(3x2−y2)q=3 x^2 y^2-y^3=y\left(3 x^2-y^2\right) বামপক্ষ =p2x−q2y=x(x2−3y2)2x−y(3x2−y2)2y=\sqrt{\frac{p}{2 x}-\frac{q}{2 y}}=\sqrt{\frac{x\left(x^2-3 y^2\right)}{2 x}-\frac{y\left(3 x^2-y^2\right)}{2 y}} =x2−3y22−3x2−y22=x2−3y2−3x2+y22=−2x2−2y22=−2(x2+y2)2\begin{aligned} & =\sqrt{\frac{x^2-3 y^2}{2}-\frac{3 x^2-y^2}{2}}=\sqrt{\frac{x^2-3 y^2-3 x^2+y^2}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{-2 x^2-2 y^2}{2}}=\sqrt{\frac{-2\left(x^2+y^2\right)}{2}}\end{aligned} =−(x2+y2)=i2(x2+y2)=ix2+y2==\sqrt{-\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{i^2\left(x^2+y^2\right)}=i \sqrt{x^2+y^2}= ডানপক্ষ ∴p2x−q2y=ix2+y2\therefore \sqrt{\frac{p}{2 x}-\frac{q}{2 y}}=i \sqrt{x^2+y^2} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 3: জটিল সংখ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=∣x−3∣g(x)=p+qx+rx2\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}-3| \\ & \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{p}+\mathrm{qx}+\mathrm{rx}^2\end{aligned}

Barisal · 2017

ক
15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
খ
f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}
গ
p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, {g(ω)}3+{g(ω2)}3=ax\{\mathrm{g}(\omega)\}^3+\left\{\mathrm{g}\left(\omega^2\right)\right\}^3=\mathrm{a}^{\mathrm{x}} pqr যেখানে ω\omega এককের কাল্পনিক ঘনমুল এবং a=x=3\mathrm{a}=\mathrm{x}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

f(x)<17\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{7} হলে প্রমাণ কর যে, ∣x2−9∣<4349\left|\mathrm{x}^2-9\right|<\frac{43}{49}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

15+8i15+8 \mathrm{i} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x+iy=2e−iθx+\mathrm{iy}=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i \theta}} দৃশ্যকল্প-২ : F=y−2xF=y-2 x শর্তগুলি : x+2y≤6,x+y≥4,x,y≥0x+2 y \leq 6, x+y \geq 4, x, y \geq 0

Jessore · 2017

ক
z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে F\mathrm{F} এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, x2+y2=4\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=4.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

z=x+iy\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} হলে, ∣z+i∣=∣zˉ+2∣|\mathrm{z}+\mathrm{i}|=|\bar{z}+2| দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

z=−2−23iz=-2-2 \sqrt{3} i একটি জটিল রাশি।

Sylhet · 2017

ক
x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}
খ
Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।
গ
কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(\sqrt{\mathrm{z}}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

x+iy=p+iqr+isx+i y=\sqrt{\frac{p+i q}{r+i s}} হলে দেখাও (x2+y2)2=p2+q2r2+s2\left(x^2+y^2\right)^2=\frac{p^2+q^2}{r^2+s^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর: z=x+iy;∣z+5∣+∣z−5∣=15\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} ;|\mathrm{z}+5|+|\mathrm{z}-5|=15 …………..(i)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (i) 2x+3x−3<x+3x−1\frac{2 x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1} ………………...(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots... (ii)

Chittagong · 2017

ক
এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

p + q + r = 0 হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] pqr যেখানে [গণিত] এককের কাল্পনিক ঘনমুল এব[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত][গণিত] এর বর্গমূল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামটি হতে লৈখিক পদ্ধতিতে [গণিত] এর সর্বোচ্দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] দ্বারা নির্দেশিত সঞারপথ নির্ণয় কর।কোনো ত্রিঘাত সমীকরণের একটি মূল z এবং মূলগুলির গুণফল ৪০ হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] হলে দেখাও [গণিত]উদ্দীপক-২ এ বর্ণিত অসমতাটির সমাধান কর এবং সংখ্যারেখায় দেখাও।উদ্দীপক-১ হতে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।এককের ঘনমূলসমূহ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন