Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর ডোমেন নির্ণয় করে রেঞ্জ নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়। [গণিত] হবে যদি [গণিত] হয়। এখন, [গণিত] হবে যদি (i) [গণিত] এবং [গণিত] হয়, অথবা (ii) [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] ডোমেন [গণিত] (ii) নং হতে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] ডোমেন [গণিত] প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন, [গণিত] (i) ও (ii) থেকে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] হবে যদি [গণিত] হয়। অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয় [গণিত] প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ [গণিত] নির্ণেয় ডোমেন [গণিত] এবং রেঞ্জ [গণিত] ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন · সৃজনশীল

এর ডোমেন নির্ণয় করে রেঞ্জ নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

f(x)=ln⁡2x+32x−3f(\mathrm{x})=\ln \frac{2 \mathrm{x}+3}{2 \mathrm{x}-3} একটি লগারিদমিক ফাংশন এবং p=223+2−23\mathrm{p}=2^{\frac{2}{3}}+2^{-\frac{2}{3}}।

Dhaka · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, xxx3=(xx3)x\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \sqrt[3]{\mathrm{x}}=(\mathrm{x} \sqrt[3]{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} বা, (xx)x3=(x⋅x13)x=(x1+13)x=(x43)x=(xx)43(\mathrm{x}^{\mathrm{x}}) \sqrt[3]{\mathrm{x}}=\left(\mathrm{x} \cdot \mathrm{x}^{\frac{1}{3}}\right)^{\mathrm{x}}=\left(\mathrm{x}^{1+\frac{1}{3}}\right)^{\mathrm{x}}=\left(\mathrm{x}^{\frac{4}{3}}\right)^{\mathrm{x}}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}}\right)^{\frac{4}{3}} বা, x3=43\sqrt[3]{\mathrm{x}}=\frac{4}{3} বা, (x3)3=(43)3(\sqrt[3]{\mathrm{x}})^3=\left(\frac{4}{3}\right)^3 [ঘন করে] ∴x=6427\therefore \mathrm{x}=\frac{64}{27} নির্ণেয় মান: x=6427\mathrm{x}=\frac{64}{27}।

উত্তর

[বি.দ্র.: প্রশ্নটি অসঙ্গতিপূর্ণ। প্রশ্নে 2a3+6a=52 \mathrm{a}^3+6 \mathrm{a}=5 এর পরিবর্তে 2a3+6a=32 \mathrm{a}^3+6 \mathrm{a}=3 ধরে সমাধান করা হলো] দেওয়া আছে, p=223+2−23\mathrm{p}=2^{\frac{2}{3}}+2^{-\frac{2}{3}} এখন, p=a2+2\mathrm{p}=\mathrm{a}^2+2 হলে, 223+2−23=a2+22^{\frac{2}{3}}+2^{-\frac{2}{3}}=\mathrm{a}^2+2 বা, a2=223+2−23−2\mathrm{a}^2=2^{\frac{2}{3}}+2^{-\frac{2}{3}}-2 বা, a2=(213)2+(2−13)2−2⋅213⋅2−13\mathrm{a}^2=\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2+\left(2^{-\frac{1}{3}}\right)^2-2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} [∵213⋅2−13=20=1\because 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}=2^0=1] বা, a2=(213−2−13)2\mathrm{a}^2=\left(2^{\frac{1}{3}}-2^{-\frac{1}{3}}\right)^2 বা, a=213−2−13\mathrm{a}=2^{\frac{1}{3}}-2^{-\frac{1}{3}} [বর্গমূল করে] বা, a3=(213−2−13)3\mathrm{a}^3=\left(2^{\frac{1}{3}}-2^{-\frac{1}{3}}\right)^3 [ঘন করে] বা, a3=(213)3−(2−13)3−3⋅213⋅2−13(213−2−13)\mathrm{a}^3=\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3-\left(2^{-\frac{1}{3}}\right)^3-3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}\left(2^{\frac{1}{3}}-2^{-\frac{1}{3}}\right) বা, a3=2−2−1−3⋅20⋅a\mathrm{a}^3=2-2^{-1}-3 \cdot 2^0 \cdot \mathrm{a} [213−2−13=a2^{\frac{1}{3}}-2^{-\frac{1}{3}}=\mathrm{a}] বা, a3=2−12−3⋅1⋅a=32−3a\mathrm{a}^3=2-\frac{1}{2}-3 \cdot 1 \cdot \mathrm{a}=\frac{3}{2}-3 \mathrm{a} বা, 2a3=3−6a2 \mathrm{a}^3=3-6 \mathrm{a} ∴2a3+6a=3\therefore 2 \mathrm{a}^3+6 \mathrm{a}=3 (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=ln⁡2x+32x−3f(\mathrm{x})=\ln \frac{2 \mathrm{x}+3}{2 \mathrm{x}-3} লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়। ∴f(x)∈R\therefore f(\mathrm{x}) \in \mathbb{R} হবে যদি 2x+32x−3>0\frac{2 \mathrm{x}+3}{2 \mathrm{x}-3}>0 হয়। এখন, 2x+32x−3>0\frac{2 \mathrm{x}+3}{2 \mathrm{x}-3}>0 হবে যদি (i) 2x+3>02 \mathrm{x}+3>0 এবং 2x−3>02 \mathrm{x}-3>0 হয়, অথবা (ii) 2x+3<02 \mathrm{x}+3<0 এবং 2x−3<02 \mathrm{x}-3<0 হয়। (i) নং হতে পাই, 2x>−32 \mathrm{x}>-3 এবং 2x>32 \mathrm{x}>3 বা, x>−32\mathrm{x}>-\frac{3}{2} এবং x>32\mathrm{x}>\frac{3}{2} ∴\therefore ডোমেন ={x∈R:x>−32}∩{x∈R:x>32}=(−32,∞)∩(32,∞)=(32,∞)=\left\{\mathrm{x} \in \mathbb{R}: \mathrm{x}>-\frac{3}{2}\right\}\cap\left\{\mathrm{x} \in \mathbb{R}: \mathrm{x}>\frac{3}{2}\right\}=\left(-\frac{3}{2}, \infty\right) \cap\left(\frac{3}{2}, \infty\right)=\left(\frac{3}{2}, \infty\right) (ii) নং হতে পাই, 2x<−32 \mathrm{x}<-3 এবং 2x<32 \mathrm{x}<3 বা, x<−32\mathrm{x}<-\frac{3}{2} এবং x<32\mathrm{x}<\frac{3}{2} ∴\therefore ডোমেন ={x∈R:x<−32}∩{x∈R:x<32}=(−∞,−32)∩(−∞,32)=(−∞,−32)=\left\{\mathrm{x} \in \mathbb{R}: \mathrm{x}<-\frac{3}{2}\right\}\cap\left\{\mathrm{x} \in \mathbb{R}: \mathrm{x}<\frac{3}{2}\right\}=\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right) \cap\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)=\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right) ∴\therefore প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন, Df=\mathrm{D}_f= (i) ও (ii) থেকে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ =(32,∞)∪(−∞,−32)=R−[−32,32]=\left(\frac{3}{2}, \infty\right) \cup\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)=\mathbb{R}-\left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right] ধরি, y=f(x)=ln⁡2x+32x−3\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\ln \frac{2 \mathrm{x}+3}{2 \mathrm{x}-3} বা, ey=2x+32x−3\mathrm{e}^{\mathrm{y}}=\frac{2 \mathrm{x}+3}{2 \mathrm{x}-3} বা, 2xey−3ey=2x+32 \mathrm{xe}^{\mathrm{y}}-3 \mathrm{e}^{\mathrm{y}}=2 \mathrm{x}+3 বা, 2xey−2x=3ey+32 \mathrm{xe}^{\mathrm{y}}-2 \mathrm{x}=3 \mathrm{e}^{\mathrm{y}}+3 বা, 2x(ey−1)=3(ey+1)2 \mathrm{x}(\mathrm{e}^{\mathrm{y}}-1)=3(\mathrm{e}^{\mathrm{y}}+1) বা, x=3(ey+1)2(ey−1)\mathrm{x}=\frac{3(\mathrm{e}^{\mathrm{y}}+1)}{2(\mathrm{e}^{\mathrm{y}}-1)} এখন, x∈R\mathrm{x} \in \mathbb{R} হবে যদি 2(ey−1)≠02(\mathrm{e}^{\mathrm{y}}-1) \neq 0 হয়। অর্থাৎ, ey−1≠0\mathrm{e}^{\mathrm{y}}-1 \neq 0 বা, ey≠1\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \neq 1 বা, ey≠e0\mathrm{e}^{\mathrm{y}} \neq \mathrm{e}^0 বা, y≠0\mathrm{y} \neq 0 হয় ∴\therefore প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ =R−{0}=\mathbb{R}-\{0\} নির্ণেয় ডোমেন =R−[−32,32]=\mathbb{R}-\left[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right] এবং রেঞ্জ =R−{0}=\mathbb{R}-\{0\}।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৯ : সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=−6xf(x)=-6^x ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

xy+yx=18\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}=18 হলে প্রমাণ করো যে, log⁡(x−y)=2log⁡2+12log⁡x+12log⁡y\log (x-y)=2 \log 2+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

ax=by=cza^x=b^y=c^z এবং b=ac\sqrt{b}=a c হলে দেখাও যে, 1x+1z=12y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2 y}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

log⁡10(100+x2−8x+15)=2\log_{10}\left(100+\sqrt{x^2-8 x+15}\right)=2 হলে xx এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

xxx=(xx)x\mathrm{x}^{\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}}=(\mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}})^{\mathrm{x}} হলে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

f(x)=ln⁡1−x1+xf(x)=\ln \frac{1-x}{1+x} ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

প্রমাণ করো যে, xlog⁡ay=ylog⁡axx^{\log_a y}=y^{\log_a x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

a2−b3=0a^2-b^3=0 হলে দেখাও যে, (ab)32+(ba)23=a+1b3\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

cos⁡a=32,π2<a<π\cos \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\mathrm{a}<\pi হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

সমাধান করো : 4x−3x−12=3x+12−22x−14^x-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2 x-1}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P=523+513P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}} এবং Q=log⁡k(7+x)log⁡kxQ=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}

Sylhet · 2024

ক
(27)x=(81)y(27)^x=(81)^y হলে, xy\frac{x}{y} এর মান নির্ণয় কর।
খ
Q=2Q=2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292 x-1=\sqrt{29}.
গ
P=x−2\mathrm{P}=\mathrm{x}-2 হলে, প্রমাণ কর যে, x3−6x2−3x−8=0\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2-3 \mathrm{x}-8=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

Q=2\text{Q} = 2 হলে, প্রমাণ কর যে, 2x−1=292\text{x} - 1 = \sqrt{29}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।[গণিত] হলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত][গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।সমাধান করো : [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন