Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: L.H.S [গণিত] যেখান, [গণিত] = 1 = R.H.S

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

sin⁡θ=35\sin\theta=\frac{3}{5} এবং A=π12A=\frac{\pi}{12}

Dhaka · 2022

উত্তর

cos⁡75∘=cos⁡(45∘+30∘)\cos 75^{\circ}= \cos \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) =cos⁡45∘⋅cos⁡30∘−sin⁡45∘⋅sin⁡30∘= \cos 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} =12⋅32−12⋅12= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} =322−122= \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}-\frac{1}{2 \sqrt{2}} =3−122×22=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} [22[\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} দ্বারা গুণ করে ] =6−24=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} =14(6−2)=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) (Showed)

উত্তর

দেওয়া আছে, sin⁡θ=35\sin \theta=\frac{3}{5} ∴cosec⁡⁡θ=53\therefore \operatorname{\cosec} \theta=\frac{5}{3} sin⁡2θ=925\sin^2 \theta=\frac{9}{25} ⇒1−cos⁡2θ=925\Rightarrow 1-\cos^2 \theta=\frac{9}{25} ⇒cos⁡2θ=1−925\Rightarrow \cos^2 \theta=1-\frac{9}{25} ⇒cos⁡2θ=1625\Rightarrow \cos^2 \theta=\frac{16}{25} ∴cos⁡θ=±45\therefore \cos \theta= \pm \frac{4}{5} ∵π2<θ<H\because \frac{\pi}{2}<\theta<H ∴cos⁡θ=−45\therefore \cos \theta=-\frac{4}{5} ∴tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=35−45=−34\therefore \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{-4}{5}}=-\frac{3}{4} এবং cot⁡θ=−43\cot \theta=-\frac{4}{3} এখন, cot⁡θ+cos⁡(−θ)cosec⁡⁡(−θ)+tan⁡θ=cot⁡θ+cos⁡θ−cosec⁡⁡θ+tan⁡θ\frac{\cot \theta+\cos (-\theta)}{\operatorname{\cosec}(-\theta)+\tan\theta}=\frac{\cot \theta+\cos \theta}{-\operatorname{\cosec} \theta+\tan \theta} =−43−45−53−34=\frac{-\frac{4}{3}-\frac{4}{5}}{-\frac{5}{3}-\frac{3}{4}} =−(43+45)4−(−5+3)=\frac{-\left(\frac{4}{3}+\frac{4}{5}\right)^4}{-(-5+3)} 20+1215\frac{20+12}{15} =20+912=\frac{20+9}{12} =3215×1229=\frac{32}{15} \times \frac{12}{29} =128145=\frac{128}{145} (Ans)

উত্তর

L.H.S =tan⁡Atan⁡3Atan⁡5Atan⁡7Atan⁡11A=\tan A \tan 3 A \tan 5 A \tan 7 A \tan 11 A যেখান, A=π12A=\frac{\pi}{12} A=15∘A=15^{\circ} ∴ L.H.S =tan⁡15∘tan⁡45∘tan⁡75∘tan⁡105∘tan⁡165∘\therefore \text{ L.H.S }=\tan 15^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 75^{\circ} \tan 105^{\circ} \tan 165^{\circ} =tan⁡15∘⋅1⋅tan⁡(90∘−15∘)tan⁡(90+15)tan⁡(180−15)=\tan 15^{\circ} \cdot 1 \cdot \tan \left(90^{\circ}-15^{\circ}\right) \tan (90+15) \tan (180-15) =tan⁡15∘⋅cot⁡15∘(−cot⁡15∘)(−tan⁡15∘)=\tan 15^{\circ} \cdot \cot 15^{\circ}\left(-\cot 15^{\circ}\right)\left(-\tan 15^{\circ}\right) = 1 = R.H.S
HSCHigher Math 1st PaperChapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

cosec⁡⁡AT−sin⁡A=m,sec⁡A−cos⁡A=n\operatorname{\cosec} A_T-\sin A=m, \sec A-\cos A=n P=tan⁡θ+sin⁡θP=\tan \theta+\sin \theta এবং Q=tan⁡θ−sin⁡θQ=\tan \theta-\sin \theta.
ক
sin⁡(4x+1)\sin (4x + 1) এর পর্যায় কত?
খ
দেখাও যে, tan⁡A=nm3\tan A=\sqrt[3]{\frac{n}{m}}
গ
দেখাও যে, P² - Q² = 4\sqrtPQ.\sqrtPQ.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
x=acos⁡2A+bsin⁡2Ax=a \cos^2 A+b \sin^2 A হলে, প্রমাণ কর যে, (x−a)(b−x)=(a−b)2sin⁡2Acos⁡2A(x-a)(b-x)=(a-b)^2 \sin^2 A \cos^2 A
খ
DEF অংশের ক্ষেত্রফল 13.09 হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
ACB অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image দৃশ্যকল্প-২: sin⁡C+sin⁡D=p,cos⁡C+cos⁡D=q\sin \mathrm{C}+\sin \mathrm{D}=\mathrm{p}, \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{D}=\mathrm{q}

Barisal · 2017

ক
tan⁡θ=ba\tan \theta=\frac{b}{a} হলে acos⁡θ+bsin⁡θacos⁡θ−bsin⁡θ\frac{a \cos \theta+b \sin \theta}{\mathrm{a} \cos \theta-\mathrm{b} \sin \theta} এর মান নির্ণয় কর ।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, sin⁡C−D2=±124−p2−q2\sin \frac{C-D}{2}= \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Chittagong · 2017

ক
sin⁡(A−B+C)\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}) কে বিস্তৃত কর।
খ
1sec⁡A=1cosec⁡⁡C−1sec⁡B\frac{1}{\sec \mathrm{A}}=\frac{1}{\operatorname{\cosec} \mathrm{C}}-\frac{1}{\sec \mathrm{B}} হলে দৃশ্যকল্প-২ এ অঙ্কিত চিত্রের কোন কোণটি সমকোণ, নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-১ এ PEF একটি বৃত্তকলা হলে, EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Rajshahi · 2017

ক
x-এর সাপেক্ষে x\geqsin(lnx)\geqsin(lnx) এর অন্তরজ নির্ণয় কর ।
খ
উদ্দীপকের সাহায্যে মান নির্ণয় কর: cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ−2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma
গ
উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Dhaka · 2017

ক
বৃত্তকলা ABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
ABDC এর পরিসীমা নির্ণয় কর।
গ
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: h(x)=sin⁡mx\mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{mx}. দৃশ্যকল্প-২ : question image

Combined · 2018

ক
প্রমাণ কর থে, sin⁡44∘+cos⁡44∘=2cos⁡1∘\sin 44^{\circ}+\cos 44^{\circ}=\sqrt{2} \cos 1^{\circ}.
খ
m=4\mathrm{m}=4 হলে, h(x)\mathrm{h}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর যখন 0∘≤x≤180∘0^{\circ} \leq \mathrm{x} \leq 180^{\circ}.
গ
AB=5\mathrm{AB}=5 সে.মি. হলে গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △ABC\triangle A B C এর A=75∘,B−C=15∘A=75^{\circ}, B-C=15^{\circ} দৃশ্যকল্প-২: question image

Jessore · 2019

ক
cos⁡30∘32′cos⁡29∘28′−sin⁡149∘28′sin⁡29∘28′\cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime}-\sin 149^{\circ} 28^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime} এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী দেখাও যে, cos⁡C6=122+2+3\cos \frac{C}{6}=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী ত্রিভুজটির সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: AA কলেজ থেকে একজন সাইকেল আরোইী প্রতি মিনিটে 250 মিটার বেগে BB কলেজে পৌছাল। কলেজ দুটি পৃথিবীর কেন্দ্রে 1∘5′1^{\circ} 5^{\prime} কোণ উৎপন্ন করে। দৃশ্যকল্প-২: f(x)=sin⁡x4f(x)=\sin \frac{x}{4}

Jessore · 2019

ক
tan⁡θ=512,π<θ<3π2\tan \theta=\frac{5}{12}, \pi<\theta<\frac{3 \pi}{2} হলে, sin⁡(−θ)+cos⁡θ\sin (-\theta)+\cos \theta এর মান নির্ণয় কর।
খ
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6440 কি.মি. হলে সাইকেল আরোহীর AA কলেজ থেকে BB কলেজে যেতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে তা নির্ণয় কর।
গ
y=f(8x);−π≤x≤πy=f(8 x) ;-\pi \leq x \leq \pi এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ∠AOC=90∘,OA=2\angle A O C=90^{\circ}, O A=2 এবং P=tan⁡θtan⁡2θtan⁡5θP=\tan \theta \tan 2 \theta \tan 5 \theta

Chittagong · 2019

ক
sec⁡x=−2\sec x=-2 এবং π<x<3π2\pi<x<\frac{3 \pi}{2} হলে প্রমাণ কর যে, cos⁡x+tan⁡x=23−12\cos x+\tan x=\frac{2 \sqrt{3}-1}{2}
খ
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
θ=40∘\theta=40^{\circ} হলে প্রমাণ কর যে, P=3P=\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ question image দৃশ্যকল্প-২ f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x

Sylhet · 2019

ক
দেখাও যে, tan⁡65∘=tan⁡25∘+2tan⁡40∘\tan 65^{\circ}=\tan 25^{\circ}+2 \tan 40^{\circ}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ বৃত্তের ক্ষেত্রেল 49π49 \pi হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে 0≤x≤π0 \leq \mathrm{x} \leq \pi ব্যবধিতে f(2x)f(2 x) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প -১ : f(x)=sinxf(x) = sinx দৃশ্যকল্প -২ : OABCO A B C একটি রম্বস এবং OACO A C বৃত্তকলা OO কেন্দ্রিক বৃত্তের অংশ। question image

Dinajpur · 2019

ক
sin⁡x+16cosec⁡⁡x=8\sin x+16 \operatorname{\cosec} x=8 হলে প্রমাণ কর যে, sin⁡nx+cosec⁡⁡nx=22n+2−2n\sin^n x+\operatorname{\cosec}^n x=2^{2 n}+2^{-2 n}
খ
দৃশ্যকল্প – ২ হতে ABCA আংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প -১ হতে y=f(π2−2x);−π≤x≤πy=f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) ;-\pi \leq x \leq \pi এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দেখাও যে, P² - Q² = 4 [গণিত] .ACB অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ PEF একটি বৃত্তকলা হলে, EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।[গণিত] সে.মি. হলে গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী ত্রিভুজটির সমাধান কর।[গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।দৃশ্যকল্প -১ হতে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন