Chapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত Higher Math 1st Paper

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

ক

$x=a \cos^2 A+b \sin^2 A$ হলে, প্রমাণ কর যে, $(x-a)(b-x)=(a-b)^2 \sin^2 A \cos^2 A$

উত্তর

দেওয়া আছে, x = a $\cos$² A + b $\sin$² A বামপক্ষ = (x - a) (b - x) $\begin{aligned} & =\left(a \cos^2 A+b \sin^2 A-a\right)\left(b-a \cos^2 A-b \sin^2 A\right) \\ & =\left\{b \sin^2 A-a\left(1-\cos^2 A\right)\right\}\left\{b\left(1-\sin^2 A\right)-a \cos^2 A\right\} \\ & =\left(b \sin^2 A-a \sin^2 A\right)\left(b \cos^2 A-a \cos^2 A\right) \\ & =(b-a) \sin^2 A \cdot(b-a) \cos^2 A \\ & =(b-a)^2 \sin^2 A \cdot \cos^2 A \\ & =\{-(a-b)\}^2 \sin^2 A \cos^2 A \\ & =(a-b)^2 \sin^2 A \cos^2 A\end{aligned}$ = ডানপক্ষ $\therefore(x-a)(b-x)=(a-b)^2 \sin^2 A \cos^2 A$ (প্রমাণিত)

খ

DEF অংশের ক্ষেত্রফল 13.09 হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণ, $\theta$ = 60° $=\frac{60 \times \pi}{180}=1.0472^C$ DEF বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} r^2 \theta$ প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2} r^2 \theta=13.09$ বা, $\mathrm{r}^2=\frac{2 \times 13.09}{\theta}=\frac{2 \times 13.09}{1.0472}=25$ বা, $r=5$ ∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল $=\pi \pi^2$ বর্গ একক $=\pi \times 5^2$ বর্গ একক = 25 $\pi$ বর্গ একক = 78-54 বর্গ একক নির্ণেয় বৃত্তটির ক্ষেত্রফল 78.54 বর্গ একক।

গ

ACB অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, বৃত্তচাপের ব্যাসার্ধ, r= 18 সে. মি. কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, $\theta=45^{\circ}=\frac{45 \times \pi}{180}$ ∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, $s=r \theta=18 \times \frac{45 \times \pi}{180}$ = 14.1372 সে. মি ∆ΟBC-এ ∠OCB = 90° এবং ∠BOC = 45° ∴ OC = BC এখন, $\sin 45^{\circ}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OB}}$ বা, $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{B C}{18}$ বা, $\mathrm{BC}=\frac{18}{\sqrt{2}}=9 \sqrt{2}$ $\therefore \quad \mathrm{OC}=\mathrm{BC}=9 \sqrt{2}$ △OBC এর ক্ষেত্রফল $\begin{aligned} & =\frac{1}{2} \times \mathrm{OC} \times \mathrm{BC} \\ & =\frac{1}{2} \times 9 \sqrt{2} \times 9 \sqrt{2} \text{ বর্গ সে. মি. } \\ & =81 \text{ বর্গ সে. মি. }\end{aligned}$ OAB বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \mathrm{r}^2 \theta=\frac{1}{2} \times 18^2 \times 45 \times \frac{\pi}{180}$ বর্গ সে.মি. = 127.234 বর্গ সে. মি. ∴ ACB অংশের ক্ষেত্রফল= OAB বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল △OBC এর ক্ষেত্রফল = (127.234 - 81) বর্গ সে. মি = 46-234 বর্গ সে. মি নির্ণেয় ACB অংশের ক্ষেত্রফল 46.234 বর্গ সে. মি.।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-২: $\sin \mathrm{C}+\sin \mathrm{D}=\mathrm{p}, \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{D}=\mathrm{q}$

Barisal · 2017

ক

$\tan \theta=\frac{b}{a}$ হলে $\frac{a \cos \theta+b \sin \theta}{\mathrm{a} \cos \theta-\mathrm{b} \sin \theta}$ এর মান নির্ণয় কর ।

উত্তর

এখানে, $\tan \theta=\frac{b}{a}$ বা, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{b}{a}$ $\therefore \quad \sin \theta=\frac{b \cos \theta}{\mathrm{a}}$ প্রদত্ত রাশি $=\frac{a \cos \theta+b \sin \theta}{a \cos \theta-b \sin \theta}$ $=\frac{a \cos \theta+b \cdot \frac{b \cos \theta}{a}}{a \cos \theta-b \frac{b \cos \theta}{a}}=\frac{\frac{a^2 \cos \theta+b^2 \cos \theta}{a}}{\frac{a^2 \cos \theta-b^2 \cos \theta}{a}}$ =\frac{\left(a^2+b^2\right) \cos \theta}{\left(a^2-b^2\right} \cos \theta}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} নির্ণেয় মান $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.

খ

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসাধ, $\mathrm{r}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=4$ একক $\mathrm{AB}=4 \sqrt{2}$ একক এখন, $\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2=4^2+4^2=16+16=32=(4 \sqrt{2})^2=\mathrm{AB}^2$ যেহেতু $\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2=\mathrm{AB}^2$ সেহেতু $\mathrm{ABC}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ $\therefore$ C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোव, $\theta=\angle A C B=90^{\circ}$ $=90 \times \frac{\pi}{180}$ রেডিয়ান $=\frac{\pi}{2}$ রেডিয়ান ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times \mathrm{AC} \times \mathrm{BC}$ $=\frac{1}{2} \times 4 \times 4$ বর্গ একক = 8 বর্গ একক ABC বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \mathrm{r}^2 \theta$ $=\frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{\pi}{2}$ বর্গ একক $=\frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\pi}{2}$ বর্গ একক = 12.5664 বর্গ একক (প্রায়) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল =(12.5664-8) বর্গ একক = 4.566 বর্গ একক (প্রায়) নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 4.566 বর্গ একক (প্রায়)

গ

দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, $\sin \frac{C-D}{2}= \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2}$.

উত্তর

এখানে, $\sin \mathrm{C}+\sin \mathrm{D}=\mathrm{P}$ বা, $2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}=P$ বা, $4 \sin^2 \frac{C+D}{2} \cos^2 \frac{C-D}{2}=P^2$ $\ldots. (i) [$বর্গ করে] এবং $\cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{D}=\mathrm{q}$ বা, $2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}=q^2$ বা, $4 \cos^2 \frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2} \cos \frac{\mathrm{C}-\mathrm{D}}{2}=\mathrm{q}^2$$\ldots.. (ii) [$বর্গ করে] (i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই, $4 \cos^2 \frac{C-D}{2}\left(\sin^2 \frac{C+D}{2}+\cos^2 \frac{C+D}{2}\right)=p^2+q^2$ বা, $4 \cos^2 \frac{C-D}{2} \cdot 1=p^2+q^2$ বা, $4\left(1-\sin^2 \frac{C-D}{2}\right)=p^2+q^2$ বা, $4-4 \sin^2 \frac{C-D}{2}=p^2+q^2$ বা, $4 \sin^2 \frac{C-D}{2}=4-p^2-q^2$ বা, $\sin^2 \frac{C-D}{2}=\frac{4-p^2-q^2}{4}$ বা, $\sin \frac{C-D}{2}= \pm \sqrt{\frac{4-p^2-q^2}{4}}$ $\therefore \quad \sin \frac{C-D}{2}= \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2}$. (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

Chittagong · 2017

ক

$\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C})$ কে বিস্তৃত কর।

উত্তর

প্রদত্ত রাশি $= \sin (A-B+C)$ $= \sin \{(A-B)+C\}$ $= \sin (A-B) \cos C+\cos (A-B) \sin C$ $= (\sin A \cos B-\cos A \sin B) \cos C$ $+(\cos A \cos B+\sin A \sin B) \sin C$ $= \sin A \cos B \cos C-\cos A \sin B \cos C$ $+\cos A \cos B \sin C+\sin A \sin B \sin C$

খ

$\frac{1}{\sec \mathrm{A}}=\frac{1}{\operatorname{\cosec} \mathrm{C}}-\frac{1}{\sec \mathrm{B}}$ হলে দৃশ্যকল্প-২ এ অঙ্কিত চিত্রের কোন কোণটি সমকোণ, নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, $\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজে $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180^{\circ}$ $\frac{1}{\sec \mathrm{A}}=\frac{1}{\operatorname{\cosec} \mathrm{C}}-\frac{1}{\sec \mathrm{B}}$ বা, $\cos A=\sin C-\cos B$ বা, $\cos A+\cos B=\sin C$ বা, $2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)=2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ বা, $\cos \left(90^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)=\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ বা, $\sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}=\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ $\left[\because A+B+C=180^{\circ}\right]$ বা, $\cos \frac{A-B}{2}=\cos \frac{C}{2}$ বা, $\frac{A-B}{2}=\frac{C}{2}$ বা, $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\mathrm{C}$ বা, $A=13+C$ বা, $A+A=A+B+C$ বা, $2 A=180^{\circ}$ বা, $A=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$ $\therefore \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের A কোণটি সমকোণ।

গ

দৃশ্যকল্প-১ এ PEF একটি বৃত্তকলা হলে, EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

PEF বৃত্তকলার ব্যাসার্ধ, $r=P E=P F=4$ সে.মি. $\mathrm{EQ}=4$ সে.মি. $F R=4$ সে.মি. $\mathrm{RQ}=8$ সে.মি. $P R=P F+F R$ $=(4+4)$ সে.মি. = 8 সে.মি. = PQ = PE + EQ = (4+4) সে.মি. = 8 সে.মি. $P R Q$ ত্রিভুজের বাহু, $a=P Q=Q R=P R=8$ সে.মি. $\therefore P Q R$ ত্রিভুজটি সমবাহু ত্রিভুজ $\therefore \mathrm{PQR}$ ত্রিভুজে $\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PRQ}=60^{\circ}$ $\therefore \angle \mathrm{EPF}=\angle \mathrm{QPR}=60^{\circ}$ $\therefore$ PEF বৃত্তকলার কেন্দ্র উৎপন্ন কোণ, $\theta=\angle \mathrm{EPF}=60^{\circ}$ $=60 \times \frac{\pi}{180}$ রেডিয়ান $=\frac{\pi}{3}$ রেডিয়ান PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2$ বর্গ সে.মি. $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$ বর্গ সে.মি. =27.71281 বর্গ সে. মি. (প্রায়) PEF ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} r^2 \theta$ $=\frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{\pi}{3}$ বর্গ সে. মি. $=\frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\pi}{3}$ বর্গ সে. মি, =8.37758 বর্গ সে.মি. $\therefore$ EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল =(27.71281-8.37758) বর্গ সে. মি. = 19.335 বর্গ সে. মি. (প্রায়) নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 19.335 সে.মি. (প্রায়)।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

Rajshahi · 2017

ক

x-এর সাপেক্ষে x$\geqsin(lnx)$ এর অন্তরজ নির্ণয় কর ।

উত্তর

$\frac{d}{d x}\left\{x^3 \sin (\ln x)\right\} =\sin (\ln x) \cdot \frac{d}{d x} x^3+x^3 \cdot \frac{d}{d x} \sin (\ln x)$ $=\sin (\ln x) \cdot 3 x^2+x^3 \cdot \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x}$ $=3 x^2 \sin (\ln x)+x^2 \cos (\ln x)$ $=x^2\{3 \sin (\ln x)+\cos (\ln x)\}$ নির্ণেয় অন্তরজ $x^2\{3 \sin (\ln \mathrm{x})+\cos (\ln \mathrm{x})\}$.

খ

উদ্দীপকের সাহায্যে মান নির্ণয় কর: $\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

উত্তর

উদ্দীপক হতে, $\alpha+\beta+\gamma=2 \pi$ বা, $\alpha+\beta=2 \pi-\gamma$ বা, $\cos (\alpha+\beta)=\cos (2 \pi-\gamma)$ বা, $\cos (\alpha+\beta)=\cos \gamma$ প্রদত্ত রাশি $=\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=\frac{1}{2}\left(2 \cos^2 \alpha+2 \cos^2 \beta\right)+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=\frac{1}{2}(1+\cos 2 \alpha+1 \cos 2 \beta)+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=1+\frac{1}{2}(\cos 2 \alpha+\cos 2 \beta)+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=1+\frac{1}{2} \cdot 2 \cos (\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=1+\cos \gamma \cos (\alpha-\beta)+\cos \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=1+\cos \gamma\{\cos (\alpha-\beta)+\cos \gamma\}-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=1+\cos \gamma\{\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)\}-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=1+\cos \gamma \cdot 2 \cos \alpha \cdot \cos \beta-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ $=1+2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma=1$ নির্ণেয় মান 1.

গ

উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = AB = AC = 6 মি. $\angle \mathrm{BAC}=\alpha$ $\mathrm{BD}=9$ মি. $\mathrm{CE}=3$ মি. $\mathrm{DE}=21$ মি. $A D=A B+B D$ =(6+9) মি. =15 মি. $A E=A C+C E$ = (6+3) মি. = 9 মি. ADE ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, $S =\frac{A D+D E+A E}{2}$ $=\frac{15+21+9}{2}$ মি. $=\frac{45}{2}$ মি. =22.5 মি. ADE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\sqrt{\mathrm{S}(\mathrm{S}-\mathrm{AD})(\mathrm{S}-\mathrm{DE})(\mathrm{S}-\mathrm{AE})}$ $=\sqrt{22.5 \times(22.5-15) \times(22.5-21) \times(22.5-9)}$ বর্গ মি. $=\sqrt{22.5 \times 7.5 \times 1.5 \times 13.5}$ বর্গ মি. $=\sqrt{3417.1875}$ বর্গ মি. $=58.4567$ বর্গ মি. $\cos \alpha =\frac{\mathrm{AD}^2+\mathrm{AE}^2-\mathrm{DE}^2}{2 . \mathrm{AD} . \mathrm{AE}}$ $=\frac{(15)^2+9^2-(21)^2}{2 \times 15 \times 9}$ $=\frac{225+81-441}{270}=\frac{-135}{270}=-\frac{1}{2}$ বা, $\alpha=\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=120^{\circ}$ $\mathrm{ABC}$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{\pi \pi^2 \alpha}{360}=\frac{3.1416 \times 6^2 \times 120}{360}$ বর্গ মি. $=37.6992$ বর্গ মি. (প্রায়) $\therefore$ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $=(58.4567-37.6992)$ বর্গ মি. $=20.76$ বর্গ.মি. (প্রায়) নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 20.76 বর্গ মি. (প্রায়)।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

Dhaka · 2017

ক

বৃত্তকলা ABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, A কেন্দ্রবিশিস্ট বৃতের ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=6$ সে. মি. কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, $\theta=\angle \mathrm{BAC}=42^{\circ}$ $=42 \times \frac{\pi}{180}$ $=\frac{7 \pi}{30}$ রেডিয়ান ABC বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} r^2 \theta=\frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{7 \pi}{30}$ বর্গ সে.মি. $=\frac{1}{2} \times 36 \times \frac{7 \pi}{30}$ বর্গ সে.মি. =13.1947 বর্গ সে.মি. (প্রায়) নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 13.1947 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

খ

ABDC এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, বৃত্তচাপ $\mathrm{BC}=\mathrm{r} \theta=6 \times \frac{7 \pi}{30}$ সে.মি. = 4.39823 সে.মি. (প্রায়) ABDC এর পরিসীমা = AB + চাপ $\mathrm{BC}+\mathrm{AC}$ = (6+4.39823+6) সে.মি. =16.3982 সে.মি. (প্রায়) নির্ণেয় পরিসীমা 16.3982 সে. মি. (প্রায়)।

গ

ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, সম্পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^2$ $=\pi \times 6^2$ বর্গ সে.মি. $=\pi \times 36$ বর্গ সে.মি. $=113.09734$ বর্গ সে.মি. (প্রায়) ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \sin \theta$ $=\frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin 42^{\circ}$ বর্গ সে.মি. =12.04435 বর্গ সে. মি. (প্রায়) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $=(113.09734-12.04435)$ বর্গ সে.মি. =101,053 বর্গ সে.মি. (প্রায়) নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 101.053 বর্গ সে. মি. (প্রায়)।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{mx}$. দৃশ্যকল্প-২ :

Combined · 2018

ক

প্রমাণ কর থে, $\sin 44^{\circ}+\cos 44^{\circ}=\sqrt{2} \cos 1^{\circ}$.

উত্তর

বামপক্ষ $=\sin 44^{\circ}+\cos 44^{\circ}$ $=\sin \left(90^{\circ}-46^{\circ}\right)+\cos 44^{\circ}$ $=\cos 46^{\circ}+\cos 44^{\circ}$ $=2 \cos \frac{46^{\circ}+44^{\circ}}{2} \cos \frac{46^{\circ}-44^{\circ}}{2}$ $=2 \cos 45^{\circ} \cos 1^{\circ}=2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos 1^{\circ}$ $=\sqrt{2} \cos 1^{\circ}=$ ডানপক $\therefore \sin 44^{\circ}+\cos 44^{\circ}=\sqrt{2} \cos 1^{\circ}$. (প্রমাণিত)

খ

$\mathrm{m}=4$ হলে, $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর যখন $0^{\circ} \leq \mathrm{x} \leq 180^{\circ}$.

উত্তর

দেওয়া আছে, $h(x)=\sin m x$ $\mathrm{m}=4$ হলে, $h(x)=\sin 4 x$ ধরি, $y=h(x)=\sin 4 x, 0^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$ ফাংশনটি সাইন ফাংশন। $\mathrm{x}=0^{\circ}$ হতে $\mathrm{x}=180^{\circ}$ পর্যন্ত $\mathrm{x}$ এর কয়েকটি মান নিয়ে $\sin 4 x$ এর আনুষঙ্গিক মান বের করি। $x$-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1 বাহু = $10^{\circ}$ এবং $y$-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 10 বাহু = 1 একক ধরে বিন্দুগুলো গ্রাফ কাগজে বসিয়ে সুষমভাবে যোগ করে $\sin 4 x$ এর লেখচিত্র অঙ্কন করি :

গ

$\mathrm{AB}=5$ সে.মি. হলে গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=A B=5$ সে. মি. $\therefore$ বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}=3.1416 \times 5^{2}$ বর্গ সে.মি. $=78.54$ বর্গ সে. মি. (প্রায়) কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, $\theta=\angle \mathrm{ABC}=50^{\circ}=\frac{50 \pi}{180}=\frac{5 \pi}{18}$ $\therefore \mathrm{ABC}$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{\mathrm{r}^{2} \theta}{2}=\frac{5^{2} \times 5 \pi}{2 \times 18}$ $=10.91$ বর্গ সে. মি. (প্রায়) $\therefore \quad$ গাছ অংশের ক্ষেত্রফল $=(78.54-10.91)$ বর্গ সে.মি. $=67.63$ বর্গ সে. মি. (প্রায়) নির্ণেয় গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল 67.63 বর্গ সে. মি. (প্রায়)।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: $\triangle A B C$ এর $A=75^{\circ}, B-C=15^{\circ}$ দৃশ্যকল্প-২:

Jessore · 2019

ক

$\cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime}-\sin 149^{\circ} 28^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime}$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত রাশি $=\cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime}-\sin 149^{\circ} 28^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime}$ $=\cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime}-\sin \left(180^{\circ}-30^{\circ} 32^{\prime}\right) \sin 29^{\circ} 28^{\prime}$ $=\cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime}-\sin 30^{\circ} 32^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime}$ $=\cos \left(30^{\circ} 32^{\prime}+29^{\circ} 28^{\prime}\right)=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$ নির্ণেয় মান $\frac{1}{2}$

খ

দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী দেখাও যে, $\cos \frac{C}{6}=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে, $\triangle A B C$ এ $A+B+C=180^{\circ}$ বা, $75^{\circ}+B+C=180^{\circ}$ বা, $B+C=180^{\circ}-75^{\circ}$ বা, $B+C=105^{\circ} \ldots\ldots (1)$ আবার, $B-C=15^{\circ} \ldots... (2)$ (1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং বিয়োগ করে, $2 C=90^{\circ}$ বা, $C=45^{\circ}$ বামপক্ষ $=\cos \frac{C}{6}=\cos \frac{45^{\circ}}{6}$ $=\cos \frac{15^{\circ}}{2}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{4 \cos^2 \frac{15^{\circ}}{2}}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{2.2 \cos^2 \frac{15^{\circ}}{2}}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{2\left(1+\cos 15^{\circ}\right)}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{2+2 \cos 15^{\circ}}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 15^{\circ}}}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2\left(1+\cos 30^{\circ}\right)}}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ ডানপক্ষ $\therefore \cos \frac{c}{6}=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ (প্রমাণিত)

গ

দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী ত্রিভুজটির সমাধান কর।

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $\triangle A B C$ এ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}$ বা, $\cos 60^{\circ}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2-c^2}{2 \cdot(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$ বা, $\frac{1}{2}=\frac{3+2 \sqrt{3}+1+3-2 \sqrt{3}+1-c^2}{2(3-1)}$ বা, $\frac{1}{2}=\frac{8-c^2}{4}$ বা, $c^2=6$ বা, $c=\sqrt{6}$ এখন, $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}$ $=\frac{(\sqrt{3}-1)^2+6-(\sqrt{3}+1)^2}{2(\sqrt{3}-1) \times \sqrt{6}}$ $=-0.258819$ $=\cos 105^{\circ}$ $\therefore A=105^{\circ}$ $\therefore B=180^{\circ}-\left(105^{\circ}+60^{\circ}\right)=15^{\circ}$ নির্ণেয় সমাধান: $\mathrm{A}=105^{\circ}, \mathrm{B}=15^{\circ}, \mathrm{C}=\sqrt{6}$.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: $A$ কলেজ থেকে একজন সাইকেল আরোইী প্রতি মিনিটে 250 মিটার বেগে $B$ কলেজে পৌছাল। কলেজ দুটি পৃথিবীর কেন্দ্রে $1^{\circ} 5^{\prime}$ কোণ উৎপন্ন করে। দৃশ্যকল্প-২: $f(x)=\sin \frac{x}{4}$

Jessore · 2019

ক

$\tan \theta=\frac{5}{12}, \pi<\theta<\frac{3 \pi}{2}$ হলে, $\sin (-\theta)+\cos \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\tan \theta=\frac{5}{12}, \pi<\theta<\frac{3 \pi}{2}$ $\therefore \theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। $\therefore \sin \theta=\frac{-5}{13}$ এবং $\cos \theta=\frac{-12}{13}$ প্রদত্ত রাশি $=\sin (-\theta)+\cos \theta$ $=-\sin \theta+\cos \theta$ $=-\frac{-5}{13}+\frac{-12}{13}=\frac{5}{13}-\frac{12}{13}=\frac{5-12}{13}=\frac{-7}{13}$ নির্ণেয় মান $\frac{-7}{13}$.

খ

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6440 কি.মি. হলে সাইকেল আরোহীর $A$ কলেজ থেকে $B$ কলেজে যেতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে তা নির্ণয় কর।

উত্তর

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $r=6440$ কি.মি. $=(6440 \times 1000)$ মিটার $=6440000$ মিটার কেন্দ্রস্থ কোণ, $\theta=1^{\circ} 5^{\prime}$ $=1^{\circ}+\frac{5^{\circ}}{60}$ $=\frac{65^{\circ}}{60}=\frac{65 \times \pi}{60 \times 180}$ $A$ হতে $B$ এর দূরত্ব $=s$ আমরা জানি, $s=r \theta$ $=6440000 \times \frac{65 \times \pi}{60 \times 180}$ মিটার $=6440000 \times \frac{65 \times 3.1416}{60 \times}$ মিটার $=121766.0889$ মিটার সাইকেল আরোহী 250 মিটার যায় 1 মিনিটে $\therefore$ সাইকেল আরোহী 1 মিটার যায় $\frac{1}{250}$ মিনিটে $\therefore$ সাইকেল আরোহী 121766.0889 মিটার যায় $\frac{121766.0889}{250}$ মিনিটে $=487.064$ মিনিট $=8$ ঘণ্টা 7 মিনিট (প্রায়) $\therefore$ সাইকেল আরোহীর 8 ঘণ্টা 7 মিনিট (প্রায়) সময় লাগবে।

গ

$y=f(8 x) ;-\pi \leq x \leq \pi$ এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $f(x)=\sin \frac{x}{4}$ $\therefore f(8 x)=\sin \frac{8 x}{4}=\sin 2 x$ আবার, $y=f(8 x)$ বা, $y=\sin 2 x$ $-\pi \leq x \leq \pi$ ব্যবধিতে $x$ এর বিভিন্ন মানের জন্য $y$ এর সংশ্লিষ মান নির্ণয় করি। ছক কাগজের $x$ অক্ষ বরাবর ছোট বর্গ ক্ষেত্রের 1 বাহুর দৈর্ঘ্য $=\frac{\pi}{18}$ এবং $y$ অক্ষ বরাবর ছোট বর্গ ক্ষেত্রের 10 বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে উপরোক্ত বিন্দুগুলোর সাহায্যে লেখচিত্র অঙ্কন করি।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো