Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] 2 A - [গণিত] 2 B + [গণিত] 2 C = 1 - 2 [গণিত] A [গণিত] B [গণিত] C.

উত্তর: [গণিত] (Proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, 2 A - 2 B + 2 C = 1 - 2 A B C.

উদ্দীপক

question image

Chittagong · 2022

উত্তর

tan⁡45∘=1⇒tan⁡(35∘+10∘)=1⇒tan⁡35∘+tan⁡10∘1−tan⁡35∘tan⁡10∘=1⇒tan⁡35∘+tan⁡10∘=1−tan⁡35∘tan⁡10∘⇒tan⁡35∘+tan⁡10∘+tan⁡35∘tan⁡10∘=1 (shaved) \begin{aligned} & \tan 45^{\circ}=1 \\ & \Rightarrow \tan \left(35^{\circ}+10^{\circ}\right)=1 \\ & \Rightarrow \frac{\tan 35^{\circ}+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 35^{\circ} \tan 10^{\circ}}=1 \\ & \Rightarrow \tan 35^{\circ}+\tan 10^{\circ}=1-\tan 35^{\circ} \tan 10^{\circ} \\ & \Rightarrow \tan 35^{\circ}+\tan 10^{\circ}+\tan 35^{\circ} \tan 10^{\circ}=1 \\ & \text{ (shaved) }\end{aligned}

উত্তর

 L.H.S =cos⁡2A−cos⁡2B+cos⁡2C=cos⁡2A+cos⁡2C−cos⁡2B=12(1+cos⁡2A+1+cos⁡2B)[2cos⁡2A=1+cos⁡2A]−cos⁡2 B=12(2+cos⁡2A+cos⁡2C)−cos⁡2B=1+12(cos⁡2A+cos⁡2C)−cos⁡2B=1+1/2cos⁡2A+2C2cos⁡2A−2C2−cos⁡2B=1+cos⁡(A+C)cos⁡(A−C)−cos⁡2=2cos⁡C+D2cos⁡C−12=1+cos⁡(A−B)cos⁡(A−C)−cos⁡B=1−cos⁡B[cos⁡(A−C)+cos⁡B]=1−cos⁡B[cos⁡(A−C)+cos⁡[π−(A+C)]=1−cos⁡B[cos⁡(A−C)−cos⁡(A+C)]=1−cos⁡B×2sin⁡Asin⁡C=1−2cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)=1−2sin⁡Acos⁡Bsin⁡C\begin{aligned}\text{ L.H.S }= & \cos^2 A-\cos^2 B+\cos^2 C \\& =\cos^2 A+\cos^2 C-\cos^2 B \\& =\frac{1}{2}\left(1+\cos 2 A+1+\cos^2 B\right)\left[2 \cos^2 A=1+\cos 2 A\right]-\cos^2 \mathrm{~B} \\& =\frac{1}{2}(2+\cos 2 A+\cos 2 C)-\cos^2 B \\& =1+\frac{1}{2}(\cos 2 A+\cos 2 C)-\cos^2 B \\& =1+1 / 2 \quad \cos \frac{2 A+2 C}{2} \cos \frac{2 A-2 C}{2}-\cos 2 B \\& =1+\cos (A+C) \cos (A-C)-\cos 2 \\& =2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-1}{2} \\& =1+\cos (A-B) \cos (A-C)-\cos B \\& =1-\cos B[\cos (A-C)+\cos B] \\& =1-\cos B[\cos (A-C)+\cos [\pi-(A+C)] \\= & 1-\cos B[\cos (A-C)-\cos (A+C)] \\= & 1-\cos B \times 2 \sin A \sin C \\= & 1-2 \cos (A-B)-\cos (A+B) \\& =1-2 \sin A \cos B \sin C\end{aligned} (Proved)

উত্তর

এখানে, a=4,b=a=4, b=, , c=3c=3 ত্রিভুজটির, cos⁡B=a2+c2−b22ac\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c} ⇒cos⁡π15=42+32−b22×4×3\Rightarrow \cos \frac{\pi}{15}=\frac{4^{2}+3^{2}-b^{2}}{2 \times 4 \times 3} ⇒b2=42+32−24cos⁡π15\Rightarrow \mathrm{b}^{2}=4^{2}+3^{2}-24 \cos \frac{\pi}{15} b=42+32−24cos⁡π15=1.23468\mathrm{b}=\sqrt{4^{2}+3^{2}-24 \cos \frac{\pi}{15}}=1.23468 cos⁡c=b2+a2=c22ab=(1.23468)2+42−322×1.23468×4\cos c=\frac{b^{2}+a^{2}=c^{2}}{2 a b}=\frac{(1.23468)^{2}+4^{2}-3^{2}}{2 \times 1.23468 \times 4} ⇒c=cos⁡−1((1.23468)2+42−322×1.23468×4)\Rightarrow \mathrm{c}=\cos^{-1}\left(\frac{(1.23468)^{2}+4^{2}-3^{2}}{2 \times 1.23468 \times 4}\right) =30.5∘=30.5×π180=30.5πc180=30.5^{\circ}=30.5 \times \frac{\pi}{180}=\frac{30.5 \pi^{c}}{180} cos⁡A=b2+c2−a22bc=(1.23468)2+32−422×1.23468×3\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{(1.23468)^{2}+3^{2}-4^{2}}{2 \times 1.23468 \times 3} ⇒A=cos⁡−1(1.23468)2+32−422×1.23468×3\Rightarrow A=\cos^{-1} \frac{(1.23468)^{2}+3^{2}-4^{2}}{2 \times 1.23468 \times 3} =137.5∘=137.5×π180=137.5π180=137.5^{\circ}=137.5 \times \frac{\pi}{180}=\frac{137.5 \pi}{180} Ans. পরিসীমা =a+b+c=4+1.23468+3=8.2346=a+b+c=4+1.23468+3=8.2346 ক্ষেত্রফল =12acsin⁡B=\frac{1}{2} a c \sin B =12×4×3×sin⁡π15=\frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin \frac{\pi}{15} =6sin⁡12∘=6 \sin 12^{\circ} = 1.247 বর্গ একক (Ans) ∴\therefore ত্রিভুজটির উচ্চতা, h=3sin⁡π15[∵sin⁡π15=h3]\mathrm{h}=3 \sin \frac{\pi}{15}\left[\because \sin \frac{\pi}{15}=\frac{h}{3}\right] =3sin⁡12∘=3 \sin 12^{\circ} =0.62373=0.62373 একক (Ans) তিনটি কোন 12∘,30.5∘,137.5∘12^{\circ}, 30.5^{\circ}, 137.5^{\circ} তিনটি বাহু 3,4,1.234689 একক পরিসীমা 8.234689 একক উচ্চতা 0.62373 একক ক্ষেত্রফল 1.2474 একক
HSCHigher Math 1st PaperChapter 6: ত্রিকোনমিতিক অনুপাতChittagong
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

cosec⁡⁡AT−sin⁡A=m,sec⁡A−cos⁡A=n\operatorname{\cosec} A_T-\sin A=m, \sec A-\cos A=n P=tan⁡θ+sin⁡θP=\tan \theta+\sin \theta এবং Q=tan⁡θ−sin⁡θQ=\tan \theta-\sin \theta.
ক
sin⁡(4x+1)\sin (4x + 1) এর পর্যায় কত?
খ
দেখাও যে, tan⁡A=nm3\tan A=\sqrt[3]{\frac{n}{m}}
গ
দেখাও যে, P² - Q² = 4\sqrtPQ.\sqrtPQ.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
x=acos⁡2A+bsin⁡2Ax=a \cos^2 A+b \sin^2 A হলে, প্রমাণ কর যে, (x−a)(b−x)=(a−b)2sin⁡2Acos⁡2A(x-a)(b-x)=(a-b)^2 \sin^2 A \cos^2 A
খ
DEF অংশের ক্ষেত্রফল 13.09 হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
ACB অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image দৃশ্যকল্প-২: sin⁡C+sin⁡D=p,cos⁡C+cos⁡D=q\sin \mathrm{C}+\sin \mathrm{D}=\mathrm{p}, \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{D}=\mathrm{q}

Barisal · 2017

ক
tan⁡θ=ba\tan \theta=\frac{b}{a} হলে acos⁡θ+bsin⁡θacos⁡θ−bsin⁡θ\frac{a \cos \theta+b \sin \theta}{\mathrm{a} \cos \theta-\mathrm{b} \sin \theta} এর মান নির্ণয় কর ।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, sin⁡C−D2=±124−p2−q2\sin \frac{C-D}{2}= \pm \frac{1}{2} \sqrt{4-\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Chittagong · 2017

ক
sin⁡(A−B+C)\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}) কে বিস্তৃত কর।
খ
1sec⁡A=1cosec⁡⁡C−1sec⁡B\frac{1}{\sec \mathrm{A}}=\frac{1}{\operatorname{\cosec} \mathrm{C}}-\frac{1}{\sec \mathrm{B}} হলে দৃশ্যকল্প-২ এ অঙ্কিত চিত্রের কোন কোণটি সমকোণ, নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-১ এ PEF একটি বৃত্তকলা হলে, EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Rajshahi · 2017

ক
x-এর সাপেক্ষে x\geqsin(lnx)\geqsin(lnx) এর অন্তরজ নির্ণয় কর ।
খ
উদ্দীপকের সাহায্যে মান নির্ণয় কর: cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ−2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ\cos^2 \alpha+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma
গ
উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Dhaka · 2017

ক
বৃত্তকলা ABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
ABDC এর পরিসীমা নির্ণয় কর।
গ
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: h(x)=sin⁡mx\mathrm{h}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{mx}. দৃশ্যকল্প-২ : question image

Combined · 2018

ক
প্রমাণ কর থে, sin⁡44∘+cos⁡44∘=2cos⁡1∘\sin 44^{\circ}+\cos 44^{\circ}=\sqrt{2} \cos 1^{\circ}.
খ
m=4\mathrm{m}=4 হলে, h(x)\mathrm{h}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর যখন 0∘≤x≤180∘0^{\circ} \leq \mathrm{x} \leq 180^{\circ}.
গ
AB=5\mathrm{AB}=5 সে.মি. হলে গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △ABC\triangle A B C এর A=75∘,B−C=15∘A=75^{\circ}, B-C=15^{\circ} দৃশ্যকল্প-২: question image

Jessore · 2019

ক
cos⁡30∘32′cos⁡29∘28′−sin⁡149∘28′sin⁡29∘28′\cos 30^{\circ} 32^{\prime} \cos 29^{\circ} 28^{\prime}-\sin 149^{\circ} 28^{\prime} \sin 29^{\circ} 28^{\prime} এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী দেখাও যে, cos⁡C6=122+2+3\cos \frac{C}{6}=\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী ত্রিভুজটির সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: AA কলেজ থেকে একজন সাইকেল আরোইী প্রতি মিনিটে 250 মিটার বেগে BB কলেজে পৌছাল। কলেজ দুটি পৃথিবীর কেন্দ্রে 1∘5′1^{\circ} 5^{\prime} কোণ উৎপন্ন করে। দৃশ্যকল্প-২: f(x)=sin⁡x4f(x)=\sin \frac{x}{4}

Jessore · 2019

ক
tan⁡θ=512,π<θ<3π2\tan \theta=\frac{5}{12}, \pi<\theta<\frac{3 \pi}{2} হলে, sin⁡(−θ)+cos⁡θ\sin (-\theta)+\cos \theta এর মান নির্ণয় কর।
খ
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6440 কি.মি. হলে সাইকেল আরোহীর AA কলেজ থেকে BB কলেজে যেতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে তা নির্ণয় কর।
গ
y=f(8x);−π≤x≤πy=f(8 x) ;-\pi \leq x \leq \pi এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ∠AOC=90∘,OA=2\angle A O C=90^{\circ}, O A=2 এবং P=tan⁡θtan⁡2θtan⁡5θP=\tan \theta \tan 2 \theta \tan 5 \theta

Chittagong · 2019

ক
sec⁡x=−2\sec x=-2 এবং π<x<3π2\pi<x<\frac{3 \pi}{2} হলে প্রমাণ কর যে, cos⁡x+tan⁡x=23−12\cos x+\tan x=\frac{2 \sqrt{3}-1}{2}
খ
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
θ=40∘\theta=40^{\circ} হলে প্রমাণ কর যে, P=3P=\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ question image দৃশ্যকল্প-২ f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x

Sylhet · 2019

ক
দেখাও যে, tan⁡65∘=tan⁡25∘+2tan⁡40∘\tan 65^{\circ}=\tan 25^{\circ}+2 \tan 40^{\circ}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ বৃত্তের ক্ষেত্রেল 49π49 \pi হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে 0≤x≤π0 \leq \mathrm{x} \leq \pi ব্যবধিতে f(2x)f(2 x) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প -১ : f(x)=sinxf(x) = sinx দৃশ্যকল্প -২ : OABCO A B C একটি রম্বস এবং OACO A C বৃত্তকলা OO কেন্দ্রিক বৃত্তের অংশ। question image

Dinajpur · 2019

ক
sin⁡x+16cosec⁡⁡x=8\sin x+16 \operatorname{\cosec} x=8 হলে প্রমাণ কর যে, sin⁡nx+cosec⁡⁡nx=22n+2−2n\sin^n x+\operatorname{\cosec}^n x=2^{2 n}+2^{-2 n}
খ
দৃশ্যকল্প – ২ হতে ABCA আংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প -১ হতে y=f(π2−2x);−π≤x≤πy=f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) ;-\pi \leq x \leq \pi এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দেখাও যে, P² - Q² = 4 [গণিত] .ACB অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ PEF একটি বৃত্তকলা হলে, EQRF এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।উদ্দীপকের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।[গণিত] সে.মি. হলে গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী ত্রিভুজটির সমাধান কর।[গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।দৃশ্যকল্প -১ হতে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন