[গণিত] হলে- (i) [গণিত] ও [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল (ii) [গণিত] ও [গণিত] পরস্পর বিপরীতমুখী (iii) [গণিত] ও [গণিত] এর মধ্যবর্তী কোণ 0° নিচের কোনটি সঠিক?

ক. i ও ii

খ. i ও iii

গ. ii ও iii

ঘ. i, ii ও iii

উত্তর: i ও ii

ব্যাখ্যা: দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল [গণিত] দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, যেখানে [গণিত] এবং [গণিত] হলো ভেক্টর দুটির মান এবং [গণিত] হলো তাদের মধ্যবর্তী কোণ। প্রশ্নানুসারে, [গণিত] । সুতরাং, [গণিত] । উভয় পক্ষ থেকে [গণিত] বাদ দিলে আমরা পাই [গণিত] । আমরা জানি যে [গণিত] হলে [গণিত] বা [গণিত] রেডিয়ান হয়। যখন দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] হয়, তখন ভেক্টর দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী হয়। অতএব, বিবৃতি (ii) সঠিক। যখন ভেক্টর দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী হয়, তখন তাদের মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] হয়, যা [গণিত] নয়। তাই বিবৃতি (iii) ভুল। ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] বা [গণিত] হয়। বিপরীতমুখী ভেক্টরগুলিও এক প্রকার সমান্তরাল, তবে যখন শুধু 'সমান্তরাল' বলা হয় তখন সাধারণত [গণিত] কোণ বোঝানো হয়। যেহেতু এখানে স্পষ্টভাবে বিপরীতমুখী বলা হয়েছে এবং [গণিত] এসেছে, তাই এটি [গণিত] কোণ নির্দেশ করে। এই অর্থে (i) সরাসরি সঠিক নয় যদি না 'সমান্তরাল' বলতে [গণিত] এবং [গণিত] উভয়কেই বোঝানো হয়। তবে, পদার্থবিদ্যা এবং গণিতে 'বিপরীতমুখী' অবস্থাটি সমান্তরালতার একটি বিশেষ রূপ। যদি (i) কে [গণিত] কোণ হিসেবে ধরা হয় তবে এটি ভুল। প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে, একমাত্র বিবৃতি (ii) সরাসরি [গণিত] থেকে প্রাপ্ত। যেহেতু কোন বিকল্প শুধু (ii) বলছে না, তাই আমাদের দেখতে হবে কোন বিকল্প (ii) কে অন্তর্ভুক্ত করে এবং অন্য কোন বিবৃতি যুক্তিসঙ্গতভাবে সঠিক। যদি আমরা সমান্তরাল বলতে শুধু [গণিত] কোণ বুঝি, তবে (i) ভুল। যদি সমান্তরাল বলতে [গণিত] এবং [গণিত] উভয় কোণ বোঝায়, তবে (i) সঠিক। কিন্তু (iii) স্পষ্টভাবে [গণিত] কোণ নির্দেশ করে যা ভুল। প্রদত্ত বিকল্পগুলির বিন্যাস দেখে মনে হচ্ছে, প্রশ্নটি ভেক্টরগুলির আপেক্ষিক অবস্থান সম্পর্কে জানতে চাইছে। [গণিত] মানে ভেক্টর দুটি পরস্পর বিপরীত দিকে কাজ করছে। বিপরীতমুখী ভেক্টরগুলিও এক ধরণের সমান্তরাল (collinear) তবে ভিন্ন দিকে। আসলে, যদি [গণিত] হয়, তবে [গণিত] , অর্থাৎ [গণিত] । এই অবস্থায় ভেক্টর দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী হয়। তাই (ii) সঠিক। ভেক্টর দুটি যখন [গণিত] কোণে থাকে, তারা সমান্তরাল (collinear) হয়। কিন্তু সাধারণত সমান্তরাল বলতে [গণিত] কোণ বোঝানো হয়। তবে, কিছু ক্ষেত্রে [গণিত] কেও সমান্তরাল বলা হয়। যদি সমান্তরাল বলতে [গণিত] বা [গণিত] বোঝানো হয়, তবে (i) সঠিক। কিন্তু (iii) ভুল কারণ [গণিত] । যদি প্রশ্নটির উদ্দেশ্য ভেক্টরগুলির দিক বোঝানো হয়, তবে (ii) অবশ্যই সঠিক। এবং বিপরীতমুখী ভেক্টরগুলিকে সমান্তরাল বলা যেতে পারে। কিন্তু যদি "সমান্তরাল" বলতে কেবল একই দিকে বোঝানো হয়, তবে (i) ভুল। প্রচলিত অর্থে, দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হয় যদি তাদের মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] অথবা [গণিত] হয়। সুতরাং, [গণিত] থেকে [গণিত] , যা [গণিত] নির্দেশ করে। এই অবস্থায় ভেক্টর দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী। তাই (ii) সঠিক। আবার, যেহেতু [গণিত] , তাই ভেক্টর দুটি সমান্তরাল। তাই (i) সঠিক। কিন্তু (iii) ভুল কারণ মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] , [গণিত] নয়। অতএব, (i) এবং (ii) সঠিক। তবে, অনেক সময় সমান্তরাল বলতে শুধু একই দিকে বোঝানো হয়। যদি সেই অর্থে ধরা হয় তবে (i) ভুল হবে। কিন্তু যদি সমান্তরাল বলতে একই রেখায় থাকা বোঝায়, তাহলে [গণিত] কোণও সমান্তরাল হবে। প্রশ্নে প্রদত্ত বিকল্পগুলি বিবেচনা করে, যদি আমরা ধরে নিই যে সমান্তরাল বলতে [গণিত] বা [গণিত] উভয়কেই বোঝানো হচ্ছে, তাহলে (i) এবং (ii) উভয়ই সঠিক। এই সমন্বয়ের জন্য একটি বিকল্প থাকা উচিত। বিকল্প A তে (i) ও (ii) আছে। অর্থাৎ, [গণিত] ও [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল ( [গণিত] কোণের কারণে) এবং পরস্পর বিপরীতমুখী। ফাইনাল ব্যাখ্যা: [গণিত] । প্রদত্ত শর্তানুসারে [গণিত] । সুতরাং, [গণিত] । এখান থেকে আমরা পাই [গণিত] । এর অর্থ হলো ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] । যখন দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] হয়, তখন তারা পরস্পর বিপরীতমুখী হয়। তাই বিবৃতি (ii) সঠিক। ভেক্টর দুটি যখন [গণিত] কোণে থাকে, তখন তারা একই সরলরেখায় থাকে এবং তাদের দিক বিপরীত। এই অবস্থাকে ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল (collinear) বলা হয়। সুতরাং, বিবৃতি (i) সঠিক। বিবৃতি (iii) ভুল কারণ মধ্যবর্তী কোণ [গণিত] নয়, বরং [গণিত] । অতএব, বিবৃতি (i) এবং (ii) উভয়ই সঠিক।

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর MCQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক