Chapter 13 : সসীম ধারা (Full Syllabus) গণিত

SSC গণিত এর Chapter 13 : সসীম ধারা (Full Syllabus) অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৩৬৫

প্রশ্ন

গণিত

বিষয়

SSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

SSCগণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ 136\frac{1}{3 \sqrt{6}} এবং ৭ম পদ 1272\frac{1}{27 \sqrt{2}} এবং অপর একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 348 এবং প্রথম 17 পদের সমষ্টি 663 ।

Dhaka · 2023

ক
9+6+3+…………..\ldots\ldots\ldots\ldots..ধারাটির কোন পদ – 201?

উত্তর

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = - 201 প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a=9\mathrm{a}=9 এবং সাধারণ অন্তর, d=6−9=−3\mathrm{d}=6-9=-3 আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d বা, −201=9+(n−1)(−3)-201=9+(n-1)(-3) বা, −201=9−3n+3-201=9-3 n+3 বা, 3n=12+2013 \mathrm{n}=12+201 বা, n=2133\mathrm{n}=\frac{213}{3} ∴n=71\therefore \mathrm{n}=71 ∴ ধারাটির 71 তম পদ =−201=-201. (Ans.)
খ
গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r ∴8\therefore 8 র্থ পদ =ar4−1=ar3=\mathrm{ar}^{4-1}=\mathrm{ar}^3 এবং ৭ম পদ =ar7−1=ar6=\mathrm{ar}^{7-1}=\mathrm{ar}^6 প্রশ্নমতে, ar⁡3=136\operatorname{ar}^3=\frac{1}{3 \sqrt{6}}……(i)\ldots\ldots(i) এবং ar⁡6=1272\operatorname{ar}^6=\frac{1}{27 \sqrt{2}}……(i)\ldots\ldots(i) (ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই, ar6ar3=1272136\frac{\mathrm{ar}^6}{\mathrm{ar}^3}=\frac{\frac{1}{27 \sqrt{2}}}{\frac{1}{3 \sqrt{6}}} বা, r3=1272×361r^3=\frac{1}{27 \sqrt{2}} \times \frac{3 \sqrt{6}}{1} বা, r3=692r^3=\frac{\sqrt{6}}{9 \sqrt{2}} বা, r3=3×292r^3=\frac{\sqrt{3 \times 2}}{9 \sqrt{2}} বা, r3=3⋅292r^3=\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{9 \sqrt{2}} বা, r3=39r^3=\frac{\sqrt{3}}{9} বা, r3=3(3)4r^3=\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^4} বা, r3=1(3)3r^3=\frac{1}{(\sqrt{3})^3} ∴r=13\therefore r=\frac{1}{\sqrt{3}} (i) নং সমীকরণে r=13r=\frac{1}{\sqrt{3}} বসিয়ে পাই, a(13)3=136\mathrm{a}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{1}{3 \sqrt{6}} বা, a33=133×2\frac{a}{3 \sqrt{3}}=\frac{1}{3 \sqrt{3 \times 2}} বা, a33=133⋅2\frac{a}{3 \sqrt{3}}=\frac{1}{3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} ∴a=12\therefore a=\frac{1}{\sqrt{2}} ∴ গুণোত্তর ধারাটি, a+ar+ar2+ar3+\mathrm{a}+\mathrm{ar}+\mathrm{ar}^2+\mathrm{ar}^3+…….\ldots\ldots. =12+12⋅13+12(13)2+12⋅(13)3+……=12+16+132+136+…… (Ans.) \begin{aligned} & =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3+\ldots \ldots \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{3 \sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{6}}+\ldots \ldots \text{ (Ans.) }\end{aligned}
গ
সমান্তর ধারার 34 তম পদ নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, সামান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর =d=\mathrm{d} ∴ সমান্তর ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn=n2{2a+(n−1)d}\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\{2 \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}\} ∴ প্রথম 12 পদের সমষ্টি, S12=122{2a+(12−1)d}\mathrm{S}_{12}=\frac{12}{2}\{2 \mathrm{a}+(12-1) \mathrm{d}\} বা, 348=6(2a+11 d)348=6(2 \mathrm{a}+11 \mathrm{~d}) বা, 2a+11 d=582 \mathrm{a}+11 \mathrm{~d}=58 এবং প্রথম 17 পদের সমষ্টি, S17=172{2a+(17−1)d}\mathrm{S}_{17}=\frac{17}{2}\{2 \mathrm{a}+(17-1) \mathrm{d}\} বা, 663=172(2a+16 d)663=\frac{17}{2}(2 \mathrm{a}+16 \mathrm{~d}) বা, 663=172×2(a+8d)663=\frac{17}{2} \times 2(a+8 d) বা, 663=17(a+8d)663=17(a+8 d) বা, a+8d=39a+8 d=39 (ii)(ii) নং কে 22 দ্বারা গুণ করে (ii)(ii) থেকে (i)(i) বিয়োগ করে পাই, question image ∴d=4\therefore \mathrm{d}=4 (ii) নং সমীকরণে d=4\mathrm{d}=4 বসিয়ে পাই, a+8×4=39a+8 \times 4=39 বা, a+32=39a+32=39 ∴a=7\therefore \mathrm{a}=7 ∴ ধারাটির 34 তম পদ =a+(34−1)d=\mathrm{a}+(34-1) \mathrm{d} =7+33×4=7+132=139\begin{aligned}& =7+33 \times 4 \\& =7+132=139\end{aligned} ∴ নির্ণেয় 34 তম পদ =139=139 (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCগণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

(i) একটি সমান্তর ধারার p তম পদ q2\mathrm{q}^2 এবং q তম পদ p2\mathrm{p}^2. (ii) একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 233\frac{2}{3 \sqrt{3}} এবং নবম পদ 8273\frac{8}{27 \sqrt{3}}.

Dinajpur · 2025

ক
দুইটি সংখ্যার অনুপাত 4: 5, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. ও হলে, তাদের ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, সংখ্যা দুইটি 4x ও 5x ∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. =x=\mathrm{x} এবং ল.সা.গু. =20x=20 \mathrm{x} প্রশ্নমতে, x=3\mathrm{x}=3 ∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. =20x=20×3=60=20 \mathrm{x}=20 \times 3=60 |Ans.|
খ
(i) নং ধারার (p + q) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, সমান্তর ধারার ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d আমরা জানি, সমান্তর ধারার nn তম পদ =a+(n−1)d=a+(n-1) d ∴p\therefore p তম পদ =a+(p−1)d=a+(p-1) d এবং qq তম পদ =a+(q−1)d=a+(q-1) d প্রশ্নমতে, a+(p−1)d=q2a+(p-1) d=q^2 . . . . . . . . (i) এবং a+(q−1)d=p2a+(q-1) d=p^2 . . . . . . . . (ii) (i)নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই, a+(p−1)d−a−(q−1)d=q2−p2a+(p-1) d-a-(q-1) d=q^2-p^2 বা, (p−1)d−(q−1)d=q2−p2(p-1) d-(q-1) d=q^2-p^2 বা, (p−1−q+1)d=(q+p)(q−p)(p-1-q+1) d=(q+p)(q-p) বা, (p−q)d=−(p+q)(p−q)(p-q) d=-(p+q)(p-q) ∴d=−(p+q)\therefore d=-(p+q) d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, a+(p−1){−(p+q)}=q2\mathbf{a}+(\mathbf{p}-1)\{-(\mathbf{p}+\mathbf{q})\}=\mathbf{q}^2 বা, a−(p−1)(p+q)=q2a-(p-1)(p+q)=q^2 বা, a=q2+(p−1)(p+q)a=q^2+(p-1)(p+q) ∴a=q2+p2+pq−p−q\therefore a=q^2+p^2+p q-p-q আমরা জানি, সমান্তর ধারার ১ম nn সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn=n2{2a+(n−1)d}S_n=\frac{n}{2}\{2 a+(n-1) d\} ∴\therefore ধারাটির (p+q)(p+q) সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sp+q=p+q2[2(q2+p2+pq−p−q)+(p+q−1){−(p+q)}]S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2\left(q^2+p^2+p q-p-q\right)+(p+q-1)\right.\{-(p+q)\}] [মান বসিয়ে] =p+q2{2q2+2p2+2pq−2p−2q−(p+q−1)(p+q)}=p+q2{2q2+2p2+2pq−2p−2q−(p2+pq+pq+q2−p−q)}=p+q2(2q2+2p2+2pq−2p−2q−p2−2pq−q2+p+q)=p+q2(p2+q2−p−q) [Ans.] \begin{aligned} & =\frac{p+q}{2}\left\{2 q^2+2 p^2+2 p q-2 p-2 q-(p+q-1)(p+q)\right\} \\ & =\frac{p+q}{2}\left\{2 q^2+2 p^2+2 p q-2 p-2 q-\left(p^2+p q+p q\right.\right. \\ & \left.\left.\quad+q^2-p-q\right)\right\} \\ & =\frac{p+q}{2}\left(2 q^2+2 p^2+2 p q-2 p-2 q-p^2-2 p q-q^2+p+q\right) \\ & =\frac{p+q}{2}\left(p^2+q^2-p-q\right) \text{ [Ans.] }\end{aligned}
গ
গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ =233=\frac{2}{3 \sqrt{3}} এবং নবম পদ =8273=\frac{8}{27 \sqrt{3}} মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ = arn-1 ∴ ধারাটির ৫ম পদ =ar5−1=ar4=\mathrm{ar}^{5-1}=\mathrm{ar}^4 এবং ধারাটির ৯ম পদ =ar9−1=ar8=a r^{9-1}=a r^8 প্রশ্নমতে, ar 4=233^4=\frac{2}{3 \sqrt{3}} এবং ar⁡8=8273\operatorname{ar}^8=\frac{ 8}{27 \sqrt{3}} (ii)নং সমীকরণকে-(i)নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই, ar8ar4=8273233\frac{\mathrm{ar}^8}{\mathrm{ar}^4}=\frac{\frac{8}{27 \sqrt{3}}}{\frac{2}{3 \sqrt{3}}} বা, r8−4=8273×332[∵aman=am−n]r^{8-4}=\frac{8}{27 \sqrt{3}} \times \frac{3 \sqrt{3}}{2}\left[\because \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\right] বা, r4=49r^4=\frac{4}{9} বা, r4=(±23)4r^4=\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^4 ∴r=±23[∵ax=bx\therefore r= \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\left[\because a^x=b^x\right. হলে, a=b]\left.a=b\right] (i)নং এ r এর মান বসিয়ে পাই, a×(±23)4=233a \times\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^4=\frac{2}{3 \sqrt{3}} বা, a×49=233\mathrm{a} \times \frac{4}{9}=\frac{2}{3 \sqrt{3}} বা, a=233×94a=\frac{2}{3 \sqrt{3}} \times \frac{9}{4} বা, a=323a=\frac{3}{2 \sqrt{3}} ∴a=32\therefore \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}. ∴ ধারাটির প্রথম পদ, a=32\mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{2} এখন, r=23\mathrm{r}=\frac{\sqrt{2}}{3} হলে, দ্বিতীয় পদ =ar2−1=ar=32×23=12=\mathrm{ar}^{2-1}=\mathrm{ar}=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}} তৃতীয় পদ =ar3.−1=ar2=32×(23)2=13=a r^3 .^{-1}=a r^2=\frac{\sqrt{3}}{2} \times\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{\sqrt{3}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . নির্ণেয় গুণোত্তর ধারা, 32+12+13+…\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots [Ans.]

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCগণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

13+11+9+……13+11+9+\ldots \ldots সমান্তর ধারাটির প্রথম nn পদের সমষ্টি -72 এবং একটি শুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 12\frac{1}{\sqrt{2}} এবং তৃতীয় পদ 182\frac{1}{8 \sqrt{2}} ।

Sylhet · 2025

গ
গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a=12a=\frac{1}{\sqrt{2}} ধরি, সাধারণ অনুপাত = r আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ =arn−1=\mathrm{ar}^{n-1} ∴ ধারাটির তৃতীয় পদ =ar3−1=ar2=\mathrm{ar}^{3-1}=\mathrm{ar}^2 প্রশ্নমতে, ar2=182\mathrm{ar}^2=\frac{1}{8 \sqrt{2}} বা, 12⋅r2=182[∵a=12]\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot r^2=\frac{1}{8 \sqrt{2}} \quad\left[\because a=\frac{1}{\sqrt{2}}\right] বা, r2=18\mathrm{r}^2=\frac{1}{8} বা, r=±18r= \pm \sqrt{\frac{1}{8}} [বর্গমূল করে] =±122= \pm \frac{1}{2 \sqrt{2}} এখন, r=122r=\frac{1}{2 \sqrt{2}} হলে, ধারাটির দ্বিতীয় পদ =ar2−1=ar=12⋅122=14=a r^{2-1}=a r=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}}=\frac{1}{4} ধারাটির তৃতীয় পদ =182=\frac{1}{8 \sqrt{2}} [দেওয়া আছে] ধারাটির চতুর্থ পদ =ar4−1=ar3=a r^{4-1}=a r^3 =12⋅(122)3=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)^3 =132=\frac{1}{32} ∴ নির্ণেয় গুণোত্তর ধারা, 12+14+182+132+……\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8 \sqrt{2}}+\frac{1}{32}+\ldots \ldots |Ans.| আবার, r=−122r=-\frac{1}{2 \sqrt{2}} হলে ধারাটির দ্বিতীয় পদ =ar2−1=ar=12⋅(−122)=−14=a r^{2-1}=a r=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\left(-\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{4} ধারাটির তৃতীয় পদ =182=\frac{1}{8 \sqrt{2}} [দেওয়া আছে] ধারাটির চতুর্থ পদ =ar4−1=ar3=a r^{4-1}=a r^3 =12⋅(−122)3=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\left(\frac{-1}{2 \sqrt{2}}\right)^3 =−132=\frac{-1}{32} ∴ নির্ণেয় গুণোত্তর ধারা, 12−14+182−132+….\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8 \sqrt{2}}-\frac{1}{32}+\ldots .. [Ans.]

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCগণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

(i) একটি সমান্তর ধারা। 25 + 23 + 21 +
……−9(ii)4+x+y+256\ldots\ldots-9 (ii) 4 + x + y + 256
একটি গুণোত্তর ধারা।

Barisal · 2025

ক
5 + p + 17 +……..\ldots\ldots.. সমান্তর ধারার p এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত সমান্তর ধারা, 5+p+17+……5+p+17+\ldots \ldots... ধারাটির প্রথম পদ, a=5\mathrm{a}=5 সাধারণ অন্তর, d = p - 5=17−p5=17-p এখন, p−5=17−p\mathrm{p}-5=17-\mathrm{p}, বা, p+p=17+5p+p=17+5 বা, 2p=222 p=22 ∴p=11\therefore p=11 ∴ নির্ণেয় p এর মান 11 [Ans.]
খ
সমান্তর ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত সমান্তর ধারা, 25+23+21+25+23+21+ . . . . . . . . . . −9-9 ধারাটির প্রথম পদ, a=25\mathrm{a}=25 শেষ পদ, p=−9\mathrm{p}=-9 সাধারণ অন্তর, d=23−25=21−23=−\mathrm{d}=23-25=21-23=- মনে করি, ধারাটির n তম পদ = - 9 আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ =a+(n−1)d=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d} ∴a+(n−1)d=−9\therefore a+(n-1) d=-9 বা, 25+(n−1)×(−2)=−925+(n-1) \times(-2)=-9 [মান বসিয়ে] বা, 25−2n+2=−925-2 n+2=-9 বা, 27−2n=−927-2 \mathrm{n}=-9 বা, 2n=27+92 n=27+9 বা, 2n=362 n=36 ∴n=18\therefore \mathrm{n}=18 আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn=n2{2a+(n−1)d}\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\{2 \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}\} ∴ ধারাটির প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি, S18=182{2×25+(18−1)×(−2)}\mathrm{S}_{18} =\frac{18}{2}\{2 \times 25+(18-1) \times(-2)\} [মান বসিয়ে] =9{50+17×(−2)}=9\{50+17 \times(-2)\} =9(50−34)=9(50-34) =9×16=9 \times 16 =144=144 [Ans.]
গ
গুণোত্তর ধারাটির ৮ম পদ নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারা, 4+x+y+2564+x+y+256 এখানে, প্রথম পদ, a=4\mathrm{a}=4 মনে করি, সাধারণ অনুপাত =r=r আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার nn তম পদ =arn−1=a r^{n-1} ∴ চতুর্থ পদ, ar4−1=ar3=256\mathrm{ar}^{4-1}=\mathrm{ar}^3=256 বা, 4r3=256[∵a=4]4 r^3=256 \quad[\because a=4] বা, r3=64r^3=64 বা, r3=43r^3=4^3 ∴r=4[∵ay=by\therefore r=4\left[\because a^y=b^y\right. হলে,a=b]\left.a=b\right] ∴\therefore ধারাটির ৮ম পদ=ar8−1=\mathrm{ar}^{8-1} =ar7=\mathrm{ar}^7 =4×47[∵a=4,r=4]=4 \times 4^7 \quad[\because \mathrm{a}=4, \mathrm{r}=4] =4×16384=4 \times 16384 =65536=65536 [Ans.]

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো
SSC গণিত — Chapter 13 : সসীম ধারা (Full Syllabus) MCQ | Prosthuti