অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি উচ্চতর গণিত

SSC উচ্চতর গণিত এর অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

১০৭

প্রশ্ন

উচ্চতর গণিত

বিষয়

SSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

SSCউচ্চতর গণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

13x−1+1(3x−1)2+1(3x−1)3+⋯\frac{1}{3\mathrm{x}-1} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^3} + \cdots একটি ধারা এবং (x−kx)8(\mathrm{x} - \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}})^8 একটি দ্বিপদী রাশি।

Barisal · 2016

ক
x=1\mathrm{x} = 1 হলে, ধারাটি নির্ণয় করে প্রাপ্ত ধারাটির সাধারণ অনুপাত বের কর।

উত্তর

প্রদত্ত ধারাটি, 13x−1+1(3x−1)2+1(3x−1)3+⋯\frac{1}{3\mathrm{x}-1} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^3} + \cdots x=1\mathrm{x} = 1 হলে ধারাটি, \frac{1}{3 \cdot 1 - 1} + \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1}^2} + \frac{1}{(3 \cdot 1 - 1}^3} + \cdots =12+122+123+⋯= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r=12212=14×2=12\mathrm{r} = \frac{\frac{1}{2^2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} (Ans.)
খ
"x\mathrm{x}" এর উপর যে শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে তা নির্ণয় করে উক্ত শর্ত সাপেক্ষে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত ধারাটি, 13x−1+1(3x−1)2+1(3x−1)3+⋯\frac{1}{3\mathrm{x}-1} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^2} + \frac{1}{(3\mathrm{x}-1)^3} + \cdots ধারাটির ১ম পদ, a=13x−1\mathrm{a} = \frac{1}{3\mathrm{x}-1} সাধারণ অনুপাত,r=\frac{1}{(3 x-1}^2}+\frac{1}{3 x-1}=\frac{1}{(3 x-1}^2} \times \frac{3 x-1}{1} =13x−1=\frac{1}{3 x-1} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| < 1 হয়। অর্থাৎ, ∣13x−1∣<1\left|\frac{1}{3\mathrm{x}-1}\right| < 1 বা, −1<13x−1<1-1 < \frac{1}{3\mathrm{x}-1} < 1 ∴13x−1<1\therefore \frac{1}{3\mathrm{x}-1} < 1 বা, 3x−1>13 x-1>1 বা, 3x−1+1>1+13 \mathrm{x}-1+1>1+1 বা, 3x>23 x>2 ∴x>23\therefore \quad x>\frac{2}{3} অথবা, 13x−1>−1\frac{1}{3 \mathrm{x}-1}>-1 বা, 3x−1<−13 \mathrm{x}-1<-1 বা, 3x<−1+13 x<-1+1 বা, 3x<03 x<0 ∴x<0x<0 ∴x>23\therefore \mathrm{x}>\frac{2}{3} অথবা x<0\mathrm{x}<0 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। (Ans.) এখন, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−rS_{\infty}=\frac{a}{1-r} =13x−11−13x−1=\frac{\frac{1}{3 x-1}}{1-\frac{1}{3 x-1}} =13x−13x−1−13x−1=\frac{\frac{1}{3 x-1}}{\frac{3 x-1-1}{3 x-1}} =13x−2( Ans. )=\frac{1}{3 x-2}(\text{ Ans. })
গ
রাশিটির বিস্তৃতিতে x2\mathrm{x}^2 এর সহগ 252 হলে 'k\mathrm{k}' এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই, (x−kx2)8=x8+(81)x7⋅(−kx2)\left(x-\frac{k}{x^2}\right)^8=x^8+\binom{8}{1}x^7\cdot\left(\frac{-k}{x^2}\right) +(83)x5⋅(−kx2)3+…….+\binom{8}{3} x^5 \cdot\left(\frac{-k}{x^2}\right)^3+\ldots \ldots .. =x8−8kx5+8.71.2x6⋅k2x4+8.7.61.2.3⋅x5⋅−k3x6+….=x^8-8 k x^5+\frac{8.7}{1.2} x^6 \cdot \frac{k^2}{x^4}+\frac{8.7 .6}{1.2 .3} \cdot x^5 \cdot \frac{-k^3}{x^6}+\ldots .. =x8−8kx5+28x2k2−56k3x+……=x^8-8 k x^5+28 x^2 k^2-\frac{56 k^3}{x}+\ldots \ldots প্রশ্নমতে, 28k2=25228 \mathrm{k}^2=252 বা, k2=25228k^2=\frac{252}{28} বা, k2=9k^2=9 ∴k=±3 (Ans.) \therefore k= \pm 3 \text{ (Ans.) }

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCউচ্চতর গণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

দেওয়া আছে, A=(1−x)8\mathrm{A} = (1 - \mathrm{x})^8 এবং B=(1+x)7\mathrm{B} = (1 + \mathrm{x})^7.

Jessore · 2016

ক
B কে x4\mathrm{x}^4 পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, B=(1+x)7\mathrm{B} = (1 + \mathrm{x})^7 দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই, (1+x)7=1+71x+7⋅61⋅2x2+7⋅6⋅51⋅2⋅3x3+7⋅6⋅5⋅41⋅2⋅3⋅4x4+⋯(1 + \mathrm{x})^7 = 1 + \frac{7}{1}\mathrm{x} + \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2}\mathrm{x}^2 + \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}\mathrm{x}^3 + \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}\mathrm{x}^4 + \cdots =1+7x+21x2+35x3+35x4+⋯= 1 + 7\mathrm{x} + 21\mathrm{x}^2 + 35\mathrm{x}^3 + 35\mathrm{x}^4 + \cdots (Ans.)
খ
A কে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং উক্ত ফলাফল ব্যবহার করে (0.9)8(0.9)^8 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, A=(1−x)8\mathrm{A} = (1 - \mathrm{x})^8 দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই, (1−x)8=1+(81)(−x)+(82)(−x)2+(83)(−x)3+⋯(1 - \mathrm{x})^8 = 1 + \binom{8}{1}(-\mathrm{x}) + \binom{8}{2}(-\mathrm{x})^2 + \binom{8}{3}(-\mathrm{x})^3 + \cdots =1−8x+28x2−56x3+⋯= 1 - 8\mathrm{x} + 28\mathrm{x}^2 - 56\mathrm{x}^3 + \cdots (Ans.) প্রশ্নমতে, (1−x)8=(0.9)8(1 - \mathrm{x})^8 = (0.9)^8 বা, 1−x=0.91 - \mathrm{x} = 0.9 বা, 1−0.9=x1 - 0.9 = \mathrm{x} ∴x=0.1\therefore \mathrm{x} = 0.1 উক্ত বিস্তৃতিতে x=0.1\mathrm{x} = 0.1 বসিয়ে পাই, (1−0.1)8=1−8(0.1)+28(0.1)2−56(0.1)3+⋯(1 - 0.1)^8 = 1 - 8(0.1) + 28(0.1)^2 - 56(0.1)^3 + \cdots $∴(0.9)8=1−0.8+0.28−0.056+⋯\therefore(0.9)^8 = 1 - 0.8 + 0.28 - 0.056 + \cdots =0.424= 0.424 [তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত] (Ans.)
গ
দেখাও যে, AB এর বিস্তৃতিতে x7\mathrm{x}^7 এর সহগ 35.

উত্তর

দেওয়া আছে, A=(1−x)8\mathrm{A}=(1-\mathrm{x})^8 B=(1+x)7B=(1+x)^7 ∴AB=(1−x)8(1+x)7\therefore \quad A B=(1-x)^8(1+x)^7 (1−x)8(1+x)7=(1−x)(1−x)7(1+x)7(1-x)^8(1+x)^7=(1-x)(1-x)^7(1+x)^7 =(1−x)(1−x2)7=(1−x)=(1-x)\left(1-x^2\right)^7=(1-x) [(70)(−x2)9+(71)(−x2)1+(72)(−x2)2+(73)(−x2)3+(74)(−x2)4+…]{\left[\binom{7}{0}\left(-x^2\right)^9+\binom{7}{1}\left(-x^2\right)^1+\binom{7}{2}\left(-x^2\right)^2+\binom{7}{3}\left(-x^2\right)^3+\binom{7}{4}\left(-x^2\right)^4+\ldots\right]} ∴(1−x)8(1+x)7=(1−x)(1−x2)7(1-x)^8(1+x)^7=(1-x)\left(1-x^2\right)^7 =(1−x)[1−7x2+21x4−35x6+35x8−…..]=(1-x)\left[1-7 x^2+21 x^4-35 x^6+35 x^8-\ldots . .\right] =(1−7x2+21x4−35x6+35x8+……..)=\left(1-7 x^2+21 x^4-35 x^6+35 x^8+\ldots \ldots . .\right) +(−x+7x3−21x5+35x7−35x9+…….)\quad+\left(-x+7 x^3-21 x^5+35 x^7-35 x^9+\ldots \ldots .\right) ∴(1−x)8(1+x)7=1−x−7x2+7x3+21x4−21x5(1-x)^8(1+x)^7=1-x-7 x^2+7 x^3+21 x^4-21 x^5 −35x6+35x7+35x8……..\quad-35 x^6+35 x^7+35 x^8 \ldots \ldots . . ∴(1−x)8(1+x)7(1-x)^8(1+x)^7 এর বিস্তৃতিতে x7x^7 এর সহগ 35 ∴ x7x^7 এর সহগ 35

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

SSCউচ্চতর গণিতসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোনো ধারার n-তম পদ Un=(1+x)n−2\mathrm{U}_\mathrm{n} = (1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}-2}

Chittagong · 2016

ক
ধারাটি নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, n-তম পদ, Un=(1+x)n−2\mathrm{U}_\mathrm{n} = (1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}-2} n = 1 হলে, প্রথম পদ, U1=(1+x)1−2=(1+x)−1=1(1+x)\mathrm{U}_1 = (1+\mathrm{x})^{1-2} = (1+\mathrm{x})^{-1} = \frac{1}{(1+\mathrm{x})} n = 2 হলে, দ্বিতীয় পদ, U2=(1+x)2−2=(1+x)0=1\mathrm{U}_2 = (1+\mathrm{x})^{2-2} = (1+\mathrm{x})^0 = 1 n = 3 হলে, তৃতীয় পদ, U3=(1+x)3−2=(1+x)1=(1+x)\mathrm{U}_3 = (1+\mathrm{x})^{3-2} = (1+\mathrm{x})^1 = (1+\mathrm{x}) n = 4 হলে, চতুর্থ পদ, U4=(1+x)4−2=(1+x)2\mathrm{U}_4 = (1+\mathrm{x})^{4-2} = (1+\mathrm{x})^2 ∴\therefore ধারাটি হলো: 1(1+x)+1+(1+x)+(1+x)2+……\frac{1}{(1+\mathrm{x})} + 1 + (1+\mathrm{x}) + (1+\mathrm{x})^2 + \ldots\ldots (Ans.)
খ
x এর উপর কি শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক পদের সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর

ধারাটির ১ম পদ, a=11+x\mathrm{a} = \frac{1}{1+\mathrm{x}} সাধারণ অনুপাত, r=111+x=(1+x)\mathrm{r} = \frac{1}{\frac{1}{1+\mathrm{x}}} = (1+\mathrm{x}) এখন, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|\mathrm{r}| \lt 1 হয়। অর্থাৎ, ∣1+x∣<1|1 + \mathrm{x}| \lt 1 বা, −1<;1+x<1-1 \lt; 1 + \mathrm{x} \lt 1 বা, −1−1<;1+x−1<1−1-1-1 \lt; 1 + \mathrm{x} - 1 \lt 1-1 [(−1)[(-1) যোগ করে] ∴−2<;x<0\therefore -2 \lt; \mathrm{x} \lt 0 ∴\therefore নির্ণেয় শর্তঃ −2<x<0-2 \lt \mathrm{x} \lt 0. ∴\therefore ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r=11+x1−(1+x)\mathrm{S}_\infty = \frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}} = \frac{\frac{1}{1+\mathrm{x}}}{1-(1+\mathrm{x})} =11+x1−1−x=11+x×1−x= \frac{\frac{1}{1+\mathrm{x}}}{1-1-\mathrm{x}} = \frac{1}{1+\mathrm{x}} \times \frac{1}{-\mathrm{x}} =1−x(1+x)= \frac{1}{-\mathrm{x}(1+\mathrm{x})}, x≠−1\mathrm{x} \neq -1 (Ans.)
গ
ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় কর। উক্ত পদের বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান 540 হলে, x এর মান কত হবে?

উত্তর

দেওয়া আছে, n তম পদ, Un=(1+x)n−2\mathrm{U}_\mathrm{n} = (1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}-2} ∴\therefore অষ্টম (n=8)(\mathrm{n}=8) পদ, U8=(1+x)8−2=(1+x)6\mathrm{U}_8 = (1+\mathrm{x})^{8-2} = (1+\mathrm{x})^6 (Ans.) এখন, (1+x)6(1+\mathrm{x})^6 এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে = 7টি। যেহেতু পদসংখ্যা = 7, তাই মধ্যপদটি হবে (62+1)\left(\frac{6}{2}+1\right) বা, 4 তম পদ ∴(1+x)6\therefore (1+\mathrm{x})^6 এর বিস্তৃতিতে 4 বা, (3+1)(3+1) তম পদ =6C3(1)6−3(x)3=20x3= {}^6\mathrm{C}_3(1)^{6-3}(\mathrm{x})^3 = 20\mathrm{x}^3 প্রশ্নানুসারে, 20x3=54020\mathrm{x}^3 = 540 বা, x3=54020\mathrm{x}^3 = \frac{540}{20} বা, x3=27\mathrm{x}^3 = 27 বা, x3=33\mathrm{x}^3 = 3^3 ∴x=3\therefore \mathrm{x} = 3 (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো
SSC উচ্চতর গণিত — অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি MCQ | Prosthuti