Chapter 6 : রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ (Full Syllabus) সাধারণ গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$\Delta PQR$ এর $PQ$ ও $PR$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M, N$ এবং $PQ > PR$

Jessore · 2016

ক

তথ্যটির চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর

চিত্রে, $PQR$ একটি ত্রিভুজ। ইহার $PQ$ ও $PR$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ ও $N$ এবং $PQ > PR$.

খ

প্রমাণ কর যে, MN || QR এবং MN = $\frac{1}{2}$ QR.

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। $D$ ও $E$ যথাক্রমে ত্রিভুজটির $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু। তাহলে, প্রমাণ করতে হবে যে $DE \parallel BC$ এবং $DE = \frac{1}{2}BC$। অঙ্কন: $D$ ও $E$ যোগ করে বর্ধিত করি যেন $EF = DE$ হয়। $C, F$ যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ ১. $\Delta ADE$ ও $\Delta CEF$ এর মধ্যে, $AE = EC$ [দেওয়া আছে] $DE = EF$ [অঙ্কনানুসারে] $\angle AED = \angle CEF$ [বিপ্রতীপ কোণ] $\therefore \Delta ADE \cong \Delta CEF$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] $\therefore \angle ADE = \angle EFC$ এবং $\angle DAE = \angle ECF$ [একান্তর কোণ] $\therefore AD \parallel CF$ বা $AB \parallel CF$। আবার, $BD = AD = CF$ এবং $BD \parallel CF$। সুতরাং $BDFC$ একটি সামান্তরিক। $\therefore DF \parallel BC$ বা $DE \parallel BC$। ধাপ ২. আবার, $DF = BC$ বা $DE + EF = BC$ বা $DE + DE = BC$ বা $2DE = BC$ বা $DE = \frac{1}{2} BC$ $\therefore DE \parallel BC$ এবং $DE = \frac{1}{2} BC$ (প্রমাণিত)। বি.দ্র. সৃজনশীল প্রশ্ন অনুরূপ।

গ

$\angle P$ এর সমদ্বিখন্ডক $QR$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, $\angle PDQ$ স্থূলকোণ।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\Delta PQR$-এ $PQ > PR$ এবং $\angle P$ এর সমদ্বিখন্ডক $QR$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle PDQ$ স্থূলকোণ। প্রমাণ: ধাপ (১) $\Delta PQR$-এ $PQ > PR$ $\therefore \angle R > \angle Q$ [ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ, ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।] বা, $\angle R + \frac{1}{2}\angle P > \angle Q + \frac{1}{2}\angle P$ [উভয়পক্ষে $\frac{1}{2}\angle P$ যোগ করে] (২) আবার, $\Delta PRD$-এ বহিঃস্থ $\angle PDQ =$ অন্তঃস্থ বিপরীত ($\angle R + \frac{1}{2}\angle P$) (৩) এবং $\Delta PQD$-এ বহিঃস্থ $\angle PDR =$ অন্তঃস্থ বিপরীত ($\angle Q + \frac{1}{2}\angle P$) $\therefore \angle PDQ > \angle PDR$ [$\because \angle R + \frac{1}{2}\angle P > \angle Q + \frac{1}{2}\angle P$] যেহেতু কোণ দুইটি সন্নিহিত কোণ এবং অসমান, $\therefore 90^\circ < \angle PDQ < 180^\circ$ $\therefore \angle PDQ$ স্থূলকোণ। (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

ABC একটি ত্রিভুজ। E এবং F যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।

Sylhet · 2016

ক

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের দুইটি সূত্র লিখ।

উত্তর

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের দুইটি সূত্র নিম্নরূপ: ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতা জানা থাকলে ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে ক্ষেত্রফল $= \sqrt{\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{a})(\mathrm{s}-\mathrm{b})(\mathrm{s}-\mathrm{c})}$ যেখানে, $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ত্রিভুজের বাহুত্রয় এবং $\mathrm{s} = \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$

খ

উদ্দীপক অনুসারে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{EF}||\mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{EF} = \frac{1}{2}\mathrm{BC}$।

উত্তর

মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। $E$ ও $F$ যথাক্রমে ত্রিভুজের $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু। তাহলে, প্রমাণ করতে হবে যে $EF \parallel BC$ এবং $EF = \frac{1}{2}BC$। অঙ্কন: $E$ ও $F$ যোগ করে বর্ধিত করি যেন $FG = EF$ হয়। $C, G$ যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ ১: $\triangle AEF$ ও $\triangle CFG$ এর মধ্যে, $AF = CF$ [$F$, $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু হওয়ায়] $EF = FG$ [অঙ্কনানুসারে] $\angle AEF = \angle CFG$ [বিপ্রতীপ কোণ] $\therefore \triangle AEF \cong \triangle CFG$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] $\therefore \angle AEF = \angle CGF$ এবং $\angle FAE = \angle FCG$ [একান্তর কোণ] $\therefore AE \parallel CG$ বা $AB \parallel CG$। আবার, $BE = AE = CG$ এবং $BE \parallel CG$। সুতরাং $BCGE$ একটি সামান্তরিক। $\therefore EG \parallel BC$ বা $EF \parallel BC$। ধাপ ২: আবার, $EG = BC$ বা $EF + FG = BC$ বা, $EF + EF = BC$ বা, $2EF = BC$ বা, $EF = \frac{1}{2}BC$ $\therefore EF \parallel BC$ এবং $EF = \frac{1}{2}BC$ (প্রমাণিত)।

গ

যদি $\triangle\mathrm{ABC}$ এর $\angle\mathrm{ABC}$ = এক সমকোণ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{BF} = \frac{1}{2}\mathrm{AC}$.

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\triangle\mathrm{ABC}$-এ $\angle\mathrm{B}$ = এক সমকোণ তাহলে $\mathrm{F}$ অতিভুজ $\mathrm{AC}$-এর মধ্যবিন্দু। $\mathrm{B}, \mathrm{F}$ যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{BF} = \frac{1}{2}\mathrm{AC}$. অঙ্কন: $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ (১) $\triangle\mathrm{ABC}$-এর $\mathrm{E}$ এবং $\mathrm{F}$ যথাক্রমে $\mathrm{AB}$ এবং $\mathrm{AC}$ -এর মধ্যবিন্দু। [অঙ্কন এবং কল্পনানুসারে] $\therefore \mathrm{EF} || \mathrm{BC}$. [ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল] $\therefore \angle\mathrm{AEF}$ = অনুরূপ $\angle\mathrm{EBC}$ = এক সমকোণ [কল্পনা] (২) এখন, $\triangle\mathrm{AEF}$ এবং $\triangle\mathrm{BEF}$ -এর মধ্যে $\mathrm{AE} = \mathrm{BE}$ [E, AB-এর মধ্যবিন্দু] $\mathrm{EF} = \mathrm{EF}$ [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভূক্ত $\angle\mathrm{AEF}$ = অন্তর্ভূক্ত $\angle\mathrm{BEF}$ [$\because$ প্রত্যেকে সমকোণ] $\therefore \triangle\mathrm{AEF} \cong \triangle\mathrm{BEF}$ $\therefore \mathrm{AF} = \mathrm{BF}$ (৩) কিন্তু $\mathrm{AF}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}$. [F, AC এর মধ্যবিন্দু] $\therefore \quad \mathrm{BF}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}$. [ধাপ-২ থেকে] (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$\Delta\mathrm{ABC}$ এর $\angle\mathrm{B}$ ও $\angle\mathrm{C}$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $\mathrm{O}$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

Dinajpur · 2016

ক

উপরের তথ্যের আলোকে চিত্রটি আঁক।

উত্তর

মনে করি, $\mathrm{ABC}$ একটি ত্রিভুজ। $\angle\mathrm{B}$ ও $\angle\mathrm{C}$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর $\mathrm{O}$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

খ

প্রমাণ কর যে, $\angle \mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$.

উত্তর

বিশেষ নির্বাচন: দেওয়া আছে, ত্রিভুজ $\text{ABC}$ এর $\angle\text{B}$ এবং $\angle\text{C}$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $\text{O}$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। অর্থাৎ, $\text{BO}$ এবং $\text{CO}$ যথাক্রমে $\angle\text{ABC}$ এবং $\angle\text{ACB}$ এর সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle\mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle\mathrm{A}$. প্রমাণ: ধাপ (১): $\triangle\mathrm{ABC}$-এ, $\angle\mathrm{A}+\angle\mathrm{B}+\angle\mathrm{C} = 180^\circ$ [$\therefore$ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$] বা, $\frac{1}{2}\angle\mathrm{A}+\frac{1}{2}\angle\mathrm{B}+\frac{1}{2}\angle\mathrm{C} = 90^\circ$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই] $\frac{1}{2}\angle\mathrm{B}+\frac{1}{2}\angle\mathrm{C} = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle\mathrm{A}$$\ldots\ldots. (i)$ ধাপ (২): $\triangle\mathrm{BOC}$-এ $\angle\mathrm{BOC} + \angle\mathrm{OBC} + \angle\mathrm{OCB} = 180^\circ$ বা, $\angle\mathrm{BOC}+\frac{1}{2}\angle\mathrm{B}+\frac{1}{2}\angle\mathrm{C} = 180^\circ$ [$\because$ $\text{BO}$ এবং $\text{CO}$ রেখা যথাক্রমে $\angle\text{B}$ ও $\angle\text{C}$-এর সমদ্বিখণ্ডক] বা, $\angle\mathrm{BOC} + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle\mathrm{A} = 180^\circ$ [(i) নং হতে] বা, $\angle\mathrm{BOC} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle\mathrm{A}$ $\therefore \angle\mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle\mathrm{A}$ (প্রমাণিত)

গ

যদি $\text{AB}$ কে $\text{E}$ পর্যন্ত এবং $\text{AC}$ কে $\text{F}$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হয় এবং $\angle\text{EBC}$ ও $\angle\text{FCB}$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক $\text{O}$ বিন্দুতে মিলিত হয় তবে প্রমাণ কর যে, $\angle\mathrm{BOC} = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle\mathrm{A}$.

উত্তর

বিশেষ নির্বাচন: $\triangle \mathrm{ABC}$-এর $\mathrm{AB}$ বাহুকে $\mathrm{E}$ পর্যন্ত এবং $\mathrm{AC}$ বাহুকে $\mathrm{F}$ পর্যন্ত বর্ধিত করায় $\mathrm{B}$ এবং $\mathrm{C}$ বিন্দুতে দুইটি বহিঃস্থকোণ যথাক্রমে $\angle\mathrm{EBC}$ এবং $\angle\mathrm{FCB}$ উৎপন্ন হয়েছে। এখন, $\angle\mathrm{EBC}$ এর সমদ্বিখণ্ডক $\mathrm{BO}$ এবং $\angle\mathrm{FCB}$ এর সমদ্বিখণ্ডক $\mathrm{CO}$ পরস্পর $\mathrm{O}$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle \mathrm{BOC} = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$. প্রমাণ: ধাপ (১): $\triangle \mathrm{ABC}$-এ $\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{C} = 180^\circ$ [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ] বা, $\frac{1}{2}\angle \mathrm{A}+\frac{1}{2}\angle \mathrm{B}+\frac{1}{2}\angle \mathrm{C}=90^\circ$ $\ldots\ldots. (i)$ ধাপ (২): আবার, $\triangle \mathrm{BOC}$-এ $\angle \mathrm{BOC} + \angle \mathrm{OBC} + \angle \mathrm{OCB} = 180^\circ$ বা, $\angle \mathrm{BOC}+\frac{1}{2}\angle \mathrm{EBC}+\frac{1}{2}\angle \mathrm{FCB} = 180^\circ$ [$\because$ $\mathrm{BO}$ এবং $\mathrm{CO}$ যথাক্রমে $\angle\mathrm{EBC}$ ও $\angle\mathrm{FCB}$ এর সমদ্বিখণ্ডক] বা, $\angle \mathrm{BOC}+\frac{1}{2}(180^\circ - \angle \mathrm{B}) + \frac{1}{2}(180^\circ - \angle \mathrm{C}) = 180^\circ$ [$\because$ $\angle\mathrm{CBE}$, $\angle\mathrm{B}$-এর এবং $\angle\mathrm{BCF}$, $\angle\mathrm{C}$-এর সম্পূরক কোণ] বা, $\angle \mathrm{BOC} + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle \mathrm{B} + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle \mathrm{C}= 180^\circ$ বা, $\angle \mathrm{BOC} = 180^\circ-90^\circ-90^\circ+\frac{1}{2}\angle \mathrm{B}+\frac{1}{2}\angle \mathrm{C}$ $\therefore \angle \mathrm{BOC}=90^\circ-\frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$ [(i) নং হতে] (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

চিত্রে, ∆ABC এর AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E।

Rajshahi · 2016

ক

37° কোণের পূরক কোণ কত?

উত্তর

আমরা জানি, দুটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটি কোণকে অপর কোণের পূরক কোণ বলে। ∴ 37° কোণের পূরক কোণ = 90° - 37° = 53° (Ans.)

খ

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, DE || BC এবং 2DE = BC ।

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $A B C$ একটি ত্রিভুজ। $D$ ও $E$ যথাক্রমে ত্রিভুজটির $A B$ ও $A C$ বাহুর মধ্যবিন্দু। তাহলে, প্রমাণ করতে হবে যে $D E \| B C$ এবং $D E=\frac{1}{2} B C$ । অঙ্কন: $D$ ও $E$ যোগ করে বর্ধিত করি যেন $E F=D E$ হয়। $C, F$ যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ ১. $\triangle A D E$ ও $\triangle C E F$ এর মধ্যে, $A E=E C$ [দেওয়া আছে] $D E=E F$ [অঙ্কনানুসারে] $\angle A E D=\angle C E F$ [বিপ্রতীপ কোণ] $\therefore \triangle A D E \cong \triangle C E F$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] $\therefore \angle A D E=\angle E F C$ এবং $\angle D A E=\angle E C F$ [একান্তর কোণ] $\therefore A D \| C F$ বা $A B \| C F$ । আবার, $B D=A D=C F$ এবং $B D \| C F$ । সুতরাং $B D F C$ একটি সামান্তরিক। $\therefore D F \| B C$ বা $D E \| B C$ । ধাপ ২. আবার, $D F=B C$ বা $D E+E F=B C$ বা $D E+D E=B C$ বা $2 D E=B C$ বা $D E=\frac{1}{2} B C$ $\therefore D E \| B C$ এবং $D E=\frac{1}{2} B C$ (প্রমাণিত)। বি.দ্র.: সৃজনশীল অনুরূপ।

গ

প্রমাণ কর যে, AB + BC > 2BE ।

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, $\triangle \mathrm{PQR}$ এর PR বাহুর মধ্যবিন্দু SI Q, S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}>2 \mathrm{QS}$ । অঙ্কন: QS কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন $\mathrm{SE}=\mathrm{QS}$ হয়I R, E যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ (১) $\triangle \mathrm{PQS}$ এবং $\triangle \mathrm{SER}$-এ $\mathrm{PS}=\mathrm{SR}[\mathrm{S}, \mathrm{PR}$ এর মধ্যবিন্দু $\mathrm{QS}=\mathrm{SE}$ [অঙ্কনানুসারে] এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle \mathrm{QSP}=$ অন্তর্ভুক্ত $\angle \mathrm{ESR}$ [বিপ্রতীপ কোণ] $\therefore \triangle \mathrm{PQS} \cong \triangle \mathrm{SER}$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] সুতরাং $\mathrm{PQ}=\mathrm{RE}$ (২) আবার, $\triangle \mathrm{QER}-$ এ, [ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] $\mathrm{QR}+\mathrm{RE}>\mathrm{QE}$ বা, $\mathrm{QR}+\mathrm{PQ}>\mathrm{QS}+\mathrm{SE}$ [ধাপ (১) থেকে] বা, $\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}>\mathrm{QS}+\mathrm{QS}$ [অঙ্কনানুসারে] $\therefore \mathrm{PQ}+\mathrm{QR}>2 \mathrm{QS}$ (প্রমাণিত) বি.দ্র. সৃজনশীল অনুরূপ।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো