Chapter 8: নমুনায়ন Statistics 2nd Paper

HSC Statistics 2nd Paper এর Chapter 8: নমুনায়ন অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

২৭৬

প্রশ্ন

Statistics 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

1.3.5.7 এককবিশিষ্ট তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 একক বিশিষ্ট সম্ভাব্য সকল নমুনা নির্বাচন করা হলে, নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হবে।
ক
বৃহৎ নমুনা কাকে বলে?

উত্তর

যে নমুনার একক সংখ্যা 30 বা তার বেশি তাকে বৃহৎ নমুনা বলে।
খ
ঢাকা কলেজের ছাত্রদের গড় বয়স পরিমাপ করতে যদি 15 জন ছাত্রকে নমুনায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে এটি কোন ধরনের নমুনা? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

ঢাকা কলেজের ছাত্রদের গড় বয়স পরিমাপ করতে যদি 15 জন ছাত্রকে নমুনায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে এটি একটি ক্ষুদ্র নমুনা হবে। যে নমুনার একক সংখ্যা 30 এর কম তাকে ক্ষুদ্র নমুনা বলে। ঢাকা কলেেেজর ছাত্রদের গড় বয়স পরিমাপ করতে 15 জন ছাত্রকে নমুনায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। যা 30 এর কম। সুতরাং ইহা একটি ক্ষুদ্র নমুনা।
গ
উদ্দীপক হতে পুনঃস্থাপন করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করে দেখাও যে, E(y‾)=YˉE(\overline{\mathbf{y}})=\bar{Y} ।

উত্তর

ধরি, তথ্যবিশ্ব Y₁ = 1, 2, 5, 7, তথ্যবিশ্বের আকার, N = 4. নমুনার আকার, n = 2. তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে = Nn = 4² = 16টি। ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে, yˉ1,yˉ2,….,yˉ16\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots ., \bar{y}_{16} তাহলে প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, p(yˉi)=116p\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{16}. নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের তালিকা: এখন নমুনা গড়ের নিরূপিত মান, E(yˉ)=∑yˉi⋅p(yˉi)E(\bar{y})=\sum \bar{y}_i \cdot p\left(\bar{y}_i\right) =64×116=4=64 \times \frac{1}{16}=4 তথ্যবিশ্বের গড়, Yˉ=ΣYiN=1+3+5+74=164=4\bar{Y}=\frac{\Sigma Y_i}{N}=\frac{1+3+5+7}{4}=\frac{16}{4}=4 ∴E(yˉ)=Yˉ\therefore \quad E(\bar{y})=\bar{Y}. (দেখানো হলো)
ঘ
নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হবে"- উদ্দীপকের আলোকে উক্তিটির সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করা হলে মোট নমুনা সংখ্যা হবে =NCn=4C2=6={ }^N C_n={ }^4 C_2=6 টি ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে, yˉ1,yˉ2,…..,yˉ6\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots . ., \bar{y}_6. তাহলে প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, p(yˉi)=16p\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{6}. নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের তালিকা: এখন নমুনা গড়ের নিরূপিত মান, E(yˉ)=Eyˉi⋅p(yˉi)=24×16=4.\begin{aligned} E(\bar{y}) & =E \bar{y}_i \cdot p\left(\bar{y}_i\right) \\ & =24 \times \frac{1}{6}=4 .\end{aligned} 'গ' হতে পাই, তথ্যবিশ্বের গড়, Yˉ=4\bar{Y}=4 ∴E(y‾)=Y‾\therefore \quad E(\overline{\mathrm{y}})=\overline{\mathrm{Y}} সুতরাং জ্ঞনমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ হবে" - উদ্দীপকের আলোকে উক্তিটি সত্য।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

1.3.5.7 এককবিশিষ্ট তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 একক বিশিষ্ট সম্ভাব্য সকল নমুনা নির্বাচন করা হলে, নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হবে।
ক
বৃহৎ নমুনা কাকে বলে?

উত্তর

যে নমুনার একক সংখ্যা 30 বা তার বেশি তাকে বৃহৎ নমুনা বলে।
খ
ঢাকা কলেজের ছাত্রদের গড় বয়স পরিমাপ করতে যদি 15 জন ছাত্রকে নমুনায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে এটি কোন ধরনের নমুনা? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

ঢাকা কলেজের ছাত্রদের গড় বয়স পরিমাপ করতে যদি 15 জন ছাত্রকে নমুনায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে এটি একটি ক্ষুদ্র নমুনা হবে। যে নমুনার একক সংখ্যা 30 এর কম তাকে ক্ষুদ্র নমুনা বলে। ঢাকা কলেেেজর ছাত্রদের গড় বয়স পরিমাপ করতে 15 জন ছাত্রকে নমুনায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। যা 30 এর কম। সুতরাং ইহা একটি ক্ষুদ্র নমুনা।
গ
উদ্দীপক হতে পুনঃস্থাপন করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করে দেখাও যে, E(y‾)=YˉE(\overline{\mathbf{y}})=\bar{Y} ।

উত্তর

ধরি, তথ্যবিশ্ব Y₁ = 1, 2, 5, 7, তথ্যবিশ্বের আকার, N = 4. নমুনার আকার, n = 2. তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে = Nn = 4² = 16টি। ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে, yˉ1,yˉ2,….,yˉ16\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots ., \bar{y}_{16} তাহলে প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, p(yˉi)=116p\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{16}. নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের তালিকা: এখন নমুনা গড়ের নিরূপিত মান, E(yˉ)=∑yˉi⋅p(yˉi)E(\bar{y})=\sum \bar{y}_i \cdot p\left(\bar{y}_i\right) =64×116=4=64 \times \frac{1}{16}=4 তথ্যবিশ্বের গড়, Yˉ=ΣYiN=1+3+5+74=164=4\bar{Y}=\frac{\Sigma Y_i}{N}=\frac{1+3+5+7}{4}=\frac{16}{4}=4 ∴E(yˉ)=Yˉ\therefore \quad E(\bar{y})=\bar{Y}. (দেখানো হলো)
ঘ
নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হবে"- উদ্দীপকের আলোকে উক্তিটির সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করা হলে মোট নমুনা সংখ্যা হবে =NCn=4C2=6={ }^N C_n={ }^4 C_2=6 টি ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে, yˉ1,yˉ2,…..,yˉ6\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots . ., \bar{y}_6. তাহলে প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, p(yˉi)=16p\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{6}. নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের তালিকা: এখন নমুনা গড়ের নিরূপিত মান, E(yˉ)=Eyˉi⋅p(yˉi)=24×16=4.\begin{aligned} E(\bar{y}) & =E \bar{y}_i \cdot p\left(\bar{y}_i\right) \\ & =24 \times \frac{1}{6}=4 .\end{aligned} 'গ' হতে পাই, তথ্যবিশ্বের গড়, Yˉ=4\bar{Y}=4 ∴E(y‾)=Y‾\therefore \quad E(\overline{\mathrm{y}})=\overline{\mathrm{Y}} সুতরাং জ্ঞনমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ হবে" - উদ্দীপকের আলোকে উক্তিটি সত্য।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

4. 6. 8. 10 এককবিশিষ্ট তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন ছাড়া (পুনঃস্থাপন না করে) 2 আকারে নমুনা নির্বাচন করা হলো।
ক
পরামিতি কাকে বলে?

উত্তর

তথ্যবিশ্বকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য যে সকল ধ্রুবক ব্যবহৃত হয় তাদেরকে পরামিতি বলে।
খ
নমুনা জরিপের ক্ষেত্রে কোন ধরনের ত্রুটি ঘটে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

নমুনা জরিপের ক্ষেত্রে নমুনাজ ত্রুটি ঘটে থাকে। তথ্যবিশ্বের কোনো বৈশিষ্ট্য পরিমাপের লক্ষ্যে নমুনা জরিপের সময় তথ্যবিশ্বের সকল এককের পরিবর্তে অল্প কিছু সংখ্যক নির্বাচিত একক থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয়। এটির ফলে নমুনাজ মান ও পরামিতির মানের মধ্যে কিছুটা পার্থক্য দেখা যায়। এ পার্থক্যকে নমুনাজ ত্রুটি বলে। নমুনাজ মানের ভেদাঙ্কের সাহায্যে এ ত্রুটি পরিমাপ করা হয়। গাণিতিকভাবে A কোনো তথ্যবিশ্বের পরামিতি এবং নমুনাজ মান ৪ হলে নমুনাজ ত্রুটির পরিমাপ হবে ∣θ−θ^∣|\theta-\hat{\theta}|.
গ
তথ্যবিশ্বের গড় ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

গধরি, তথ্যবিশ্ব, Yi=4,6,8,10\mathrm{Y}_{\mathrm{i}}=4,6,8,10. তথ্যাবিশ্বের আকার, N=4\mathrm{N}=4. ∴\therefore তথ্যবিশ্বের গড়, Y‾=∑YiN=4+6+8+104=284=7\overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}=\frac{4+6+8+10}{4}=\frac{28}{4}=7 এবং তথ্যবিশ্বের ভেদাঙ্ক, σ2=∑(Yi−Yˉ)2N\sigma^2=\frac{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{N} ==\frac{(4-7)^2(6-7)^2+(8-.7)^2+(10-7)^2}{4} v$ =9+1+1+94=204=5=\frac{9+1+1+9}{4}=\frac{20}{4}=5
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিঝুঁকি নিরূপক।

উত্তর

ধরি, তথ্যবিশ্ব, Yi=4,6,8,10.Y_{i} = 4, 6, 8, 10. তথ্যবিশ্বের আকার, N = 4 এবং নমুনার আকার, n = 2 এখন, তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে I =NCn=4C2=6={ }^N C_n={ }^4 C_2=6 টি ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে yˉ1,yˉ2,……,yˉ6\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots \ldots, \bar{y}_6. প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, p(yˉi)=−16p\left(\bar{y}_i\right)=-\frac{1}{6}. নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের তালিকা: এখন নমুনা গড়ের নিরূপিত মান, উ(yˉ)=Σyˉi⋅p(yˉi)=42×16=7উ(\bar{y})=\Sigma \bar{y}_i \cdot p\left(\bar{y}_i\right)=42 \times \frac{1}{6}=7 'গ' হতে পাই, তথ্যবিশ্বের গড়, yˉ=7\bar{y}=7 ∴E(y‾)=Y‾\therefore \mathrm{E}(\overline{\mathrm{y}})=\overline{\mathrm{Y}}. সুতরাং নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিঝুঁকি নিরূপক। (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

4. 6. 8. 10 এককবিশিষ্ট তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন ছাড়া (পুনঃস্থাপন না করে) 2 আকারে নমুনা নির্বাচন করা হলো।
ক
পরামিতি কাকে বলে?

উত্তর

তথ্যবিশ্বকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য যে সকল ধ্রুবক ব্যবহৃত হয় তাদেরকে পরামিতি বলে।
খ
নমুনা জরিপের ক্ষেত্রে কোন ধরনের ত্রুটি ঘটে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

নমুনা জরিপের ক্ষেত্রে নমুনাজ ত্রুটি ঘটে থাকে। তথ্যবিশ্বের কোনো বৈশিষ্ট্য পরিমাপের লক্ষ্যে নমুনা জরিপের সময় তথ্যবিশ্বের সকল এককের পরিবর্তে অল্প কিছু সংখ্যক নির্বাচিত একক থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয়। এটির ফলে নমুনাজ মান ও পরামিতির মানের মধ্যে কিছুটা পার্থক্য দেখা যায়। এ পার্থক্যকে নমুনাজ ত্রুটি বলে। নমুনাজ মানের ভেদাঙ্কের সাহায্যে এ ত্রুটি পরিমাপ করা হয়। গাণিতিকভাবে A কোনো তথ্যবিশ্বের পরামিতি এবং নমুনাজ মান ৪ হলে নমুনাজ ত্রুটির পরিমাপ হবে ∣θ−θ^∣|\theta-\hat{\theta}|.
গ
তথ্যবিশ্বের গড় ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

গধরি, তথ্যবিশ্ব, Yi=4,6,8,10\mathrm{Y}_{\mathrm{i}}=4,6,8,10. তথ্যাবিশ্বের আকার, N=4\mathrm{N}=4. ∴\therefore তথ্যবিশ্বের গড়, Y‾=∑YiN=4+6+8+104=284=7\overline{\mathrm{Y}}=\frac{\sum \mathrm{Y}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}=\frac{4+6+8+10}{4}=\frac{28}{4}=7 এবং তথ্যবিশ্বের ভেদাঙ্ক, σ2=∑(Yi−Yˉ)2N\sigma^2=\frac{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{N} ==\frac{(4-7)^2(6-7)^2+(8-.7)^2+(10-7)^2}{4} v$ =9+1+1+94=204=5=\frac{9+1+1+9}{4}=\frac{20}{4}=5
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিঝুঁকি নিরূপক।

উত্তর

ধরি, তথ্যবিশ্ব, Yi=4,6,8,10.Y_{i} = 4, 6, 8, 10. তথ্যবিশ্বের আকার, N = 4 এবং নমুনার আকার, n = 2 এখন, তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে I =NCn=4C2=6={ }^N C_n={ }^4 C_2=6 টি ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে yˉ1,yˉ2,……,yˉ6\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots \ldots, \bar{y}_6. প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, p(yˉi)=−16p\left(\bar{y}_i\right)=-\frac{1}{6}. নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের তালিকা: এখন নমুনা গড়ের নিরূপিত মান, উ(yˉ)=Σyˉi⋅p(yˉi)=42×16=7উ(\bar{y})=\Sigma \bar{y}_i \cdot p\left(\bar{y}_i\right)=42 \times \frac{1}{6}=7 'গ' হতে পাই, তথ্যবিশ্বের গড়, yˉ=7\bar{y}=7 ∴E(y‾)=Y‾\therefore \mathrm{E}(\overline{\mathrm{y}})=\overline{\mathrm{Y}}. সুতরাং নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিঝুঁকি নিরূপক। (দেখানো হলো)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

4. 6, 8, 10. 12 এককবিশিষ্ট তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 3 আকারের নমুনা চয়ন করা হলো। [শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ, ময়মনসিংহ]
ক
নমুনায়ন বলতে কী বুঝ?

উত্তর

সমগ্রক থেকে নমুনা নির্বাচন করার প্রক্রিয়াকে নমুনায়ন বলে।
খ
নমুনাজ ত্রুটি দূর করা সম্ভব কী?

উত্তর

নমুনাজ ত্রুটি দূর করা সম্ভব নয়। নমুনা জরিপের সময় তথ্যবিশ্বের সকল এককের পরিবর্তে অল্প কিছু সংখ্যক একক থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয় বলে নমুনাজমান ও পরামিতির মধ্যে যে পার্থক্য দেখা যায় তাকে নমুনায়ন ত্রুটি বলে। নমুনায়ন ত্রুটি এড়ানো সম্ভব নয়। তবে নমুনার আকার বৃদ্ধি করে নমুনায়ন ত্রুটি কমানো সম্ভব হয়।
গ
দেখাও নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক।

উত্তর

ধরি, তথ্যবিশ্ব, Y=14.6.8.10 121 এখানে, তথ্যবিশ্বের আকার, N= 5 এবং নমুনায়ন আকার, n = 3 এখন, তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 3 আকারে নমুনা চয়ন করা হলে মোট নমুনায় সংখ্যা হবে 5C3={ }^5 \mathrm{C}_3=, 10টি ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে, yˉ1,yˉ2,………yˉ10\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots \ldots \ldots \bar{y}_{10} সুতরাং, প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ায় সম্ভাবনা, P(yˉi)=110P\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{10} নমুনা, নমুনা গড় ও নমুনা ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: ∴ নমুনা গড়ের গড়, E(yˉ)=Σyˉi⋅P(yˉi)=80×110=8\begin{aligned} E(\bar{y}) & =\Sigma \bar{y}_i \cdot P\left(\bar{y}_i\right) \\ & =80 \times \frac{1}{10}=8\end{aligned} আবার, তথ্যবিশ্বের গড়, Yˉ=∑YiN=4+6+8+10+125=405=8\begin{aligned} \bar{Y} & =\frac{\sum Y_i}{N} \\ & =\frac{4+6+8+10+12}{5}=\frac{40}{5}=8\end{aligned} এখানে, E(yˉ)=YˉE(\bar{y})=\bar{Y} অর্থাৎ, নমুনা গড়ের গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের সমান। সুতরাং, নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক।
ঘ
নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক ও তথ্যবিশ্বের ভেদাঙ্ক নিরপেক্ষ নিরূপক হবে কী? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক, V(yˉ)=E(yˉ2)−{E(yˉ)}2V(\bar{y})=E\left(\bar{y}^2\right)-\{E(\bar{y})\}^2 এখানে, E(yˉ2)=Σyˉ2⋅P(yˉ)=653.34×110=65.334E\left(\bar{y}^2\right)=\Sigma \bar{y}^2 \cdot P(\bar{y})=653.34 \times \frac{1}{10}=65.334 এবং E(yˉ)=8E(\bar{y})=8 ['গ' হতে পাই] ∴ নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক, V(yˉ)=E(yˉ2)−{E(yˉ)}2=65.334−(8)2=65.334−64=1.334\begin{aligned} V(\bar{y}) & =E\left(\bar{y}^2\right)-\{E(\bar{y})\}^2 \\ & =65.334-(8)^2 \\ & =65.334-64 \\ & =1.334\end{aligned} আবার, তথ্যবিশ্বের ভেদাঙ্ক, σY2=∑(Yi−Yˉ)2N=(4−8)2+(6−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(12−8)25=16+4+0+4+165=405=8\begin{aligned} \sigma_Y{ }^2 & =\frac{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{N} \\ & =\frac{(4-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2}{5} \\ & =\frac{16+4+0+4+16}{5}=\frac{40}{5}=8\end{aligned} ∴ V(yˉ)≠σY2V(\bar{y}) \neq \sigma_Y{ }^2 সুতরাং, নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক নয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

4. 6, 8, 10. 12 এককবিশিষ্ট তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 3 আকারের নমুনা চয়ন করা হলো। [শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ, ময়মনসিংহ]
ক
নমুনায়ন বলতে কী বুঝ?

উত্তর

সমগ্রক থেকে নমুনা নির্বাচন করার প্রক্রিয়াকে নমুনায়ন বলে।
খ
নমুনাজ ত্রুটি দূর করা সম্ভব কী?

উত্তর

নমুনাজ ত্রুটি দূর করা সম্ভব নয়। নমুনা জরিপের সময় তথ্যবিশ্বের সকল এককের পরিবর্তে অল্প কিছু সংখ্যক একক থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয় বলে নমুনাজমান ও পরামিতির মধ্যে যে পার্থক্য দেখা যায় তাকে নমুনায়ন ত্রুটি বলে। নমুনায়ন ত্রুটি এড়ানো সম্ভব নয়। তবে নমুনার আকার বৃদ্ধি করে নমুনায়ন ত্রুটি কমানো সম্ভব হয়।
গ
দেখাও নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক।

উত্তর

ধরি, তথ্যবিশ্ব, Y=14.6.8.10 121 এখানে, তথ্যবিশ্বের আকার, N= 5 এবং নমুনায়ন আকার, n = 3 এখন, তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে 3 আকারে নমুনা চয়ন করা হলে মোট নমুনায় সংখ্যা হবে 5C3={ }^5 \mathrm{C}_3=, 10টি ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে, yˉ1,yˉ2,………yˉ10\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots \ldots \ldots \bar{y}_{10} সুতরাং, প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ায় সম্ভাবনা, P(yˉi)=110P\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{10} নমুনা, নমুনা গড় ও নমুনা ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: ∴ নমুনা গড়ের গড়, E(yˉ)=Σyˉi⋅P(yˉi)=80×110=8\begin{aligned} E(\bar{y}) & =\Sigma \bar{y}_i \cdot P\left(\bar{y}_i\right) \\ & =80 \times \frac{1}{10}=8\end{aligned} আবার, তথ্যবিশ্বের গড়, Yˉ=∑YiN=4+6+8+10+125=405=8\begin{aligned} \bar{Y} & =\frac{\sum Y_i}{N} \\ & =\frac{4+6+8+10+12}{5}=\frac{40}{5}=8\end{aligned} এখানে, E(yˉ)=YˉE(\bar{y})=\bar{Y} অর্থাৎ, নমুনা গড়ের গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের সমান। সুতরাং, নমুনা গড় তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক।
ঘ
নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক ও তথ্যবিশ্বের ভেদাঙ্ক নিরপেক্ষ নিরূপক হবে কী? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক, V(yˉ)=E(yˉ2)−{E(yˉ)}2V(\bar{y})=E\left(\bar{y}^2\right)-\{E(\bar{y})\}^2 এখানে, E(yˉ2)=Σyˉ2⋅P(yˉ)=653.34×110=65.334E\left(\bar{y}^2\right)=\Sigma \bar{y}^2 \cdot P(\bar{y})=653.34 \times \frac{1}{10}=65.334 এবং E(yˉ)=8E(\bar{y})=8 ['গ' হতে পাই] ∴ নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক, V(yˉ)=E(yˉ2)−{E(yˉ)}2=65.334−(8)2=65.334−64=1.334\begin{aligned} V(\bar{y}) & =E\left(\bar{y}^2\right)-\{E(\bar{y})\}^2 \\ & =65.334-(8)^2 \\ & =65.334-64 \\ & =1.334\end{aligned} আবার, তথ্যবিশ্বের ভেদাঙ্ক, σY2=∑(Yi−Yˉ)2N=(4−8)2+(6−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(12−8)25=16+4+0+4+165=405=8\begin{aligned} \sigma_Y{ }^2 & =\frac{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{N} \\ & =\frac{(4-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2}{5} \\ & =\frac{16+4+0+4+16}{5}=\frac{40}{5}=8\end{aligned} ∴ V(yˉ)≠σY2V(\bar{y}) \neq \sigma_Y{ }^2 সুতরাং, নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক তথ্যবিশ্বের গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক নয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

5 জন ছাত্রের ক্লাসে টেস্ট পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর 6. 7. 8, 9, 11: শিক্ষক বললেন যে, "উক্ত নম্বরগুলি হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকরের নমুনা দৈবভাবে চয়ন করা হলে, নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হবে।" [ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ, রংপুর]
ক
নমুনায়ন কী?

উত্তর

সমগ্রক হতে নমুনা নির্বাচন করার পদ্ধতিকে নমুনায়ন বলে।
খ
নমুনা জরিপ অধিক নির্ভরশীল-ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

নমুনা জরিপ অধিক নির্ভরশীল হয়। ব্যাখ্যা: যে জরিপের সাহায্যে তথ্যবিশ্বের সকল একক থেকে তথ্য সংগ্রহ না করে তথ্যবিশ্বের প্রতিনিধিত্বমূলক অংশ নির্বাচন করে সেখান থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয় এবং ঐ নমুনার তথ্যের ভিত্তিতে তথ্যবিশ্বের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নেয়া হয় তাকে নমুনা জরিপ বলে। অপর দিকে শুমারি জরিপে তথ্যবিশ্বের সকল একক থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয় যার ফলে ভুল ত্রুটি থাকায় সম্ভাবনা বেশি থাকে। অতএব বলা যায়, শুমারি জরিপের তুলনায় নমুনা জরিপ অধিক নির্ভরশীল হয়।
গ
নমুনা ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Y = {6, 7, 8, 9, 11} এখানে, সমগ্রকের আকার, N = 5 এবং নমুনার আকার, n = 2 এখন, সমগ্রক হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারে নমুনা চয়ন করা হলে মোট নমুনা সংখ্যা হবে =5C2=10={ }^5 C_2=10 নমুনা, নমুনা গড় ও নমুনা ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের তালিকা:
ঘ
শিক্ষকের মন্তব্যটি সঠিক কি-না মতামত দাও।

উত্তর

'গ' এ নির্বাচিত নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয় করা হয়েছে। ধরি, 'গ' এর নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে yˉ1,yˉ2,…………,yˉ10\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots \ldots \ldots \ldots, \bar{y}_{10} সুতরাং প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা' হবে, P(yˉi)=110P\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{10} এখন, নমুনা গড়ের গড়, E(yˉ)=Σyˉi⋅P(yˉi)=82×110=8.2\begin{aligned} E(\bar{y}) & =\Sigma \bar{y}_i \cdot P\left(\bar{y}_i\right) \\ & =82 \times \frac{1}{10}=8.2\end{aligned} এবং সমগ্রক গড়, Y‾=ΣYiN=6+7+8+9+115=415=8.2\overline{\mathrm{Y}}=\frac{\Sigma Y_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}=\frac{6+7+8+9+11}{5}=\frac{41}{5}=8.2 ∴ এখানে E(y‾)=Y‾\mathrm{E}(\overline{\mathrm{y}})=\overline{\mathrm{Y}} অর্থাৎ নমুনা গড়ের গড় সমগ্রক গড়ের সমান। সুতরাং, নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক। অতএব, শিক্ষকের মন্তব্যটি সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

5 জন ছাত্রের ক্লাসে টেস্ট পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর 6. 7. 8, 9, 11: শিক্ষক বললেন যে, "উক্ত নম্বরগুলি হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকরের নমুনা দৈবভাবে চয়ন করা হলে, নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হবে।" [ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ, রংপুর]
ক
নমুনায়ন কী?

উত্তর

সমগ্রক হতে নমুনা নির্বাচন করার পদ্ধতিকে নমুনায়ন বলে।
খ
নমুনা জরিপ অধিক নির্ভরশীল-ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

নমুনা জরিপ অধিক নির্ভরশীল হয়। ব্যাখ্যা: যে জরিপের সাহায্যে তথ্যবিশ্বের সকল একক থেকে তথ্য সংগ্রহ না করে তথ্যবিশ্বের প্রতিনিধিত্বমূলক অংশ নির্বাচন করে সেখান থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয় এবং ঐ নমুনার তথ্যের ভিত্তিতে তথ্যবিশ্বের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নেয়া হয় তাকে নমুনা জরিপ বলে। অপর দিকে শুমারি জরিপে তথ্যবিশ্বের সকল একক থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয় যার ফলে ভুল ত্রুটি থাকায় সম্ভাবনা বেশি থাকে। অতএব বলা যায়, শুমারি জরিপের তুলনায় নমুনা জরিপ অধিক নির্ভরশীল হয়।
গ
নমুনা ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Y = {6, 7, 8, 9, 11} এখানে, সমগ্রকের আকার, N = 5 এবং নমুনার আকার, n = 2 এখন, সমগ্রক হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারে নমুনা চয়ন করা হলে মোট নমুনা সংখ্যা হবে =5C2=10={ }^5 C_2=10 নমুনা, নমুনা গড় ও নমুনা ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের তালিকা:
ঘ
শিক্ষকের মন্তব্যটি সঠিক কি-না মতামত দাও।

উত্তর

'গ' এ নির্বাচিত নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয় করা হয়েছে। ধরি, 'গ' এর নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে yˉ1,yˉ2,…………,yˉ10\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots \ldots \ldots \ldots, \bar{y}_{10} সুতরাং প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা' হবে, P(yˉi)=110P\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{10} এখন, নমুনা গড়ের গড়, E(yˉ)=Σyˉi⋅P(yˉi)=82×110=8.2\begin{aligned} E(\bar{y}) & =\Sigma \bar{y}_i \cdot P\left(\bar{y}_i\right) \\ & =82 \times \frac{1}{10}=8.2\end{aligned} এবং সমগ্রক গড়, Y‾=ΣYiN=6+7+8+9+115=415=8.2\overline{\mathrm{Y}}=\frac{\Sigma Y_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}=\frac{6+7+8+9+11}{5}=\frac{41}{5}=8.2 ∴ এখানে E(y‾)=Y‾\mathrm{E}(\overline{\mathrm{y}})=\overline{\mathrm{Y}} অর্থাৎ নমুনা গড়ের গড় সমগ্রক গড়ের সমান। সুতরাং, নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক। অতএব, শিক্ষকের মন্তব্যটি সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

পরিসংখ্যান বিষয়ের শিক্ষক বললেন যে, (2. 3. 4. 5) এই তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে দুই আকারবিশিষ্ট সম্ভাব্য নমুনাগুলো নির্বাচন করলে নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হয়। [চট্টগ্রাম কলেজ, চট্টগ্রাম]
ক
নমুনায়ন কী?

উত্তর

সমগ্রক হতে নমুনা নির্বাচন করার প্রক্রিয়াকে নমুনায়ন বলে।
খ
কোন ধরনের নমুনায়নে ব্যক্তিগত পক্ষপাতিত্বের ঝুঁকি থাকে না- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

নমুনায়নে ব্যক্তিগত পক্ষপাতিত্বের ঝুঁকি থাকে না। যে নমুনায়ন পদ্ধতিতে তথ্যবিশ্বের প্রতিটি একক নমুনায় অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সমান সুযোগ থাকে এবং প্রতিটি একক নমুনায় অন্তর্ভুক্ত হওয়ার একটি নির্দিষ্ট ও অশূন্য সম্ভাবনা থাকে তাকে সম্ভাবনা নমুনায়ন/দৈব নমুনায়ন বলে। যদি প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য তথ্যবিশ্বের প্রতিটি উপাদানে থাকে তবে ঐ তথ্যবিশ্ব হতে নমুনা সংগ্রহের জন্য সম্ভাবনা তত্ত্বের উপর নির্ভর করতে হয়। এ পদ্ধতিতে তথ্য সংগ্রহকারীর ব্যক্তিগত পক্ষপাতিত্বের সুযোগ থাকে না।
গ
সমগ্রকের ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Y₁ = (2.3.4.5) এখানে, সমগ্রকের আকার, N = 4 আমরা জানি, সমগ্রকের গড়, Yˉ=ΣYiN=2+3+4+54=144=3.5\bar{Y}=\frac{\Sigma Y_i}{N}=\frac{2+3+4+5}{4}=\frac{14}{4}=3.5 এবং সমগ্রক ভেদাঙ্ক, σy2=Σ(Yi−Yˉ)2N\sigma_y^2=\frac{\Sigma\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{N} =(2−3.5)2+(3−3.5)2+(4−3.5)2+(5−3.5)24=2.25+0.25+0.25+2.254=54=1.25\begin{aligned} & =\frac{(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2}{4} \\ & =\frac{2.25+0.25+0.25+2.25}{4}=\frac{5}{4}=1.25\end{aligned} সুতরাং, সমগ্রক ভেদাঙ্ক, σy2=1.25\sigma_y^2=1.25
ঘ
বিষয় শিক্ষকের মন্তব্যের আলোকে তোমার মতামত কী? বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Yi = {2, 3, 4, 5} এখানে, সমগ্রকের আকার, N = 4 এবং নমুনার আকার, n = 2 সমগ্রক হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে =4C2=6={ }^4 C_2=6 টি ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে y‾1,y‾2,……………,y‾6\overline{\mathbf{y}}_1, \overline{\mathbf{y}}_2, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots, \overline{\mathrm{y}}_6 ∴ প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ায় সম্ভাবনা, P(yˉi)=16P\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{6} নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের তালিকা: এখন, নমুনা গড়ের গড়, E(yˉ)=Σyˉi.P(yˉi)=21×16=3.5E(\bar{y})=\Sigma \bar{y}_i . P\left(\bar{y}_i\right)=21 \times \frac{1}{6}=3.5 'গ' হতে পাই, Y‾=3.5\overline{\mathrm{Y}}=3.5 এখানে, E(yˉ)=YˉE(\bar{y})=\bar{Y} অর্থাৎ নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক। অতএব, বিষয় শিক্ষকের মন্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

পরিসংখ্যান বিষয়ের শিক্ষক বললেন যে, (2. 3. 4. 5) এই তথ্যবিশ্ব হতে পুনঃস্থাপন না করে দুই আকারবিশিষ্ট সম্ভাব্য নমুনাগুলো নির্বাচন করলে নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হয়। [চট্টগ্রাম কলেজ, চট্টগ্রাম]
ক
নমুনায়ন কী?

উত্তর

সমগ্রক হতে নমুনা নির্বাচন করার প্রক্রিয়াকে নমুনায়ন বলে।
খ
কোন ধরনের নমুনায়নে ব্যক্তিগত পক্ষপাতিত্বের ঝুঁকি থাকে না- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

নমুনায়নে ব্যক্তিগত পক্ষপাতিত্বের ঝুঁকি থাকে না। যে নমুনায়ন পদ্ধতিতে তথ্যবিশ্বের প্রতিটি একক নমুনায় অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সমান সুযোগ থাকে এবং প্রতিটি একক নমুনায় অন্তর্ভুক্ত হওয়ার একটি নির্দিষ্ট ও অশূন্য সম্ভাবনা থাকে তাকে সম্ভাবনা নমুনায়ন/দৈব নমুনায়ন বলে। যদি প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য তথ্যবিশ্বের প্রতিটি উপাদানে থাকে তবে ঐ তথ্যবিশ্ব হতে নমুনা সংগ্রহের জন্য সম্ভাবনা তত্ত্বের উপর নির্ভর করতে হয়। এ পদ্ধতিতে তথ্য সংগ্রহকারীর ব্যক্তিগত পক্ষপাতিত্বের সুযোগ থাকে না।
গ
সমগ্রকের ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Y₁ = (2.3.4.5) এখানে, সমগ্রকের আকার, N = 4 আমরা জানি, সমগ্রকের গড়, Yˉ=ΣYiN=2+3+4+54=144=3.5\bar{Y}=\frac{\Sigma Y_i}{N}=\frac{2+3+4+5}{4}=\frac{14}{4}=3.5 এবং সমগ্রক ভেদাঙ্ক, σy2=Σ(Yi−Yˉ)2N\sigma_y^2=\frac{\Sigma\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{N} =(2−3.5)2+(3−3.5)2+(4−3.5)2+(5−3.5)24=2.25+0.25+0.25+2.254=54=1.25\begin{aligned} & =\frac{(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2}{4} \\ & =\frac{2.25+0.25+0.25+2.25}{4}=\frac{5}{4}=1.25\end{aligned} সুতরাং, সমগ্রক ভেদাঙ্ক, σy2=1.25\sigma_y^2=1.25
ঘ
বিষয় শিক্ষকের মন্তব্যের আলোকে তোমার মতামত কী? বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Yi = {2, 3, 4, 5} এখানে, সমগ্রকের আকার, N = 4 এবং নমুনার আকার, n = 2 সমগ্রক হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা নির্বাচন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে =4C2=6={ }^4 C_2=6 টি ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে y‾1,y‾2,……………,y‾6\overline{\mathbf{y}}_1, \overline{\mathbf{y}}_2, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots, \overline{\mathrm{y}}_6 ∴ প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ায় সম্ভাবনা, P(yˉi)=16P\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{6} নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের তালিকা: এখন, নমুনা গড়ের গড়, E(yˉ)=Σyˉi.P(yˉi)=21×16=3.5E(\bar{y})=\Sigma \bar{y}_i . P\left(\bar{y}_i\right)=21 \times \frac{1}{6}=3.5 'গ' হতে পাই, Y‾=3.5\overline{\mathrm{Y}}=3.5 এখানে, E(yˉ)=YˉE(\bar{y})=\bar{Y} অর্থাৎ নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক। অতএব, বিষয় শিক্ষকের মন্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সেবা নার্সিং হোম এর 4 কর্ম দিবসে সকাল টো হতে ৪টা পর্যন্ত বহির্বিভাগে আগত রোগীর পরিসংখ্যান নিম্নরূপ: question image [ব্রাহ্মণবাড়িয়া সরকারি কলেজ, ব্রাহ্মণবাড়িয়া]
ক
নমুনা কী?

উত্তর

তথ্যবিশ্বের প্রতিনিধিত্বকারী এবং ক্ষুদ্র অংশ যা তথ্যবিশ্বের বৈশিষ্ট্যসমূহ প্রদর্শন করতে পারে তাকে নমুনা বলে।
খ
নমুনার আকার বাড়লে নমুনা ত্রুটি বাড়ে কি-না ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

নমুনার আকার বাড়লে নমুনা ত্রুটি বাড়ে না বরং কমে। আমরা জানি, নমুনার আকার যত কম হয় নমুনা ত্রুটি তত বেশি হয়। নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে নমুনা ত্রুটি কমতে থাকে। সুতরাং নমুনার আকার বাড়লে নমুনা ত্রুটি বাড়ে না বরং কমে।
গ
পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনাগুলো নির্বাচন কর।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Yi = {3, 4, 5, 6} সমগ্রকের আকার, N = 4 এবং নমুনার আকার, n = 2 সমগ্রক হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা চয়ন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে =NCn=4C2=6={ }^{\mathrm{N}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}={ }^4 \mathrm{C}_2=6 ∴ নির্বাচিত নমুনাগুলো হলো: (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)
ঘ
সমগ্রক গড় ও নমুনা গড় নির্ণয় করে মন্তব্য কর।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Y₁ = {3, 4. 5. 6) সমগ্রকের আকার, N = 4 এবং নমুনার আকার, n = 2 সমগ্রক হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা চয়ন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে =NCn=4C2=6={ }^N C_n={ }^4 C_2=6 টি। ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে, yˉ1,yˉ2,……….,yˉ6\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots \ldots \ldots ., \bar{y}_6 এবং প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(yˉi)=16P\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{6} নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের সারণি: ∴ নমুনা গড়ের গড়, E(yˉ)=∑yˉi⋅P(yˉi)=27×16=4.5E(\bar{y})=\sum \bar{y}_i \cdot P\left(\bar{y}_i\right)=27 \times \frac{1}{6}=4.5 এখন, সমগ্রক গড়, Yˉ=∑YiN=3+4+5+64=184=4.5\bar{Y}=\frac{\sum Y_i}{N}=\frac{3+4+5+6}{4}=\frac{18}{4}=4.5 এখানে, E(yˉ)=YˉE(\bar{y})=\bar{Y}. অতএব, নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সেবা নার্সিং হোম এর 4 কর্ম দিবসে সকাল টো হতে ৪টা পর্যন্ত বহির্বিভাগে আগত রোগীর পরিসংখ্যান নিম্নরূপ: question image [ব্রাহ্মণবাড়িয়া সরকারি কলেজ, ব্রাহ্মণবাড়িয়া]
ক
নমুনা কী?

উত্তর

তথ্যবিশ্বের প্রতিনিধিত্বকারী এবং ক্ষুদ্র অংশ যা তথ্যবিশ্বের বৈশিষ্ট্যসমূহ প্রদর্শন করতে পারে তাকে নমুনা বলে।
খ
নমুনার আকার বাড়লে নমুনা ত্রুটি বাড়ে কি-না ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

নমুনার আকার বাড়লে নমুনা ত্রুটি বাড়ে না বরং কমে। আমরা জানি, নমুনার আকার যত কম হয় নমুনা ত্রুটি তত বেশি হয়। নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে নমুনা ত্রুটি কমতে থাকে। সুতরাং নমুনার আকার বাড়লে নমুনা ত্রুটি বাড়ে না বরং কমে।
গ
পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনাগুলো নির্বাচন কর।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Yi = {3, 4, 5, 6} সমগ্রকের আকার, N = 4 এবং নমুনার আকার, n = 2 সমগ্রক হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা চয়ন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে =NCn=4C2=6={ }^{\mathrm{N}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}={ }^4 \mathrm{C}_2=6 ∴ নির্বাচিত নমুনাগুলো হলো: (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)
ঘ
সমগ্রক গড় ও নমুনা গড় নির্ণয় করে মন্তব্য কর।

উত্তর

ধরি, সমগ্রক, Y₁ = {3, 4. 5. 6) সমগ্রকের আকার, N = 4 এবং নমুনার আকার, n = 2 সমগ্রক হতে পুনঃস্থাপন না করে 2 আকারের নমুনা চয়ন করা হলে মোট নমুনার সংখ্যা হবে =NCn=4C2=6={ }^N C_n={ }^4 C_2=6 টি। ধরি, নির্বাচিত নমুনাগুলোর গড় যথাক্রমে, yˉ1,yˉ2,……….,yˉ6\bar{y}_1, \bar{y}_2, \ldots \ldots \ldots ., \bar{y}_6 এবং প্রতিটি নমুনা নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(yˉi)=16P\left(\bar{y}_i\right)=\frac{1}{6} নমুনা ও নমুনা গড় নির্ণয়ের সারণি: ∴ নমুনা গড়ের গড়, E(yˉ)=∑yˉi⋅P(yˉi)=27×16=4.5E(\bar{y})=\sum \bar{y}_i \cdot P\left(\bar{y}_i\right)=27 \times \frac{1}{6}=4.5 এখন, সমগ্রক গড়, Yˉ=∑YiN=3+4+5+64=184=4.5\bar{Y}=\frac{\sum Y_i}{N}=\frac{3+4+5+6}{4}=\frac{18}{4}=4.5 এখানে, E(yˉ)=YˉE(\bar{y})=\bar{Y}. অতএব, নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো