Chapter 6: সংশ্লেষণ ও নির্ভরণ Statistics 1st Paper

HSC Statistics 1st Paper এর Chapter 6: সংশ্লেষণ ও নির্ভরণ অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৩৩৭

প্রশ্ন

Statistics 1st Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিম্নে কোনো একটি কোম্পানির মূলধন ও মুনাফার তথ্য দেওয়া হলো: মূলধন (শত টাকায়) 150 160 175 180 182 মুনাফা (শত টাকায়) 18 20 25 24 28 [কাদিরাবাদ ক্যান্টনমেন্ট স্যাপার কলেজ, নাটোর]
ক
নির্ভরণ কী?

উত্তর

যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির মাধ্যমে স্বাধীন চলকের জানা মানের ভিত্তিতে অধীন চলকের গড় মান বা প্রত্যাশিত মান নির্ণয় করা যায়, তাই নির্ভরণ।
খ
নির্ভরাঙ্কের মান কী চলক নিরপেক্ষ? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, x এর উপর y এর নির্ভরাঙ্ক, byx=∑(x1−xˉ)(y1−yˉ)∑(x1−xˉ)2b_{y x}=\frac{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)\left(y_1-\bar{y}\right)}{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2} এবং y এর উপর x এর নির্ভরাঙ্ক, bxy=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(yi−yˉ)2b_{x y}=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2} এখানে, byx≠bxyb_{y x} \neq b_{x y} সুতরাং নির্ভরাঙ্কের মান চলক নিরপেক্ষ নয়।
গ
বিক্ষেপ চিত্রের সাহায্যে সংশ্লেষের প্রকৃতি বর্ণনা কর।

উত্তর

ছক কাগজের X অক্ষে মূলধন এবং Y অক্ষে মুনাফা বসিয়ে বিক্ষেপ চিত্র অঙ্কন করা হলো: ছক কাগজর অঙ্কিত বিক্ষেপ চিত্র হতে দেখা যায় যে, মূলধন ও মুনাফার মাঝে আংশিক ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান।
ঘ
মূলধন আরো একশ টাকা বৃদ্ধিতে মুনাফা কত টাকা বাড়বে বা কমবে? মন্তব্য কর।

উত্তর

ধরি, মূলধন = x এবং মুনাফা = y প্রয়োজনয় গণনা তালিকা: আমরা জানি, মূলধন, (x) এর উপর মুনাফা (y) এর নির্ভরণ সমীকরণ, y = a + bx এখানে, b=byx=∑xy−(∑x)(∑y)n∑x2−(∑x)2nb=b_{y x}=\frac{\sum x y-\frac{\left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n}}{\sum x^2-\frac{\left(\sum x\right)^2}{n}} [এখানে, n=5]\left.n=5\right] =19691−847×1155144249−(847)25=\frac{19691-\frac{847 \times 115}{5}}{144249-\frac{(847)^2}{5}} =19691−19481144249−143481.8=\frac{19691-19481}{144249-143481.8} =201767.2=0.27=\frac{201}{767.2}=0.27 এবং a=y‾−bx‾=Σyn−0.27×Σxn\mathrm{a}=\overline{\mathrm{y}}-\mathrm{b} \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{y}}{\mathrm{n}}-0.27 \times \frac{\Sigma \mathrm{x}}{\mathrm{n}} =1155−0.27×8475=\frac{115}{5}-0.27 \times \frac{847}{5} =23−45.74=−22.74=23-45.74=-22.74 সুতরাং, মূলধন (x) এর উপর মুনাফা (y) এর নিরূপিত নির্ভরণ সমীকরণ y = - 22.74 + 0.27x মূলধন আরো 100 টাকা বৃদ্ধিতে সর্বশেষ মূলধন হবে = 182 + 100 = 282 এখন, মূলধন, x = 282 * C(2,9) মুনাফা, y হবে, y = - 22.74 + 0.27 × 282 = - 22.74+76.14 = 53.4 ∴ মুনাফা বৃদ্ধি পাবে = (53.4-28) = 25.4 সুতরাং, মূলধন, আরো 100 টাকা বৃদ্ধিতে মুনাফা টাকা বৃদ্ধি পাবে 25.4 লক্ষ।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিম্নে কোনো একটি কোম্পানির মূলধন ও মুনাফার তথ্য দেওয়া হলো: মূলধন (শত টাকায়) 150 160 175 180 182 মুনাফা (শত টাকায়) 18 20 25 24 28 [কাদিরাবাদ ক্যান্টনমেন্ট স্যাপার কলেজ, নাটোর]
ক
নির্ভরণ কী?

উত্তর

যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির মাধ্যমে স্বাধীন চলকের জানা মানের ভিত্তিতে অধীন চলকের গড় মান বা প্রত্যাশিত মান নির্ণয় করা যায়, তাই নির্ভরণ।
খ
নির্ভরাঙ্কের মান কী চলক নিরপেক্ষ? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, x এর উপর y এর নির্ভরাঙ্ক, byx=∑(x1−xˉ)(y1−yˉ)∑(x1−xˉ)2b_{y x}=\frac{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)\left(y_1-\bar{y}\right)}{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2} এবং y এর উপর x এর নির্ভরাঙ্ক, bxy=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(yi−yˉ)2b_{x y}=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2} এখানে, byx≠bxyb_{y x} \neq b_{x y} সুতরাং নির্ভরাঙ্কের মান চলক নিরপেক্ষ নয়।
গ
বিক্ষেপ চিত্রের সাহায্যে সংশ্লেষের প্রকৃতি বর্ণনা কর।

উত্তর

ছক কাগজের X অক্ষে মূলধন এবং Y অক্ষে মুনাফা বসিয়ে বিক্ষেপ চিত্র অঙ্কন করা হলো: ছক কাগজর অঙ্কিত বিক্ষেপ চিত্র হতে দেখা যায় যে, মূলধন ও মুনাফার মাঝে আংশিক ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান।
ঘ
মূলধন আরো একশ টাকা বৃদ্ধিতে মুনাফা কত টাকা বাড়বে বা কমবে? মন্তব্য কর।

উত্তর

ধরি, মূলধন = x এবং মুনাফা = y প্রয়োজনয় গণনা তালিকা: আমরা জানি, মূলধন, (x) এর উপর মুনাফা (y) এর নির্ভরণ সমীকরণ, y = a + bx এখানে, b=byx=∑xy−(∑x)(∑y)n∑x2−(∑x)2nb=b_{y x}=\frac{\sum x y-\frac{\left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n}}{\sum x^2-\frac{\left(\sum x\right)^2}{n}} [এখানে, n=5]\left.n=5\right] =19691−847×1155144249−(847)25=\frac{19691-\frac{847 \times 115}{5}}{144249-\frac{(847)^2}{5}} =19691−19481144249−143481.8=\frac{19691-19481}{144249-143481.8} =201767.2=0.27=\frac{201}{767.2}=0.27 এবং a=y‾−bx‾=Σyn−0.27×Σxn\mathrm{a}=\overline{\mathrm{y}}-\mathrm{b} \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{y}}{\mathrm{n}}-0.27 \times \frac{\Sigma \mathrm{x}}{\mathrm{n}} =1155−0.27×8475=\frac{115}{5}-0.27 \times \frac{847}{5} =23−45.74=−22.74=23-45.74=-22.74 সুতরাং, মূলধন (x) এর উপর মুনাফা (y) এর নিরূপিত নির্ভরণ সমীকরণ y = - 22.74 + 0.27x মূলধন আরো 100 টাকা বৃদ্ধিতে সর্বশেষ মূলধন হবে = 182 + 100 = 282 এখন, মূলধন, x = 282 * C(2,9) মুনাফা, y হবে, y = - 22.74 + 0.27 × 282 = - 22.74+76.14 = 53.4 ∴ মুনাফা বৃদ্ধি পাবে = (53.4-28) = 25.4 সুতরাং, মূলধন, আরো 100 টাকা বৃদ্ধিতে মুনাফা টাকা বৃদ্ধি পাবে 25.4 লক্ষ।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোন একটি কোম্পানির বিক্রয় ও মুনাফা সম্পর্কিত তথ্য নিম্নে দেওয়া হলো- বিক্রয় (লক্ষ টাকা) মুনাফা (লক্ষ টাকা) গড় 130 20 পরিমিত ব্যবধান 9 5 বিক্রয় ও মুনাফার সংশ্লেষাঙ্ক, r = 0.90 [সরকারি মজিদ মেমোরিয়াল কলেজ, খুলনা]
ক
নির্ভরণ কী?

উত্তর

যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির মাধ্যমে স্বাধীন চলকের জানা মানের ভিত্তিতে অধীন চলকের গড় মান নির্ণয় করা যায় তাকে নির্ভরণ বলে।
খ
নির্ভরণের চারটি ব্যবহার লেখ।

উত্তর

নির্ভরণের চারটি ব্যবহার নিম্নরূপ: ১. নির্ভরণের সাহায্যে স্বাধীন চলকের একক পরিমাণ বৃদ্ধি বা হ্রাসের ফলে অধীন চলকের গড় মান পরিমাপ করা হয়। ২. নির্দিষ্ট পরিমাণ সার ব্যবহারের ফলে ধানের ফলন গড়ে কত বাড়ে তা নির্ভরণের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়। ৩. নির্দিষ্ট পরিমাণ ঔষধ ব্যবহারের ফলে রোগের আরগ্য গড়ে কত তা নির্ভরণের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়। ৪. নির্দিষ্ট পরিমাণ পুঁজি বিনিয়োগের ফলে মুনাফা গড়ে কত বাড়ে তা নির্ভরণের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়।
গ
উদ্দীপকের সারণি থেকে বিক্রয়ের উপর মুনাফার নির্ভরণ সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, বিক্রয় = x এবং মুনাফা = y উদ্দীপক হতে পাই, xˉ=130,yˉ=20,σx=9,σy=5,r=0.90\bar{x}=130, \bar{y}=20, \sigma_x=9, \sigma_y=5, r=0.90 আমরা জানি, বিক্রয়ের (x) উপর মুনাফার (y) নির্ভরণ সমীকরণ, y−yˉ=byx(x−xˉ)y-\bar{y}=b_{y x}(x-\bar{x}) এখানে, byx=r⋅σyσx=0.90×59=0.5\mathrm{b}_{\mathrm{yx}}=\mathrm{r} \cdot \frac{\sigma_{\mathrm{y}}}{\sigma_{\mathrm{x}}}=0.90 \times \frac{5}{9}=0.5 (i) নং হতে পাই, y−20=0.5(x−130)\mathrm{y}-20=0.5(\mathrm{x}-130)  বা,y=20+0.5x−65\text{ বা,} y=20+0.5 x-65 ∴y=−45+0.5x\therefore \quad y=-45+0.5 x সুতরাং, বিক্রয়ের (x) উপর মুনাফার (y) নির্ভরণ সমীকরণ, y = - 45 + 0.5x
ঘ
মুনাফা 26 লক্ষ টাকা বিক্রয়ের পরিমাপ কত হবে?

উত্তর

ধরি, বিক্রয় = x এবং মুনাফা = y উদ্দীপক হতে পাই, xˉ=130,yˉ=20,σx=9,σy=5,r=0.90\bar{x}=130, \bar{y}=20, \sigma_x=9, \sigma_y=5, r=0.90 আমরা জানি, মুনাফা (y)(y) এর উপর বিক্রয় (x) এর নির্ভরণ সমীকরণ, x−xˉ=bxy(y−yˉ)x-\bar{x}=b_{x y}(y-\bar{y}) এখানে bxy=r⋅σxσy=0.90×95=1.62b_{x y}=r \cdot \frac{\sigma_x}{\sigma_y}=0.90 \times \frac{9}{5}=1.62 (ii) নং হতে পাই, x−130=1.62(y−20)x-130=1.62(y-20) বা, x=130+1.62y−32.4x=130+1.62 y-32.4 ∴x=97.6+1.62y\therefore \quad \mathrm{x}=97.6+1.62 \mathrm{y} এখন, মুনাফা, y = 26 লক্ষ টাকা হলে বিক্রয় (x) এর মান হবে, x = 97.6+1.62 × 26 = 97.6+42.12 = 139.72 লক্ষ টাকা সুতরাং, মুনাফা 26 লক্ষ টাকা হলে বিক্রয়ের পরিমাণ হবে 139.72 লক্ষ টাকা।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোন একটি কোম্পানির বিক্রয় ও মুনাফা সম্পর্কিত তথ্য নিম্নে দেওয়া হলো- বিক্রয় (লক্ষ টাকা) মুনাফা (লক্ষ টাকা) গড় 130 20 পরিমিত ব্যবধান 9 5 বিক্রয় ও মুনাফার সংশ্লেষাঙ্ক, r = 0.90 [সরকারি মজিদ মেমোরিয়াল কলেজ, খুলনা]
ক
নির্ভরণ কী?

উত্তর

যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির মাধ্যমে স্বাধীন চলকের জানা মানের ভিত্তিতে অধীন চলকের গড় মান নির্ণয় করা যায় তাকে নির্ভরণ বলে।
খ
নির্ভরণের চারটি ব্যবহার লেখ।

উত্তর

নির্ভরণের চারটি ব্যবহার নিম্নরূপ: ১. নির্ভরণের সাহায্যে স্বাধীন চলকের একক পরিমাণ বৃদ্ধি বা হ্রাসের ফলে অধীন চলকের গড় মান পরিমাপ করা হয়। ২. নির্দিষ্ট পরিমাণ সার ব্যবহারের ফলে ধানের ফলন গড়ে কত বাড়ে তা নির্ভরণের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়। ৩. নির্দিষ্ট পরিমাণ ঔষধ ব্যবহারের ফলে রোগের আরগ্য গড়ে কত তা নির্ভরণের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়। ৪. নির্দিষ্ট পরিমাণ পুঁজি বিনিয়োগের ফলে মুনাফা গড়ে কত বাড়ে তা নির্ভরণের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়।
গ
উদ্দীপকের সারণি থেকে বিক্রয়ের উপর মুনাফার নির্ভরণ সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, বিক্রয় = x এবং মুনাফা = y উদ্দীপক হতে পাই, xˉ=130,yˉ=20,σx=9,σy=5,r=0.90\bar{x}=130, \bar{y}=20, \sigma_x=9, \sigma_y=5, r=0.90 আমরা জানি, বিক্রয়ের (x) উপর মুনাফার (y) নির্ভরণ সমীকরণ, y−yˉ=byx(x−xˉ)y-\bar{y}=b_{y x}(x-\bar{x}) এখানে, byx=r⋅σyσx=0.90×59=0.5\mathrm{b}_{\mathrm{yx}}=\mathrm{r} \cdot \frac{\sigma_{\mathrm{y}}}{\sigma_{\mathrm{x}}}=0.90 \times \frac{5}{9}=0.5 (i) নং হতে পাই, y−20=0.5(x−130)\mathrm{y}-20=0.5(\mathrm{x}-130)  বা,y=20+0.5x−65\text{ বা,} y=20+0.5 x-65 ∴y=−45+0.5x\therefore \quad y=-45+0.5 x সুতরাং, বিক্রয়ের (x) উপর মুনাফার (y) নির্ভরণ সমীকরণ, y = - 45 + 0.5x
ঘ
মুনাফা 26 লক্ষ টাকা বিক্রয়ের পরিমাপ কত হবে?

উত্তর

ধরি, বিক্রয় = x এবং মুনাফা = y উদ্দীপক হতে পাই, xˉ=130,yˉ=20,σx=9,σy=5,r=0.90\bar{x}=130, \bar{y}=20, \sigma_x=9, \sigma_y=5, r=0.90 আমরা জানি, মুনাফা (y)(y) এর উপর বিক্রয় (x) এর নির্ভরণ সমীকরণ, x−xˉ=bxy(y−yˉ)x-\bar{x}=b_{x y}(y-\bar{y}) এখানে bxy=r⋅σxσy=0.90×95=1.62b_{x y}=r \cdot \frac{\sigma_x}{\sigma_y}=0.90 \times \frac{9}{5}=1.62 (ii) নং হতে পাই, x−130=1.62(y−20)x-130=1.62(y-20) বা, x=130+1.62y−32.4x=130+1.62 y-32.4 ∴x=97.6+1.62y\therefore \quad \mathrm{x}=97.6+1.62 \mathrm{y} এখন, মুনাফা, y = 26 লক্ষ টাকা হলে বিক্রয় (x) এর মান হবে, x = 97.6+1.62 × 26 = 97.6+42.12 = 139.72 লক্ষ টাকা সুতরাং, মুনাফা 26 লক্ষ টাকা হলে বিক্রয়ের পরিমাণ হবে 139.72 লক্ষ টাকা।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচে ৭ জোড়া মা ও মেয়ের বয়সের তথ্য প্রদত্ত হলো: মা x 36 40 35 43 50 48 54 মেয়ে y 12 20 14 25 32 27 36 [সরকারি শাহ্ সুলতান কলেজ, বগুড়া]
ক
নির্ভরণ কী?

উত্তর

যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির মাধ্যমে স্বাধীন চলকের জানা মানের ভিত্তিতে অধীন চলকের গড় মান বা প্রত্যাশিত মান নির্ণয় ক্রা যায়, তাকে নির্ভরণ বলে।
খ
সংশ্লেষাঙ্কের বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সংশ্লেষাঙ্কের বৈশিষ্ট্যসমূহ নিম্নরূপ: ১. সংশ্লেষাঙ্ক একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা। ২. সংশ্লেষাঙ্ক প্রতিসম হয়। ৩. সংশ্লেষাঙ্ক মূল ও মাপনীর উপর স্বাধীন। ৪. সংশ্লেষাঙ্কের মান - 1 থেকে + 1 এর মধ্যে থাকে। ৫. দুটি স্বাধীন চলকের সংশ্লেষাঙ্ক শূন্য।
গ
মায়ের বয়সের উপর মেয়ের বয়সের নির্ভরাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

মায়ের (x) বয়সের উপর মেয়ের (y) বয়সের নির্ভরাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: আমরা জানি, মায়ের (x) বয়সের উপর মেয়ের (y) বয়সের নির্ভরাঙ্ক, byx=∑xy−∑x∑yn∑x2−(∑x)2nএখানে,n=7=7637−306×166713690−(306)27=7637−7256.5713690−13376.57=380.43313.43=1.21\begin{aligned} \mathrm{b}_{\mathrm{yx}} & =\frac{\sum \mathrm{xy}-\frac{\sum \mathrm{x} \sum \mathrm{y}}{\mathrm{n}}}{\sum \mathrm{x}^2-\frac{\left(\sum \mathrm{x}\right)^2}{\mathrm{n}}} \text{এখানে,} \mathrm{n}=7 \\ & =\frac{7637-\frac{306 \times 166}{7}}{13690-\frac{(306)^2}{7}}=\frac{7637-7256.57}{13690-13376.57}=\frac{380.43}{313.43}=1.21\end{aligned} সুতরাং, মায়ের বয়সের উপর মেয়ের বয়সের নির্ভরাঙ্ক 1.21.
ঘ
মা ও মেয়ের বয়সের মধ্যকার সংশ্লেষাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

মা (x) ও মেয়ের (y) বয়সের সংশ্লেষাঙ্ক, rxy=∑xy−∑x∑yn{∑x2−(∑x)2n}{∑y2−(∑y)2n}=7637−306×1667{13690−(306)27}{4414−(166)27}=7637−7256.57(13690−13376.57)(4414−3936.57)=380.43313.43×477.43=380.43386.83\begin{aligned} r_{x y} & =\frac{\sum x y-\frac{\sum x \sum y}{n}}{\sqrt{\left\{\sum x^2-\frac{\left(\sum x\right)^2}{n}\right\}\left\{\sum y^2-\frac{\left(\sum y\right)^2}{n}\right\}}} \\ & =\frac{7637-\frac{306 \times 166}{7}}{\sqrt{\left\{13690-\frac{(306)^2}{7}\right\}\left\{4414-\frac{(166)^2}{7}\right\}}} \\ & =\frac{7637-7256.57}{\sqrt{(13690-13376.57)(4414-3936.57)}} \\ & =\frac{380.43}{\sqrt{313.43 \times 477.43}}=\frac{380.43}{386.83}\end{aligned} ∴ rху = 0.98 মন্তব্য: যেহেতু rху = 0.98। সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের মধ্যে উচ্চ মাত্রায় পূর্ণ ধনাত্মক সংশ্লেষণ বিদ্যমান।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচে ৭ জোড়া মা ও মেয়ের বয়সের তথ্য প্রদত্ত হলো: মা x 36 40 35 43 50 48 54 মেয়ে y 12 20 14 25 32 27 36 [সরকারি শাহ্ সুলতান কলেজ, বগুড়া]
ক
নির্ভরণ কী?

উত্তর

যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির মাধ্যমে স্বাধীন চলকের জানা মানের ভিত্তিতে অধীন চলকের গড় মান বা প্রত্যাশিত মান নির্ণয় ক্রা যায়, তাকে নির্ভরণ বলে।
খ
সংশ্লেষাঙ্কের বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সংশ্লেষাঙ্কের বৈশিষ্ট্যসমূহ নিম্নরূপ: ১. সংশ্লেষাঙ্ক একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা। ২. সংশ্লেষাঙ্ক প্রতিসম হয়। ৩. সংশ্লেষাঙ্ক মূল ও মাপনীর উপর স্বাধীন। ৪. সংশ্লেষাঙ্কের মান - 1 থেকে + 1 এর মধ্যে থাকে। ৫. দুটি স্বাধীন চলকের সংশ্লেষাঙ্ক শূন্য।
গ
মায়ের বয়সের উপর মেয়ের বয়সের নির্ভরাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

মায়ের (x) বয়সের উপর মেয়ের (y) বয়সের নির্ভরাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: আমরা জানি, মায়ের (x) বয়সের উপর মেয়ের (y) বয়সের নির্ভরাঙ্ক, byx=∑xy−∑x∑yn∑x2−(∑x)2nএখানে,n=7=7637−306×166713690−(306)27=7637−7256.5713690−13376.57=380.43313.43=1.21\begin{aligned} \mathrm{b}_{\mathrm{yx}} & =\frac{\sum \mathrm{xy}-\frac{\sum \mathrm{x} \sum \mathrm{y}}{\mathrm{n}}}{\sum \mathrm{x}^2-\frac{\left(\sum \mathrm{x}\right)^2}{\mathrm{n}}} \text{এখানে,} \mathrm{n}=7 \\ & =\frac{7637-\frac{306 \times 166}{7}}{13690-\frac{(306)^2}{7}}=\frac{7637-7256.57}{13690-13376.57}=\frac{380.43}{313.43}=1.21\end{aligned} সুতরাং, মায়ের বয়সের উপর মেয়ের বয়সের নির্ভরাঙ্ক 1.21.
ঘ
মা ও মেয়ের বয়সের মধ্যকার সংশ্লেষাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

মা (x) ও মেয়ের (y) বয়সের সংশ্লেষাঙ্ক, rxy=∑xy−∑x∑yn{∑x2−(∑x)2n}{∑y2−(∑y)2n}=7637−306×1667{13690−(306)27}{4414−(166)27}=7637−7256.57(13690−13376.57)(4414−3936.57)=380.43313.43×477.43=380.43386.83\begin{aligned} r_{x y} & =\frac{\sum x y-\frac{\sum x \sum y}{n}}{\sqrt{\left\{\sum x^2-\frac{\left(\sum x\right)^2}{n}\right\}\left\{\sum y^2-\frac{\left(\sum y\right)^2}{n}\right\}}} \\ & =\frac{7637-\frac{306 \times 166}{7}}{\sqrt{\left\{13690-\frac{(306)^2}{7}\right\}\left\{4414-\frac{(166)^2}{7}\right\}}} \\ & =\frac{7637-7256.57}{\sqrt{(13690-13376.57)(4414-3936.57)}} \\ & =\frac{380.43}{\sqrt{313.43 \times 477.43}}=\frac{380.43}{386.83}\end{aligned} ∴ rху = 0.98 মন্তব্য: যেহেতু rху = 0.98। সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের মধ্যে উচ্চ মাত্রায় পূর্ণ ধনাত্মক সংশ্লেষণ বিদ্যমান।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বাংলাদেশে কোনো এক মাসের বৃষ্টিপাতের পরিমাণের ভিত্তিতে রবি শস্য ও খরিপ শস্য উৎপাদনের পরিমাণ দেওয়া হলো: বৃষ্টিপাতের পরিমাণ (ইঞ্চিতে) 22 24 26 28 30 32 34 রবি শস্য উৎপাদন (মণে) 20 25 28 32 35 40 42 খরিপ শস্য উৎপাদন (মণে) 15 17 20 18 22 21 18 [সরকারি আজিজুল হক কলেজ, বগুড়া]
ক
বিক্ষেপ চিত্র কী?

উত্তর

পরস্পর সম্পর্কযুক্ত দুটি চলককে ছক কাগজে উপস্থাপন করলে যে চিত্র পাওয়া যায়, তাকে বিক্ষেপ চিত্র বলে।
খ
সংশ্লেষ কী একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সংশ্লেষাঙ্ক একটি এককমুক্ত বিশুদ্ধ সংখ্যা। ব্যাখ্যা: একটি এককমুক্ত সংখ্যাকে বিশুদ্ধ সংখ্যা বলা হয়। সংশ্লেষাঙ্ক একটি অনুপাত রাশি যার লব ও হরে একই একক থাকে। লব ও হরের একক একই হওয়ার ফলে একক বাতিল হয়ে এককমুক্ত হয়। ফলে সংশ্লেষাঙ্ক একক মুক্ত হয়ে বিশুদ্ধ সংখ্যা হয়। নিচে একটি উদাহরণের সাহায্যে দেখানো হলো: আমরা জানি, x ও y এর সংশ্লেষাঙ্ক, r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(x1−xˉ)2∑(yi−yˉ)2r=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2\sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}. ধরি, কোনো শ্রেণিকক্ষের ছাত্রদের ওজনের চলক যার একক কেজি এবং উচ্চতার চলক y যার একক ফুট। তাহলে (xi−xˉ)\left(x_i-\bar{x}\right) এর একক হবে কেজি এবং (yi−yˉ)\left(y_i-\bar{y}\right) এর একক হবে ফুট। এখন, (i).নং সমীকরণের লব Σ(xi−xˉ)(yi−yˉ)\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right) এর একক হবে, কেজি ×\times ফুট এবং হর Σ(xi−xˉ)2Σ(yi−yˉ)2\sqrt{\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \Sigma\left(y_i-\bar{y}\right)^2} এর একক হবে, ( কেজি )2×( ফুট )2=\sqrt{(\text{ কেজি })^2 \times(\text{ ফুট })^2}= কেজি ×\times ফুট। এখন (i) নং সমীকরণ হতে পাই, সংশ্লেষাঙ্ক, r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(x1−xˉ)2∑(yi−yˉ)2 এর একক হবে  কেজি × ফুট কেজি × ফুট r=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}} \text{ এর একক হবে } \frac{\text{ কেজি } \times \text{ ফুট}}{\text{ কেজি } \times \text{ ফুট }} ∴r=Σ(x1−xˉ)(y1−yˉ)Σ(x1−xˉ)2∑(yi−yˉ)2\therefore r=\frac{\Sigma\left(x_1-\bar{x}\right)\left(y_1-\bar{y}\right)}{\sqrt{\Sigma\left(x_1-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}; যা একটি এককমুক্ত বিশুদ্ধ সংখ্যা। অতএব, সংশ্লেষাঙ্ক একটি এককমুক্ত বিশুদ্ধ সংখ্যা।
গ
উদ্দীপকে রবি শস্য ও খরিপ শস্য উৎপাদনের মধ্যে সহভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, রবি শস্য উৎপাদন= x এবং খরিপ শস্য উৎপাদন = y সহভেদাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি:  এখানে,xˉ=∑xn\text{ এখানে,} \bar{x}=\frac{\sum x}{n} =2227=31.71=\frac{222}{7}=31.71  এবং y‾=∑yn\text{ এবং } \overline{\mathrm{y}}=\frac{\sum \mathrm{y}}{\mathrm{n}} =1317=18.71=\frac{131}{7}=18.71 আমরা জানি, সহভেদাঙ্ক, Cov⁡(xy)=∑(x−xˉ)(y−yˉ)n\operatorname{Cov}(x y)=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{n} =80.277=11.47=\frac{80.27}{7}=11.47 সুতরাং, সহভেদাঙ্ক 11.47.
ঘ
বৃষ্টিপাতের পরিমাণের সাথে মোট শস্য উৎপাদনের কোনো সম্পর্ক আছে কী? বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

ধরি, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = x এবং মোট শস্য রবি শস্য + খরিপ শস্য = y সংশ্লেষ নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: আমরা জানি, সংশ্লেষাঙ্ক, r=∑xy−(∑x)(∑y)n{∑x2−(∑x)2n}{∑y2−(∑y)2n}[এখানেn=7]=10128−196×3537{5600−(196)27}{18363−(353)27}=10128−9884(5600−5488)(18363−17801.29)=244112×561.71=244250.82=0.97\begin{aligned} r & =\frac{\sum x y-\frac{\left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n}}{\sqrt{\left\{\sum x^2-\frac{\left(\sum x\right)^2}{n}\right\}\left\{\sum y^2-\frac{\left(\sum y\right)^2}{n}\right\}}}[\text{এখানে} n=7] \\ & =\frac{10128-\frac{196 \times 353}{7}}{\sqrt{\left\{5600-\frac{(196)^2}{7}\right\}\left\{18363-\frac{(353)^2}{7}\right\}}} \\ & =\frac{10128-9884}{\sqrt{(5600-5488)(18363-17801.29)}} \\ & =\frac{244}{\sqrt{112 \times 561.71}} \\ & =\frac{244}{250.82}=0.97\end{aligned} মন্তব্য: যেহেতু r = 0.97 সুতরাং, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ এবং মোট শস্য উৎপাদনের মধ্যে উচ্চ মাত্রায় ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বাংলাদেশে কোনো এক মাসের বৃষ্টিপাতের পরিমাণের ভিত্তিতে রবি শস্য ও খরিপ শস্য উৎপাদনের পরিমাণ দেওয়া হলো: বৃষ্টিপাতের পরিমাণ (ইঞ্চিতে) 22 24 26 28 30 32 34 রবি শস্য উৎপাদন (মণে) 20 25 28 32 35 40 42 খরিপ শস্য উৎপাদন (মণে) 15 17 20 18 22 21 18 [সরকারি আজিজুল হক কলেজ, বগুড়া]
ক
বিক্ষেপ চিত্র কী?

উত্তর

পরস্পর সম্পর্কযুক্ত দুটি চলককে ছক কাগজে উপস্থাপন করলে যে চিত্র পাওয়া যায়, তাকে বিক্ষেপ চিত্র বলে।
খ
সংশ্লেষ কী একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

সংশ্লেষাঙ্ক একটি এককমুক্ত বিশুদ্ধ সংখ্যা। ব্যাখ্যা: একটি এককমুক্ত সংখ্যাকে বিশুদ্ধ সংখ্যা বলা হয়। সংশ্লেষাঙ্ক একটি অনুপাত রাশি যার লব ও হরে একই একক থাকে। লব ও হরের একক একই হওয়ার ফলে একক বাতিল হয়ে এককমুক্ত হয়। ফলে সংশ্লেষাঙ্ক একক মুক্ত হয়ে বিশুদ্ধ সংখ্যা হয়। নিচে একটি উদাহরণের সাহায্যে দেখানো হলো: আমরা জানি, x ও y এর সংশ্লেষাঙ্ক, r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(x1−xˉ)2∑(yi−yˉ)2r=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2\sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}. ধরি, কোনো শ্রেণিকক্ষের ছাত্রদের ওজনের চলক যার একক কেজি এবং উচ্চতার চলক y যার একক ফুট। তাহলে (xi−xˉ)\left(x_i-\bar{x}\right) এর একক হবে কেজি এবং (yi−yˉ)\left(y_i-\bar{y}\right) এর একক হবে ফুট। এখন, (i).নং সমীকরণের লব Σ(xi−xˉ)(yi−yˉ)\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right) এর একক হবে, কেজি ×\times ফুট এবং হর Σ(xi−xˉ)2Σ(yi−yˉ)2\sqrt{\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \Sigma\left(y_i-\bar{y}\right)^2} এর একক হবে, ( কেজি )2×( ফুট )2=\sqrt{(\text{ কেজি })^2 \times(\text{ ফুট })^2}= কেজি ×\times ফুট। এখন (i) নং সমীকরণ হতে পাই, সংশ্লেষাঙ্ক, r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(x1−xˉ)2∑(yi−yˉ)2 এর একক হবে  কেজি × ফুট কেজি × ফুট r=\frac{\sum\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}} \text{ এর একক হবে } \frac{\text{ কেজি } \times \text{ ফুট}}{\text{ কেজি } \times \text{ ফুট }} ∴r=Σ(x1−xˉ)(y1−yˉ)Σ(x1−xˉ)2∑(yi−yˉ)2\therefore r=\frac{\Sigma\left(x_1-\bar{x}\right)\left(y_1-\bar{y}\right)}{\sqrt{\Sigma\left(x_1-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}; যা একটি এককমুক্ত বিশুদ্ধ সংখ্যা। অতএব, সংশ্লেষাঙ্ক একটি এককমুক্ত বিশুদ্ধ সংখ্যা।
গ
উদ্দীপকে রবি শস্য ও খরিপ শস্য উৎপাদনের মধ্যে সহভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, রবি শস্য উৎপাদন= x এবং খরিপ শস্য উৎপাদন = y সহভেদাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি:  এখানে,xˉ=∑xn\text{ এখানে,} \bar{x}=\frac{\sum x}{n} =2227=31.71=\frac{222}{7}=31.71  এবং y‾=∑yn\text{ এবং } \overline{\mathrm{y}}=\frac{\sum \mathrm{y}}{\mathrm{n}} =1317=18.71=\frac{131}{7}=18.71 আমরা জানি, সহভেদাঙ্ক, Cov⁡(xy)=∑(x−xˉ)(y−yˉ)n\operatorname{Cov}(x y)=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{n} =80.277=11.47=\frac{80.27}{7}=11.47 সুতরাং, সহভেদাঙ্ক 11.47.
ঘ
বৃষ্টিপাতের পরিমাণের সাথে মোট শস্য উৎপাদনের কোনো সম্পর্ক আছে কী? বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

ধরি, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = x এবং মোট শস্য রবি শস্য + খরিপ শস্য = y সংশ্লেষ নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: আমরা জানি, সংশ্লেষাঙ্ক, r=∑xy−(∑x)(∑y)n{∑x2−(∑x)2n}{∑y2−(∑y)2n}[এখানেn=7]=10128−196×3537{5600−(196)27}{18363−(353)27}=10128−9884(5600−5488)(18363−17801.29)=244112×561.71=244250.82=0.97\begin{aligned} r & =\frac{\sum x y-\frac{\left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n}}{\sqrt{\left\{\sum x^2-\frac{\left(\sum x\right)^2}{n}\right\}\left\{\sum y^2-\frac{\left(\sum y\right)^2}{n}\right\}}}[\text{এখানে} n=7] \\ & =\frac{10128-\frac{196 \times 353}{7}}{\sqrt{\left\{5600-\frac{(196)^2}{7}\right\}\left\{18363-\frac{(353)^2}{7}\right\}}} \\ & =\frac{10128-9884}{\sqrt{(5600-5488)(18363-17801.29)}} \\ & =\frac{244}{\sqrt{112 \times 561.71}} \\ & =\frac{244}{250.82}=0.97\end{aligned} মন্তব্য: যেহেতু r = 0.97 সুতরাং, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ এবং মোট শস্য উৎপাদনের মধ্যে উচ্চ মাত্রায় ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচের তালিকায় কোন একটি কোম্পানির বিক্রয় ও বিজ্ঞাপন খরচ সম্পর্কে তথ্য দেওয়া হলো: বিক্রয় (লক্ষে টাকা) : x 3 5 7 2 8 বিজ্ঞাপন খরচ (হাজারে টাকা): y 5 6 2 3 4 [সাভার ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ, ঢাকা]
ক
সংশ্লেষ কী?

উত্তর

দুই বা ততোধিক চলকের একই সঙ্গে পরিবর্তিত হওয়ার প্রবণতা বা পরস্পর নির্ভরশীলতাই সংশ্লেষ।
খ
সংশ্লেষাঙ্ক একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, চলক xx ও yy এর সংশ্লেষাঙ্ক, r=Σ(xi−xˉ)(yi−yˉ)Σ(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2r=\frac{\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}} ধরি, কোনো কলেজের একাদশ শ্রেণির ছাত্রদের উচ্চতার চলক xx যার একক ইঞ্চি এবং ওজনের চলক y যার একক কেজি। তাহলে ( xi−x‾\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}} ) এর একক ইঞ্চি এবং(yi−yˉ)\left(y_i-\bar{y}\right) এর একক কেজি হবে। সুতরাং ±(xi−x‾)(yi−y‾\pm\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}}\right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{y}}\right. এর একক ইঞ্চি ×\times কেজি এবং ∑(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right) 2 এর একক (ইঞি)2×( কেজি )2^2 \times(\text{ কেজি })^2হবে।কিন্তুহবে। কিন্তু∑(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2এরবর্গমূলেরএককহবেইঞ্চিএর বর্গমূলের একক হবে ইঞ্চি×\timesকেজি।কেজি।=∑(x1−xˉ)(yi−yˉ)∑(x1−xˉ)2Σ(yi−yˉ)2\frac{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2 \Sigma\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}$, যা এককবিহীন বিশুদ্ধ সংখ্যা। অতএব, সংশ্লেষাঙ্ক একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা।
গ
কোম্পানির বিক্রয় ও বিজ্ঞাপন খরচের মধ্যকার সংশ্লেষাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

সংশ্লেষাঙ্ক, r=Σxy−(Σx)(Σy)n{Σx2−(Σx)2n}{Σy2−(Σy)2n}r=\frac{\Sigma x y-\frac{(\Sigma x)(\Sigma y)}{n}}{\sqrt{\left\{\Sigma x^2-\frac{(\Sigma x)^2}{n}\right\}\left\{\Sigma y^2-\frac{(\Sigma y)^2}{n}\right\}}} =97−25×205{151−(25)25}{90−(20)25}=\frac{97-\frac{25 \times 20}{5}}{\sqrt{\left\{151-\frac{(25)^2}{5}\right\}\left\{90-\frac{(20)^2}{5}\right\}}} =97−10026×10=−316.124=−0.1860=\frac{97-100}{\sqrt{26 \times 10}=\frac{-3}{16.124}=-0.1860} কোম্পানির বিক্রয় ও বিজ্ঞাপন খরচের মধ্যকার সংশ্লেষাঙ্ক- 0.1860
ঘ
বিক্রয়মূল্যের উপর বিজ্ঞাপন খরচের নির্ভরণ সমীকরণ নির্ণয় কর এবং সংশ্লেষাঙ্ক সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

বিক্রয়ের উপর বিজ্ঞাপন খরচের নির্ভরণ সমীকরণ, y = a + bx এখানে, b=∑xy−(∑x)(∑y)n∑x2−(∑x)2n=97−25×205151−(25)25=97−100151−125=−326=−0.1153\begin{aligned} \mathrm{b} & =\frac{\sum \mathrm{xy}-\frac{\left(\sum \mathrm{x}\right)\left(\sum \mathrm{y}\right)}{\mathrm{n}}}{\sum \mathrm{x}^2-\frac{\left(\sum \mathrm{x}\right)^2}{n}}=\frac{97-\frac{25 \times 20}{5}}{151-\frac{(25)^2}{5}} \\ & =\frac{97-100}{151-125}=\frac{-3}{26}=-0.1153\end{aligned} এবং, a=yˉ−bxˉ=Σyn−bΣxn=205−(−0.1153)×255=4+0.5769=4.5769\begin{aligned} a & =\bar{y}-b \bar{x} \\ & =\frac{\Sigma y}{n}-b \frac{\Sigma x}{n} \\ & =\frac{20}{5}-(-0.1153) \times \frac{25}{5}=4+0.5769=4.5769\end{aligned} নির্ণেয় বিক্রয়ের উপর বিজ্ঞাপন খরচের নির্ভরণ সমীকরণ, y = 4.5769 - 0.1153x ∴ r = - 0.186 বিক্রয় ও বিজ্ঞাপন খরচের মধ্যে নিম্নমাত্রার ঋণাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচের তালিকায় কোন একটি কোম্পানির বিক্রয় ও বিজ্ঞাপন খরচ সম্পর্কে তথ্য দেওয়া হলো: বিক্রয় (লক্ষে টাকা) : x 3 5 7 2 8 বিজ্ঞাপন খরচ (হাজারে টাকা): y 5 6 2 3 4 [সাভার ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ, ঢাকা]
ক
সংশ্লেষ কী?

উত্তর

দুই বা ততোধিক চলকের একই সঙ্গে পরিবর্তিত হওয়ার প্রবণতা বা পরস্পর নির্ভরশীলতাই সংশ্লেষ।
খ
সংশ্লেষাঙ্ক একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, চলক xx ও yy এর সংশ্লেষাঙ্ক, r=Σ(xi−xˉ)(yi−yˉ)Σ(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2r=\frac{\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\Sigma\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2}} ধরি, কোনো কলেজের একাদশ শ্রেণির ছাত্রদের উচ্চতার চলক xx যার একক ইঞ্চি এবং ওজনের চলক y যার একক কেজি। তাহলে ( xi−x‾\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}} ) এর একক ইঞ্চি এবং(yi−yˉ)\left(y_i-\bar{y}\right) এর একক কেজি হবে। সুতরাং ±(xi−x‾)(yi−y‾\pm\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}}\right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{y}}\right. এর একক ইঞ্চি ×\times কেজি এবং ∑(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right) 2 এর একক (ইঞি)2×( কেজি )2^2 \times(\text{ কেজি })^2হবে।কিন্তুহবে। কিন্তু∑(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2\sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2 \sum\left(y_i-\bar{y}\right)^2এরবর্গমূলেরএককহবেইঞ্চিএর বর্গমূলের একক হবে ইঞ্চি×\timesকেজি।কেজি।=∑(x1−xˉ)(yi−yˉ)∑(x1−xˉ)2Σ(yi−yˉ)2\frac{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\left(x_1-\bar{x}\right)^2 \Sigma\left(y_i-\bar{y}\right)^2}}$, যা এককবিহীন বিশুদ্ধ সংখ্যা। অতএব, সংশ্লেষাঙ্ক একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা।
গ
কোম্পানির বিক্রয় ও বিজ্ঞাপন খরচের মধ্যকার সংশ্লেষাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

সংশ্লেষাঙ্ক, r=Σxy−(Σx)(Σy)n{Σx2−(Σx)2n}{Σy2−(Σy)2n}r=\frac{\Sigma x y-\frac{(\Sigma x)(\Sigma y)}{n}}{\sqrt{\left\{\Sigma x^2-\frac{(\Sigma x)^2}{n}\right\}\left\{\Sigma y^2-\frac{(\Sigma y)^2}{n}\right\}}} =97−25×205{151−(25)25}{90−(20)25}=\frac{97-\frac{25 \times 20}{5}}{\sqrt{\left\{151-\frac{(25)^2}{5}\right\}\left\{90-\frac{(20)^2}{5}\right\}}} =97−10026×10=−316.124=−0.1860=\frac{97-100}{\sqrt{26 \times 10}=\frac{-3}{16.124}=-0.1860} কোম্পানির বিক্রয় ও বিজ্ঞাপন খরচের মধ্যকার সংশ্লেষাঙ্ক- 0.1860
ঘ
বিক্রয়মূল্যের উপর বিজ্ঞাপন খরচের নির্ভরণ সমীকরণ নির্ণয় কর এবং সংশ্লেষাঙ্ক সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

বিক্রয়ের উপর বিজ্ঞাপন খরচের নির্ভরণ সমীকরণ, y = a + bx এখানে, b=∑xy−(∑x)(∑y)n∑x2−(∑x)2n=97−25×205151−(25)25=97−100151−125=−326=−0.1153\begin{aligned} \mathrm{b} & =\frac{\sum \mathrm{xy}-\frac{\left(\sum \mathrm{x}\right)\left(\sum \mathrm{y}\right)}{\mathrm{n}}}{\sum \mathrm{x}^2-\frac{\left(\sum \mathrm{x}\right)^2}{n}}=\frac{97-\frac{25 \times 20}{5}}{151-\frac{(25)^2}{5}} \\ & =\frac{97-100}{151-125}=\frac{-3}{26}=-0.1153\end{aligned} এবং, a=yˉ−bxˉ=Σyn−bΣxn=205−(−0.1153)×255=4+0.5769=4.5769\begin{aligned} a & =\bar{y}-b \bar{x} \\ & =\frac{\Sigma y}{n}-b \frac{\Sigma x}{n} \\ & =\frac{20}{5}-(-0.1153) \times \frac{25}{5}=4+0.5769=4.5769\end{aligned} নির্ণেয় বিক্রয়ের উপর বিজ্ঞাপন খরচের নির্ভরণ সমীকরণ, y = 4.5769 - 0.1153x ∴ r = - 0.186 বিক্রয় ও বিজ্ঞাপন খরচের মধ্যে নিম্নমাত্রার ঋণাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচের বৃষ্টিপাতের পরিমাণের ভিত্তিতে ধানের ও গমের উৎপাদনের পরিমাণ দেখানো হলো- [সফিউদ্দিন সরকার একাডেমী এন্ড কলেজ, টঙ্গী, গাজীপুর]
ক
নির্ভরণ বলতে কী বুঝ?

উত্তর

যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির মাধ্যমে স্বাধীন চলকের জানা মানের ভিত্তিতে অধীন চলকের গড় মান বা প্রত্যাশিত মান নির্ণয় করা যায়, তাই নির্ভরণ।
খ
r=0.75 দ্বারা কী বুঝায়? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

r = 0.75 দ্বারা বুঝায়, পরস্পর সম্পর্কযুক্ত দুইটি চলকের মাঝে আংশিক ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান। অর্থাৎ, দুইটি চলকের পরিবর্তন সমমুখী ও অসমানুপাতিক।
গ
উদ্দীপকের ধানের উৎপাদন ও গমের উৎপাদনের মধ্যে সহভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, ধানের উৎপাদন = x এবং গমের উৎপাদন = y। x ও y এর সহভেদাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: question image এখানে,, xˉ=∑x1n=2047=29.14\bar{x}=\frac{\sum x_1}{n}=\frac{204}{7}=29.14 এবং yˉ=∑yin=1267=18\bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{126}{7}=18 আমরা জানি, সহভেদাঙ্ক, Cov(xy) =∑(x−xˉ)(y−yˉ)n=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{n} =547=7.71=\frac{54}{7}=7.71 সুতরাং, ধান উৎপাদন ও গম উৎপাদনের সহভেদাঙ্ক 7.71।
ঘ
উদ্দীপকে কার্ল পিয়ারসনের সূত্রের ভিত্তিতে বৃষ্টিপাতের পরিমাণের সাথে শস্য উৎপাদনের মোট পরিমাণের সহ- সম্বন্ধাঙ্ক নির্ণয় করে মন্তব্য কর।

উত্তর

ধরি, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = x এবং মোট শস্য উৎপাদন ধানের উৎপাদন গমের উৎপাদন = y এখন, x ও y এর সহ-সম্বন্ধাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: ∴সহ-সম্বন্ধাঙ্ক,r=∑xy−(∑x)(∑y)n{∑x2−(∑x)2n}{∑y2−(∑y)2n}=9190−182×3307{4844−(182)27}{17650−(330)27}=9190−8580(4844−4732)(17650−15557.14)=610112×2092.86=60484.15=0.124\begin{aligned} \therefore \text{সহ-সম্বন্ধাঙ্ক,} r & =\frac{\sum x y-\frac{\left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n}}{\sqrt{\left\{\sum x^2-\frac{\left(\sum x\right)^2}{n}\right\}\left\{\sum y^2-\frac{\left(\sum y\right)^2}{n}\right\}}} \\ & =\frac{9190-\frac{182 \times 330}{7}}{\sqrt{\left\{4844-\frac{(182)^2}{7}\right\}\left\{17650-\frac{(330)^2}{7}\right\}}} \\ & =\frac{9190-8580}{\sqrt{(4844-4732)(17650-15557.14)}} \\ & =\frac{610}{\sqrt{112 \times 2092.86}}=\frac{60}{484.15}=0.124\end{aligned} মন্তব্য: যেহেতু r = 0.124 । সুতরাং, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ এবং মোট শস্য উৎপাদনের মাঝে আংশিক ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচের বৃষ্টিপাতের পরিমাণের ভিত্তিতে ধানের ও গমের উৎপাদনের পরিমাণ দেখানো হলো- [সফিউদ্দিন সরকার একাডেমী এন্ড কলেজ, টঙ্গী, গাজীপুর]
ক
নির্ভরণ বলতে কী বুঝ?

উত্তর

যে পরিসংখ্যানিক পদ্ধতির মাধ্যমে স্বাধীন চলকের জানা মানের ভিত্তিতে অধীন চলকের গড় মান বা প্রত্যাশিত মান নির্ণয় করা যায়, তাই নির্ভরণ।
খ
r=0.75 দ্বারা কী বুঝায়? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

r = 0.75 দ্বারা বুঝায়, পরস্পর সম্পর্কযুক্ত দুইটি চলকের মাঝে আংশিক ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান। অর্থাৎ, দুইটি চলকের পরিবর্তন সমমুখী ও অসমানুপাতিক।
গ
উদ্দীপকের ধানের উৎপাদন ও গমের উৎপাদনের মধ্যে সহভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, ধানের উৎপাদন = x এবং গমের উৎপাদন = y। x ও y এর সহভেদাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: question image এখানে,, xˉ=∑x1n=2047=29.14\bar{x}=\frac{\sum x_1}{n}=\frac{204}{7}=29.14 এবং yˉ=∑yin=1267=18\bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{126}{7}=18 আমরা জানি, সহভেদাঙ্ক, Cov(xy) =∑(x−xˉ)(y−yˉ)n=\frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{n} =547=7.71=\frac{54}{7}=7.71 সুতরাং, ধান উৎপাদন ও গম উৎপাদনের সহভেদাঙ্ক 7.71।
ঘ
উদ্দীপকে কার্ল পিয়ারসনের সূত্রের ভিত্তিতে বৃষ্টিপাতের পরিমাণের সাথে শস্য উৎপাদনের মোট পরিমাণের সহ- সম্বন্ধাঙ্ক নির্ণয় করে মন্তব্য কর।

উত্তর

ধরি, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = x এবং মোট শস্য উৎপাদন ধানের উৎপাদন গমের উৎপাদন = y এখন, x ও y এর সহ-সম্বন্ধাঙ্ক নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি: ∴সহ-সম্বন্ধাঙ্ক,r=∑xy−(∑x)(∑y)n{∑x2−(∑x)2n}{∑y2−(∑y)2n}=9190−182×3307{4844−(182)27}{17650−(330)27}=9190−8580(4844−4732)(17650−15557.14)=610112×2092.86=60484.15=0.124\begin{aligned} \therefore \text{সহ-সম্বন্ধাঙ্ক,} r & =\frac{\sum x y-\frac{\left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{n}}{\sqrt{\left\{\sum x^2-\frac{\left(\sum x\right)^2}{n}\right\}\left\{\sum y^2-\frac{\left(\sum y\right)^2}{n}\right\}}} \\ & =\frac{9190-\frac{182 \times 330}{7}}{\sqrt{\left\{4844-\frac{(182)^2}{7}\right\}\left\{17650-\frac{(330)^2}{7}\right\}}} \\ & =\frac{9190-8580}{\sqrt{(4844-4732)(17650-15557.14)}} \\ & =\frac{610}{\sqrt{112 \times 2092.86}}=\frac{60}{484.15}=0.124\end{aligned} মন্তব্য: যেহেতু r = 0.124 । সুতরাং, বৃষ্টিপাতের পরিমাণ এবং মোট শস্য উৎপাদনের মাঝে আংশিক ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো