Chapter 8 : পরিসংখ্যান Psychology 2nd Paper

উদ্দীপক

একাদশ শ্রেণির বাংলা প্রথম পত্রের বার্ষিক পরীক্ষায় ৩০ জন ছাত্রীর নিম্নরূপ সাফল্যাঙ্ক পাওয়া গেল।

ক

বিচ্যুতি কী?

উত্তর

কেন্দ্রীয় মান থেকে বণ্টনের মানসমূহের বিক্ষিপ্ততা বা ভেদই ঐ তথ্যসারির বিস্তার বা বিচ্যুতি।

খ

গড় বিচ্যুতি নির্ণয়ে চিহ্ন বর্জিত চিহ্ন ব্যবহৃত হয় কেন?

উত্তর

গড় বিচ্যুতি নির্ণয়ে চিহ্ন বর্জিত চিহ্ন ব্যবহৃত হয় কারণ- কোনো বণ্টনের কেন্দ্র থেকে সবগুলো সাফল্যাঙ্কের বিচ্যুতির গড়কে গড় বিচ্যুতি বলা হয়। কোনো বণ্টনের সাফল্যাঙ্কগুলো থেকে ঐ বণ্টনের গড়ের বিচ্যুতি যোগ করলে যোগফল শূন্য হয়। তাই গড় বিচ্যুতির ক্ষেত্রে প্রত্যেকটি বিচ্যুতির যোগ বা বিয়োগ চিহ্ন বর্জন করতে হয়। বীজগাণিতিক চিহ্ন বর্জনের জন্য পরম মান এর চিহ্ন ব্যবহার করা হয়ে থাকে।

গ

উদ্দীপকের আলোকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ প্রয়োগ কর।

উত্তর

আদর্শ বিচ্যুতিকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ বলা হয়। নিচে উদ্দীপকের আলোকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ নির্ণয় করা হলো- বিচ্যুতের উৎকৃষ্ট পরিমাপ নির্ণয়ের ছক: $\therefore$ বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ $\begin{aligned} & \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f x^2}{N}-\left(\frac{\Sigma f x}{N}\right)^2} \\ & =\sqrt{\frac{৬৮৭৬০}{৩০}-\left(\frac{১৪২০}{৩০}\right)^২} \\ & =\sqrt{\text{ ২২৯২-(৪৭.৩৩) }} \\ & \text{ = } \sqrt{২২৯২-২২৪০.১২} \\ & =\sqrt{৫১.৮৭}=\text{৭.২০} \end{aligned}$ অর্থাৎ বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ ৭.২০।

ঘ

বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপের বৈশিষ্ট্য উল্লেখপূর্বক প্রদত্ত সারণি থেকে ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

যেহেতু আদর্শ বিচ্যুতিকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ বলা হয়। তাই আদর্শ বিচ্যুতির বৈশিষ্ট্যই বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপের বৈশিষ্ট্য। নিচে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপের বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা হলো- ১. বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপে ঋণাত্মক মানের স্থান নেই। ২. বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপে ধনাত্মক মান গ্রহণ করা হয়। ৩. পরিসংখ্যানের বিভিন্ন কাজে যেমন- সহসম্পর্ক, নমুনা সংগ্রহ প্রভৃতি কাজে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়। ৪. দ্রব্যের উৎকর্ষতা নিরূপণে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ কাজে লাগে। ৫. কোনো বণ্টন থেকে নির্ণীত মান কতটুকু প্রতিনিধিত্বশীল হবে তা নির্ণয়ে সাহায্য করে। ৬. কালীন সারি বিশ্লেষণেও বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ গুরুত্বপূর্ণ। উদ্দীপকে প্রদত্ত সারণী থেকে নিচে ভেদাঙ্ক নির্ণয় করা হলো। আমরা জানি, আদর্শ বিচ্যুতিই, বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ 'গ' নং থেকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ তথা আদর্শ বিচ্যুতির মান পাই-৭.২০। যেহেতু আদর্শ বিচ্যুতির বর্গই ভেদাঙ্ক। সুতরাং ভেদাঙ্ক, ০১ = (৭.২০) = ৫১.৮৪। অর্থাৎ নির্ণেয় ভেদাঙ্ক ৫১.৮৪।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একাদশ শ্রেণির বাংলা প্রথম পত্রের বার্ষিক পরীক্ষায় ৩০ জন ছাত্রীর নিম্নরূপ সাফল্যাঙ্ক পাওয়া গেল।

ক

বিচ্যুতি কী?

উত্তর

কেন্দ্রীয় মান থেকে বণ্টনের মানসমূহের বিক্ষিপ্ততা বা ভেদই ঐ তথ্যসারির বিস্তার বা বিচ্যুতি।

খ

গড় বিচ্যুতি নির্ণয়ে চিহ্ন বর্জিত চিহ্ন ব্যবহৃত হয় কেন?

উত্তর

গড় বিচ্যুতি নির্ণয়ে চিহ্ন বর্জিত চিহ্ন ব্যবহৃত হয় কারণ- কোনো বণ্টনের কেন্দ্র থেকে সবগুলো সাফল্যাঙ্কের বিচ্যুতির গড়কে গড় বিচ্যুতি বলা হয়। কোনো বণ্টনের সাফল্যাঙ্কগুলো থেকে ঐ বণ্টনের গড়ের বিচ্যুতি যোগ করলে যোগফল শূন্য হয়। তাই গড় বিচ্যুতির ক্ষেত্রে প্রত্যেকটি বিচ্যুতির যোগ বা বিয়োগ চিহ্ন বর্জন করতে হয়। বীজগাণিতিক চিহ্ন বর্জনের জন্য পরম মান এর চিহ্ন ব্যবহার করা হয়ে থাকে।

গ

উদ্দীপকের আলোকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ প্রয়োগ কর।

উত্তর

আদর্শ বিচ্যুতিকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ বলা হয়। নিচে উদ্দীপকের আলোকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ নির্ণয় করা হলো- বিচ্যুতের উৎকৃষ্ট পরিমাপ নির্ণয়ের ছক: $\therefore$ বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ $\begin{aligned} & \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f x^2}{N}-\left(\frac{\Sigma f x}{N}\right)^2} \\ & =\sqrt{\frac{৬৮৭৬০}{৩০}-\left(\frac{১৪২০}{৩০}\right)^২} \\ & =\sqrt{\text{ ২২৯২-(৪৭.৩৩) }} \\ & \text{ = } \sqrt{২২৯২-২২৪০.১২} \\ & =\sqrt{৫১.৮৭}=\text{৭.২০} \end{aligned}$ অর্থাৎ বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ ৭.২০।

ঘ

বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপের বৈশিষ্ট্য উল্লেখপূর্বক প্রদত্ত সারণি থেকে ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

যেহেতু আদর্শ বিচ্যুতিকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ বলা হয়। তাই আদর্শ বিচ্যুতির বৈশিষ্ট্যই বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপের বৈশিষ্ট্য। নিচে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপের বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা হলো- ১. বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপে ঋণাত্মক মানের স্থান নেই। ২. বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপে ধনাত্মক মান গ্রহণ করা হয়। ৩. পরিসংখ্যানের বিভিন্ন কাজে যেমন- সহসম্পর্ক, নমুনা সংগ্রহ প্রভৃতি কাজে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়। ৪. দ্রব্যের উৎকর্ষতা নিরূপণে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ কাজে লাগে। ৫. কোনো বণ্টন থেকে নির্ণীত মান কতটুকু প্রতিনিধিত্বশীল হবে তা নির্ণয়ে সাহায্য করে। ৬. কালীন সারি বিশ্লেষণেও বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ গুরুত্বপূর্ণ। উদ্দীপকে প্রদত্ত সারণী থেকে নিচে ভেদাঙ্ক নির্ণয় করা হলো। আমরা জানি, আদর্শ বিচ্যুতিই, বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ 'গ' নং থেকে বিচ্যুতির উৎকৃষ্ট পরিমাপ তথা আদর্শ বিচ্যুতির মান পাই-৭.২০। যেহেতু আদর্শ বিচ্যুতির বর্গই ভেদাঙ্ক। সুতরাং ভেদাঙ্ক, ০১ = (৭.২০) = ৫১.৮৪। অর্থাৎ নির্ণেয় ভেদাঙ্ক ৫১.৮৪।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

১৫০ জন ছাত্রের মধ্যে ১০ জন ছাত্রকে একটি পরীক্ষার জন্য বাছাই করা হলো। প্রতিজন ছাত্রকে ৩০ নম্বরের প্রশ্ন করা হলো- প্রতিটি প্রশ্নের জন্য এক নম্বর। তাদের ফলাফল নিম্নরূপ: ১৫, ১০, ১৩, ৮, ২০, ২৫, ১৮, ২১, ২৪, ১৬।

ক

গড় বিচ্যুতির সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো উপাত্তের মানগুলো হতে তাদের কেন্দ্রমানের (গড় বা মধ্যমা বা প্রচুরক) ব্যবধানের পরমমানের সমষ্টিকে মোট উপাত্ত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায় তাকে ঐ কেন্দ্র মান হতে মাপা গড় ব্যবধান বা গড় বিচ্যুতি বলে।

খ

পরিসরকে কেন বিচ্যুতি পরিমাপের সহজ অংক বলা হয়? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিসরকে বিচ্যুতি পরিমাপের সহজ অংক বলা হয় কারণ পরিসর হলো বিচ্যুতির সহজ পরিমাপ। কোনো বণ্টনের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও বৃহত্তর সংখ্যার ব্যবধানকে উক্ত বণ্টনের পরিসর বলে। পরিসরের সূত্র হলো: R (H-L) +১ এখানে, R= পরিসর H = সবচেয়ে বড় সংখ্যা L= সবচেয়ে ছোট সংখ্যা পরিসর নির্ণয় করা খুব সহজ বলে পরিসরকে বিচ্যুতির সহজ অংক বলা হয়।

গ

প্রাপ্ত তথ্যগুলোর আলোকে গড় বিচ্যুতি নির্ণয় কর। $M D_{\bar{x}}=\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^n\left|X_i-\bar{x}\right|$ যেখানে, গাণিতিক গড় $\bar{x} \frac{1}{n}=\sum_{i=1}^n x_i$ গণনা সারণি $\therefore$ গড় বিচ্যুতি $\mathrm{MD} \bar{X}=\frac{\Sigma\left|\mathrm{X}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{X}}\right|}{n}=\frac{ {৪৬ }}{১০}=৪.৬০$ $\therefore$ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি ৪.৬০।

উত্তর

আমরা জানি, উপাত্তের তথ্যগুলোর গড় থেকে গড় বিচ্যুতি;

ঘ

উদ্দীপকের তথ্যগুলোর আলোকে বিস্তারমান নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রাপ্ত উপাত্তগুলো 'গ' থেকে পাই, $\therefore$ বিস্তার মান, $\begin{aligned} \sigma^২ & =\frac{\Sigma\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n} \\ & =\frac{২৯০}{১০}=২৯ \end{aligned}$ $\therefore$ নির্ণেয় বিস্তার মান ২৯।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

১৫০ জন ছাত্রের মধ্যে ১০ জন ছাত্রকে একটি পরীক্ষার জন্য বাছাই করা হলো। প্রতিজন ছাত্রকে ৩০ নম্বরের প্রশ্ন করা হলো- প্রতিটি প্রশ্নের জন্য এক নম্বর। তাদের ফলাফল নিম্নরূপ: ১৫, ১০, ১৩, ৮, ২০, ২৫, ১৮, ২১, ২৪, ১৬।

ক

গড় বিচ্যুতির সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো উপাত্তের মানগুলো হতে তাদের কেন্দ্রমানের (গড় বা মধ্যমা বা প্রচুরক) ব্যবধানের পরমমানের সমষ্টিকে মোট উপাত্ত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায় তাকে ঐ কেন্দ্র মান হতে মাপা গড় ব্যবধান বা গড় বিচ্যুতি বলে।

খ

পরিসরকে কেন বিচ্যুতি পরিমাপের সহজ অংক বলা হয়? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিসরকে বিচ্যুতি পরিমাপের সহজ অংক বলা হয় কারণ পরিসর হলো বিচ্যুতির সহজ পরিমাপ। কোনো বণ্টনের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও বৃহত্তর সংখ্যার ব্যবধানকে উক্ত বণ্টনের পরিসর বলে। পরিসরের সূত্র হলো: R (H-L) +১ এখানে, R= পরিসর H = সবচেয়ে বড় সংখ্যা L= সবচেয়ে ছোট সংখ্যা পরিসর নির্ণয় করা খুব সহজ বলে পরিসরকে বিচ্যুতির সহজ অংক বলা হয়।

গ

প্রাপ্ত তথ্যগুলোর আলোকে গড় বিচ্যুতি নির্ণয় কর। $M D_{\bar{x}}=\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^n\left|X_i-\bar{x}\right|$ যেখানে, গাণিতিক গড় $\bar{x} \frac{1}{n}=\sum_{i=1}^n x_i$ গণনা সারণি $\therefore$ গড় বিচ্যুতি $\mathrm{MD} \bar{X}=\frac{\Sigma\left|\mathrm{X}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{X}}\right|}{n}=\frac{ {৪৬ }}{১০}=৪.৬০$ $\therefore$ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি ৪.৬০।

উত্তর

আমরা জানি, উপাত্তের তথ্যগুলোর গড় থেকে গড় বিচ্যুতি;

ঘ

উদ্দীপকের তথ্যগুলোর আলোকে বিস্তারমান নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রাপ্ত উপাত্তগুলো 'গ' থেকে পাই, $\therefore$ বিস্তার মান, $\begin{aligned} \sigma^২ & =\frac{\Sigma\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n} \\ & =\frac{২৯০}{১০}=২৯ \end{aligned}$ $\therefore$ নির্ণেয় বিস্তার মান ২৯।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৈবচয়ন প্রক্রিয়ায় একটি ক্লাসের ৫০ জন ছাত্রী থেকে ১৬ জন ছাত্রী একটি অভীক্ষায় অংশ নিল। তাদের প্রাপ্ত ফলাফল নিম্নরূপ: ১২, ৮, ৮, ৬, ৯, ২০, ২৫, ২৮, ২৬, ৩০, ১০, ৭, ২০, ১৪, ১৫, ১৮।

ক

পরিসরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো বণ্টনের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও বৃহত্তম সংখ্যার ব্যবধান বা পার্থক্যকে উক্ত বণ্টনের পরিসর বলে।

খ

সংক্ষিপ্ত নিয়মে বিন্যস্ত উপাত্তের আদর্শ বিচ্যুতির সূত্রটি উল্লেখ কর।

উত্তর

সংক্ষিপ্ত নিয়মে বিন্যস্ত উপাত্তের আদর্শ বিচ্যুতির সূত্রটি নিচে উল্লেখ করা হলো- আদর্শ বিচ্যুতি, $\sigma=i \sqrt{\frac{\Sigma \mathrm{fd}^2}{N}-\left(\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{N}\right)^2}$ এখানে, a = আদর্শ বিচ্যুতি $\Sigma$ = যোগফল f = পৌনঃপুন্য N = পৌনঃপুন্যের সমষ্টি i = শ্রেণি ব্যবধান d = বিচ্যুতি = $\frac{X-A M}{i}$ AM = আনুমানিক গড়। $\left(\frac{N}{2}\right)$ ক্রমবর্ধিষ্ণু পৌনঃপুন্যের যে অংকের মধ্যে পড়ে, সেই অংকটি যে শ্রেণিতে আছে সেই শ্রেণির মধ্যবিন্দু হলো আনুমানিক গড়।

গ

উদ্দীপকে উল্লেখিত উপাত্তের চতুর্থাংশীয় বিচ্যুতি নির্ণয় কর।

উত্তর

নিম্নের ছকে অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে চতুর্থাংশীয় বিচ্যুতি নির্ণয়ের পদ্ধতি দেখানো হলো- আমরা জানি, $Q=\frac{Q_৩-Q_১}{২}$ এখানে, Q = চতুর্থাংশীয় বিচ্যুতি Q১ = প্রথম চতুর্থক Q৩ = তৃতীয় চতুর্থক আবার, Q১ = $\frac{N}{৪}$ তম সংখ্যা = $\frac{১৬}{৪}$ তম সংখ্যা = ৪ তম সংখ্যা এখানে, চতুর্থ সংখ্যা = ৮ $\therefore$ Q১ = ৮ আবার, Q৩ = $\frac{৩N}{৪}$ তম সংখ্যা = $\frac{৩ \times ১ ৬}{৪}$ তম সংখ্যা = ১২ তম সংখ্যা এখানে, ১২ তম সংখ্যা = ২০ $\therefore$ Q৩ = ২০ $\therefore$ $Q=\frac{Q_৩-Q_১}{২}= \frac{২০-৮}{২}=\frac{১২}{২}=৬$ $\therefore$ নির্ণেয় চতুর্থাংশীয় বিচ্যুতি ৬।

ঘ

উদ্দীপকে উল্লেখিত উপাত্তের গড় বিচ্যুতি নির্ণয় কর।

উত্তর

নিম্নের ছকে অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে গড় বিচ্যুতি নির্ণয়ের পদ্ধতি দেখানো হলো: গড়, $\bar{X}=\frac{\Sigma \mathbf{X}}{N}=\frac{২৫৬}{৪৬}=১৬$ $\therefore$ গড় বিচ্যুতি = $\frac{\Sigma[X-\bar{X}]}{N}=\frac{১১০}{১৬}=৬.৮৮$ $\therefore$ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি ৬.৮৮।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৈবচয়ন প্রক্রিয়ায় একটি ক্লাসের ৫০ জন ছাত্রী থেকে ১৬ জন ছাত্রী একটি অভীক্ষায় অংশ নিল। তাদের প্রাপ্ত ফলাফল নিম্নরূপ: ১২, ৮, ৮, ৬, ৯, ২০, ২৫, ২৮, ২৬, ৩০, ১০, ৭, ২০, ১৪, ১৫, ১৮।

ক

পরিসরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো বণ্টনের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও বৃহত্তম সংখ্যার ব্যবধান বা পার্থক্যকে উক্ত বণ্টনের পরিসর বলে।

খ

সংক্ষিপ্ত নিয়মে বিন্যস্ত উপাত্তের আদর্শ বিচ্যুতির সূত্রটি উল্লেখ কর।

উত্তর

সংক্ষিপ্ত নিয়মে বিন্যস্ত উপাত্তের আদর্শ বিচ্যুতির সূত্রটি নিচে উল্লেখ করা হলো- আদর্শ বিচ্যুতি, $\sigma=i \sqrt{\frac{\Sigma \mathrm{fd}^2}{N}-\left(\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{N}\right)^2}$ এখানে, a = আদর্শ বিচ্যুতি $\Sigma$ = যোগফল f = পৌনঃপুন্য N = পৌনঃপুন্যের সমষ্টি i = শ্রেণি ব্যবধান d = বিচ্যুতি = $\frac{X-A M}{i}$ AM = আনুমানিক গড়। $\left(\frac{N}{2}\right)$ ক্রমবর্ধিষ্ণু পৌনঃপুন্যের যে অংকের মধ্যে পড়ে, সেই অংকটি যে শ্রেণিতে আছে সেই শ্রেণির মধ্যবিন্দু হলো আনুমানিক গড়।

গ

উদ্দীপকে উল্লেখিত উপাত্তের চতুর্থাংশীয় বিচ্যুতি নির্ণয় কর।

উত্তর

নিম্নের ছকে অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে চতুর্থাংশীয় বিচ্যুতি নির্ণয়ের পদ্ধতি দেখানো হলো- আমরা জানি, $Q=\frac{Q_৩-Q_১}{২}$ এখানে, Q = চতুর্থাংশীয় বিচ্যুতি Q১ = প্রথম চতুর্থক Q৩ = তৃতীয় চতুর্থক আবার, Q১ = $\frac{N}{৪}$ তম সংখ্যা = $\frac{১৬}{৪}$ তম সংখ্যা = ৪ তম সংখ্যা এখানে, চতুর্থ সংখ্যা = ৮ $\therefore$ Q১ = ৮ আবার, Q৩ = $\frac{৩N}{৪}$ তম সংখ্যা = $\frac{৩ \times ১ ৬}{৪}$ তম সংখ্যা = ১২ তম সংখ্যা এখানে, ১২ তম সংখ্যা = ২০ $\therefore$ Q৩ = ২০ $\therefore$ $Q=\frac{Q_৩-Q_১}{২}= \frac{২০-৮}{২}=\frac{১২}{২}=৬$ $\therefore$ নির্ণেয় চতুর্থাংশীয় বিচ্যুতি ৬।

ঘ

উদ্দীপকে উল্লেখিত উপাত্তের গড় বিচ্যুতি নির্ণয় কর।

উত্তর

নিম্নের ছকে অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে গড় বিচ্যুতি নির্ণয়ের পদ্ধতি দেখানো হলো: গড়, $\bar{X}=\frac{\Sigma \mathbf{X}}{N}=\frac{২৫৬}{৪৬}=১৬$ $\therefore$ গড় বিচ্যুতি = $\frac{\Sigma[X-\bar{X}]}{N}=\frac{১১০}{১৬}=৬.৮৮$ $\therefore$ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি ৬.৮৮।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

নীলিমা পাঁচ বিষয়ে পরীক্ষা দিয়েছে। প্রতিটি বিষয়ের নম্বর ১৫। সে বাংলায় ৮, পরিসংখ্যানে ১০, ইতিহাসে ৭, ইংরেজিতে ৬ এবং কম্পিউটারে ৯ পেয়েছে। সে আরও ভালো ফলাফল আশা করেছিল।

ক

বিস্তারমানের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো বণ্টনের সাফল্যাঙ্কসমূহের বিচ্যুতির বর্গের গড়কে বিস্তারমান বলে।

খ

গড় বিচ্যুতির বিন্যস্ত উপাত্তের সূত্রটি বর্ণনা কর।

উত্তর

গড় বিচ্যুতির বিন্যস্ত উপাত্তের সূত্রটি নিচে বর্ণনা করা হলো: গড় বিচ্যুতি, $M D=\frac{\Sigma f \mid X-\bar{X}]}{N}$ এখানে, MD = গড় বিচ্যুতি $\Sigma$= যোগফन f= পৌনঃপুন্য N= পৌনঃপুন্যের সমট্টি X= সাফল্যাঙ্ক X=গড়=$\frac{\Sigma \mathrm{f} \mathrm{X}}{\mathrm{~N}}$ $|X-\bar{X}|=$ বীজগাণিতিক চিহ্ন বর্জন সাপেক্ষে সাফল্যাঙ্ক থেকে গড়- এর বিচ্যুতি।

গ

নীলিমার প্রাপ্ত নম্বরগুলোর বিস্তারমান নির্ণয় কর।

উত্তর

বিস্তার মান নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি: এখানে, N = ৫ $\therefore$ গড়, $\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{৪০}{৫}=৮$ $\therefore$ বিস্তার মান, $\sigma^2=\frac{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^2}{\mathrm{~N}}=\frac{\text{ ১o }}{\mathrm{৫}}=২$ $\therefore$ নীলিমার প্রাপ্ত নম্বরগুলোর বিস্তার মান ২।

ঘ

উদ্দীপকে উপাত্তগুলোর আদর্শ বিচ্যুতি ও বিস্তারমান কি এক? এ ব্যাপারে তোমার মতামত বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

'গ' হতে প্রাপ্ত, বিস্তার মান $\sigma^2=২$ আবার, $\Sigma(X-\bar{X})^2=১০ \& N=৫$ $\therefore$ আদর্শ বিচ্যুতি, $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma(X-\bar{X})^2}{N}}=\sqrt{\frac{১০}{৫}}=\sqrt{২}=১.৪১৪$ $\therefore$ $\sigma \neq \sigma^2$ $\therefore$ উদ্দীপকের উপাত্তগুলোর আদর্শ বিচ্যুতি ও বিস্তার মান এক নয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

নীলিমা পাঁচ বিষয়ে পরীক্ষা দিয়েছে। প্রতিটি বিষয়ের নম্বর ১৫। সে বাংলায় ৮, পরিসংখ্যানে ১০, ইতিহাসে ৭, ইংরেজিতে ৬ এবং কম্পিউটারে ৯ পেয়েছে। সে আরও ভালো ফলাফল আশা করেছিল।

ক

বিস্তারমানের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো বণ্টনের সাফল্যাঙ্কসমূহের বিচ্যুতির বর্গের গড়কে বিস্তারমান বলে।

খ

গড় বিচ্যুতির বিন্যস্ত উপাত্তের সূত্রটি বর্ণনা কর।

উত্তর

গড় বিচ্যুতির বিন্যস্ত উপাত্তের সূত্রটি নিচে বর্ণনা করা হলো: গড় বিচ্যুতি, $M D=\frac{\Sigma f \mid X-\bar{X}]}{N}$ এখানে, MD = গড় বিচ্যুতি $\Sigma$= যোগফन f= পৌনঃপুন্য N= পৌনঃপুন্যের সমট্টি X= সাফল্যাঙ্ক X=গড়=$\frac{\Sigma \mathrm{f} \mathrm{X}}{\mathrm{~N}}$ $|X-\bar{X}|=$ বীজগাণিতিক চিহ্ন বর্জন সাপেক্ষে সাফল্যাঙ্ক থেকে গড়- এর বিচ্যুতি।

গ

নীলিমার প্রাপ্ত নম্বরগুলোর বিস্তারমান নির্ণয় কর।

উত্তর

বিস্তার মান নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় সারণি: এখানে, N = ৫ $\therefore$ গড়, $\bar{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{৪০}{৫}=৮$ $\therefore$ বিস্তার মান, $\sigma^2=\frac{\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})^2}{\mathrm{~N}}=\frac{\text{ ১o }}{\mathrm{৫}}=২$ $\therefore$ নীলিমার প্রাপ্ত নম্বরগুলোর বিস্তার মান ২।

ঘ

উদ্দীপকে উপাত্তগুলোর আদর্শ বিচ্যুতি ও বিস্তারমান কি এক? এ ব্যাপারে তোমার মতামত বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

'গ' হতে প্রাপ্ত, বিস্তার মান $\sigma^2=২$ আবার, $\Sigma(X-\bar{X})^2=১০ \& N=৫$ $\therefore$ আদর্শ বিচ্যুতি, $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma(X-\bar{X})^2}{N}}=\sqrt{\frac{১০}{৫}}=\sqrt{২}=১.৪১৪$ $\therefore$ $\sigma \neq \sigma^2$ $\therefore$ উদ্দীপকের উপাত্তগুলোর আদর্শ বিচ্যুতি ও বিস্তার মান এক নয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি ক্লাসে ১০০ জন ছাত্র আছে। ৩৫ নম্বরের ক্লাস টেস্ট হয়েছে। দৈবচয়ন প্রক্রিয়ায় ১০ জন ছাত্র বাছাই করা হলো। তাদের ক্লাস টেস্টের ফলাফল নিম্নরূপ: ১৪, ১০, ১৫, ১৯, ২৯, ২৫, ৯, ২৪, ৫, ২০।

ক

আদর্শ বিচ্যুতির সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

আদর্শ বিচ্যুতি হলো বিচ্যুতির গড়ের বর্গমূল। অর্থাৎ কোনো সাফল্যাঙ্কের বিচ্যুতি বের করে তারপর গড় করে তার বর্গমূল করলেই আদর্শ বিচ্যুতি পাওয়া যায়।

খ

কোন বণ্টনের সাফল্যাংকসমূহের বিচ্যুতির বর্গের গড়কে কেন বিস্তারমান বলা হয়?

উত্তর

যকোনো বণ্টনের সাফল্যাংকসমূহের বিচ্যুতির বর্গের গড়কে বিস্তারমান বলার কারণ উল্লেখ করা হলো- ১. সাফল্যাঙ্কসমূহ যোগ করে তার গড় বের করতে হবে। ২. প্রত্যেকটি সাফল্যাঙ্ক থেকে গড় বিয়োগ করে বিচ্যুতি বের করতে হবে। ৩. এই বিয়োগফলগুলোর (বিচ্যুতির) বর্গ করতে হবে। ৪. উক্ত বর্গগুলো যোগ করে মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে তার বিস্তারমান বের করতে হবে। একারণেই কোনো বণ্টনের সাফল্যাঙ্কসমূহের বিচ্যুতির বর্গের গড়কে বিস্তারমান বলা হয়।

গ

উদ্দীপকের তথ্যগুলোর আলোকে গড় বিচ্যুতি নির্ণয় কর।

উত্তর

ক্লাস টেস্টের ১০ জন ছাত্রের ফলাফল: ১৪, ১০, ১৫, ১৯, ২৯, ২৫, ৯, ২৪, ৫, ২০। গড় বিচ্যুতি নির্ণয়ের সারণি: এখানে, $\Sigma \mathrm{x}=$ ১৭০ N= ১০ এখানে, $\begin{aligned} & \sum|x-\bar{x}|=৬৪ \\ & \hat{N}=১০ \mathrm{}\end{aligned}$ আমরা জানি, $\bar{x}=\frac{\sum x}{N}=\frac{১৭০}{১০}=১৭$ গড় বিচ্যুতি, $\begin{aligned} \mathrm{MD} & =\frac{\sum|x-\bar{x}|}{N} \\ & =\frac{৬৪}{১০}=৬ .8\end{aligned}$ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি ৬.৪।

ঘ

উদ্দীপকের তথ্যগুলোর আলোকে আদর্শ বিচ্যুতি পরিমাপ কর।

উত্তর

আদর্শ বিচ্যুতি নির্ণয়ের সারণি: আমরা জানি, $\bar{x}=\frac{\sum x}{N}=\frac{১৭০}{১০}=১৭$ আদর্শ বিচ্যুতি, $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma(x-\bar{x})^2}{N}}=\sqrt{\frac{৫৪০}{৩০}}=\sqrt{৫৪}=৭.৩৫ (প্রায়)$ নির্ণেয় আদর্শ বিচ্যুতি ৭.৩৫ (প্রায়)।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি ক্লাসে ১০০ জন ছাত্র আছে। ৩৫ নম্বরের ক্লাস টেস্ট হয়েছে। দৈবচয়ন প্রক্রিয়ায় ১০ জন ছাত্র বাছাই করা হলো। তাদের ক্লাস টেস্টের ফলাফল নিম্নরূপ: ১৪, ১০, ১৫, ১৯, ২৯, ২৫, ৯, ২৪, ৫, ২০।

ক

আদর্শ বিচ্যুতির সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

আদর্শ বিচ্যুতি হলো বিচ্যুতির গড়ের বর্গমূল। অর্থাৎ কোনো সাফল্যাঙ্কের বিচ্যুতি বের করে তারপর গড় করে তার বর্গমূল করলেই আদর্শ বিচ্যুতি পাওয়া যায়।

খ

কোন বণ্টনের সাফল্যাংকসমূহের বিচ্যুতির বর্গের গড়কে কেন বিস্তারমান বলা হয়?

উত্তর

যকোনো বণ্টনের সাফল্যাংকসমূহের বিচ্যুতির বর্গের গড়কে বিস্তারমান বলার কারণ উল্লেখ করা হলো- ১. সাফল্যাঙ্কসমূহ যোগ করে তার গড় বের করতে হবে। ২. প্রত্যেকটি সাফল্যাঙ্ক থেকে গড় বিয়োগ করে বিচ্যুতি বের করতে হবে। ৩. এই বিয়োগফলগুলোর (বিচ্যুতির) বর্গ করতে হবে। ৪. উক্ত বর্গগুলো যোগ করে মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে তার বিস্তারমান বের করতে হবে। একারণেই কোনো বণ্টনের সাফল্যাঙ্কসমূহের বিচ্যুতির বর্গের গড়কে বিস্তারমান বলা হয়।

গ

উদ্দীপকের তথ্যগুলোর আলোকে গড় বিচ্যুতি নির্ণয় কর।

উত্তর

ক্লাস টেস্টের ১০ জন ছাত্রের ফলাফল: ১৪, ১০, ১৫, ১৯, ২৯, ২৫, ৯, ২৪, ৫, ২০। গড় বিচ্যুতি নির্ণয়ের সারণি: এখানে, $\Sigma \mathrm{x}=$ ১৭০ N= ১০ এখানে, $\begin{aligned} & \sum|x-\bar{x}|=৬৪ \\ & \hat{N}=১০ \mathrm{}\end{aligned}$ আমরা জানি, $\bar{x}=\frac{\sum x}{N}=\frac{১৭০}{১০}=১৭$ গড় বিচ্যুতি, $\begin{aligned} \mathrm{MD} & =\frac{\sum|x-\bar{x}|}{N} \\ & =\frac{৬৪}{১০}=৬ .8\end{aligned}$ নির্ণেয় গড় বিচ্যুতি ৬.৪।

ঘ

উদ্দীপকের তথ্যগুলোর আলোকে আদর্শ বিচ্যুতি পরিমাপ কর।

উত্তর

আদর্শ বিচ্যুতি নির্ণয়ের সারণি: আমরা জানি, $\bar{x}=\frac{\sum x}{N}=\frac{১৭০}{১০}=১৭$ আদর্শ বিচ্যুতি, $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma(x-\bar{x})^2}{N}}=\sqrt{\frac{৫৪০}{৩০}}=\sqrt{৫৪}=৭.৩৫ (প্রায়)$ নির্ণেয় আদর্শ বিচ্যুতি ৭.৩৫ (প্রায়)।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো