উপবৃত্তের বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে x ও y অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ কী হবে, যার ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 8 একক এবং নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 18 একক?

Question

Accepted Answer

প্রদত্ত: - বৃহৎ অক্ষ = $x$-অক্ষ বরাবর, ক্ষুদ্র অক্ষ = $y$-অক্ষ বরাবর - ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 8$ একক - নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 18$ একক --- ধাপ ১: ফোকাস থেকে $a, b, c$ সম্পর্ক উপবৃত্তের সমীকরণ: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ যেখানে $a > b > 0$, বৃহৎ অক্ষ = $2a$, ক্ষুদ্র অক্ষ = $2b$। ফোকাসদ্বয় $(\pm c, 0)$, এবং $c^2 = a^2 - b^2$। ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 2c = 8 \implies c = 4$। --- ধাপ ২: নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ: $x = \pm \frac{a}{e}$, যেখানে উৎকেন্দ্রতা $e = \frac{c}{a}$। নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 2\cdot \frac{a}{e} = 18$ $$\frac{a}{e} = 9$$ $$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{a} \implies \frac{a}{4/a} = \frac{a^2}{4} = 9$$ $$a^2 = 36 \implies a = 6$$ $$e = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ --- ধাপ ৩: $b^2$ নির্ণয় $$c^2 = a^2 - b^2 \implies 16 = 36 - b^2 \implies b^2 = 20$$ --- ধাপ ৪: উপবৃত্তের সমীকরণ $$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$$ $$\implies 5x^2 + 9y^2 = 180$$ --- উত্তর: $$\boxed{5x^2 + 9y^2 = 180}$$

Admission RU C প্রশ্নব্যাংক MCQ — উপবৃত্তের বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে x ও y অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির স

আরো প্রশ্ন দেখো