Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

MN এর উপরস্থ কোনো বিন্দু Q হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।

উত্তর: মনে করি, সমদ্বিবাহু সমকোণী [গণিত] LMN-এর LM = [গণিত] এবং অতিভুজ MN। Q, MN এর উপর যেকোনো বিন্দু। Q, L যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] । [চিত্র] অঙ্কন: Q বিন্দু থেকে LM এবং [গণিত] বাহুর ওপর যথাক্রমে QE এবং QD লম্ব টানি। প্রমাণ: ধাপ-১. [গণিত] LMN-এর, [গণিত] L = 90° এবং [গণিত] M = [গণিত] N = 45° [ [গণিত] = LM] এখন, [গণিত] QDN-এর, [গণিত] D = 90° [ [গণিত] QD [গণিত] ] সুতরাং, [গণিত] DQN = [গণিত] DNQ = 45° [গণিত] ND = QD অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, QME সমকোণী ত্রিভুজে, QE = ME ধাপ-২. QDN সমকোণী ত্রিভুজে QN অতিভুজ হওয়ায় [গণিত] [ [গণিত] QD = ND] [গণিত] ... ... ... (i) ধাপ-৩. QME সমকোণী ত্রিভুজে QM অতিভুজ হওয়ায়, [গণিত] [ [গণিত] ME = QE] [গণিত] ... ... ... (ii) ধাপ-৪. (i) এবং (ii) নং যোগ করে পাই, [গণিত] আবার, LDQE একটি আয়ত। [ [গণিত] E = [গণিত] L = [গণিত] D = এক সমকোণ] [গণিত] QE = LD [ [গণিত] আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান] [গণিত] ... ... ... (iii) ধাপ-৫. LDQ সমকোণী ত্রিভুজে QL অতিভুজ হওয়ায়, [গণিত] [পিথাগোরাসের উপপাদ্য] ধাপ-৬. (iii) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC সাধারণ গণিত Chapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · সাধারণ গণিত · Chapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus) · সৃজনশীল

MN এর উপরস্থ কোনো বিন্দু Q হলে প্রমাণ কর যে, ।

উদ্দীপক

MLN সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠L\angle \mathrm{L} সমকোণ।

Jessore · 2019

উত্তর

প্রশ্নমতে, 4x°+2x°=90°4\mathrm{x}° + 2\mathrm{x}° = 90° বা, 6x°=90°6\mathrm{x}° = 90° বা, x°=15°\mathrm{x}° = 15° ∴\therefore ক্ষুদ্রতম কোণ =2x°=2×15°=30°= 2\mathrm{x}° = 2 \times 15° = 30° (Ans.)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCA B C সমকোণী ত্রিভুজের ∠ACB\angle A C B সমকোণ এবং ABA B অতিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2=BC2+AC2A B^2=B C^2+A C^2 । অঙ্কন: AB,ACA B, A C এবং BCB C বাহুর উপর যথাক্রমে ABED,ACGFA B E D, A C G F এবং BCHKB C H K বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করি। CC বিন্দু দিয়ে ADA D বা BEB E রেখার সমান্তরাল CLC L রেখা আঁকি। মনে করি, তা ABA B কে MM বিন্দুতে এবং DED E কে LL বিন্দুতে ছেদ করে। CC ও DD এবং BB ও FF যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ ১. △CAD\triangle C A D ও △BAF\triangle B A F তে CA=AF,AD=ABC A=A F, A D=A B এবং অন্তর্ভুক্ত ∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAF=\angle C A D=\angle C A B+\angle B A D=\angle C A B+\angle C A F= অন্তর্ভুক্ত ∠BAF\angle B A F [∠BAD=∠CAF=1[\angle B A D=\angle C A F=1 সমকোণ] অতএব, △CAD≅△BAF\triangle C A D \cong \triangle B A F ধাপ ২. △CAD\triangle C A D এবং আয়তক্ষেত্র ADLMA D L M একই ভূমি ADA D এর উপর এবং ADA D ও CLC L সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং আয়তক্ষেত্র ADLM=2△CADA D L M=2 \triangle C A D ধাপ ৩. △BAF\triangle B A F এবং বর্গক্ষেত্র ACGFA C G F একই ভূমি AFA F এর উপর এবং AFA F ও BGB G সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং বর্গক্ষেত্র ACGF=2△FAB=2△CADA C G F=2 \triangle F A B=2 \triangle C A D ধাপ ৪. আয়তক্ষেত্র ADLM=A D L M= বর্গক্ষেত্র ACGFA C G F ধাপ ৫. অনুরূপভাবে C,EC, E ও A,KA, K যোগ করে প্রমাণ করা যায় যে, আয়তক্ষেত্র BELM=B E L M= বর্গক্ষেত্র BCHKB C H K ধাপ ৬. আয়তক্ষেত্র (ADLM+BELM)=(A D L M+B E L M)= বর্গক্ষেত্র ACGF+A C G F+ বর্গক্ষেত্র BCHKB C H K বা, বর্গক্ষেত্র ABED=A B E D= বর্গক্ষেত্র ACGF+A C G F+ বর্গক্ষেত্র BCHKB C H K অর্থাৎ, AB2=BC2+AC2A B^2=B C^2+A C^2 (প্রমাণিত) বি.দ্র. সৃজনশীল প্রশ্ন অনুরূপ।

উত্তর

মনে করি, সমদ্বিবাহু সমকোণী △\triangleLMN-এর LM=ln⁡M = \ln এবং অতিভুজ MN। Q, MN এর উপর যেকোনো বিন্দু। Q, L যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, 12(QM2+QN2)=QL2\dfrac{1}{2}(\mathrm{QM}^2 + \mathrm{QN}^2) = \mathrm{QL}^2। question image অঙ্কন: Q বিন্দু থেকে LM এবং ln⁡\ln বাহুর ওপর যথাক্রমে QE এবং QD লম্ব টানি। প্রমাণ: ধাপ-১. △\triangleLMN-এর, ∠\angleL = 90° এবং ∠\angleM = ∠\angleN = 45° [∵\because ln⁡=\ln = LM] এখন, △\triangleQDN-এর, ∠\angleD = 90° [∵\because QD ⊥\perp ln⁡]\ln] সুতরাং, ∠\angleDQN = ∠\angleDNQ = 45° ∴\therefore ND = QD অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, QME সমকোণী ত্রিভুজে, QE = ME ধাপ-২. QDN সমকোণী ত্রিভুজে QN অতিভুজ হওয়ায় QN2=QD2+ND2=QD2+QD2\mathrm{QN}^2 = \mathrm{QD}^2 + \mathrm{ND}^2 = \mathrm{QD}^2 + \mathrm{QD}^2 [∵\because QD = ND] ∴QN2=2QD2\therefore \mathrm{QN}^2 = 2\mathrm{QD}^2 ... ... ... (i) ধাপ-৩. QME সমকোণী ত্রিভুজে QM অতিভুজ হওয়ায়, QM2=ME2+QE2=QE2+QE2\mathrm{QM}^2 = \mathrm{ME}^2 + \mathrm{QE}^2 = \mathrm{QE}^2 + \mathrm{QE}^2 [∵\because ME = QE] ∴QM2=2QE2\therefore \mathrm{QM}^2 = 2\mathrm{QE}^2 ... ... ... (ii) ধাপ-৪. (i) এবং (ii) নং যোগ করে পাই, QN2+QM2=2QD2+2QE2=2(QD2+QE2)\mathrm{QN}^2 + \mathrm{QM}^2 = 2\mathrm{QD}^2 + 2\mathrm{QE}^2 = 2(\mathrm{QD}^2 + \mathrm{QE}^2) আবার, LDQE একটি আয়ত। [∠\angleE = ∠\angleL = ∠\angleD = এক সমকোণ] ∴\therefore QE = LD [∵\because আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান] ∴QN2+QM2=2(QD2+LD2)\therefore \mathrm{QN}^2 + \mathrm{QM}^2 = 2(\mathrm{QD}^2 + \mathrm{LD}^2) ... ... ... (iii) ধাপ-৫. LDQ সমকোণী ত্রিভুজে QL অতিভুজ হওয়ায়, QL2=QD2+LD2\mathrm{QL}^2 = \mathrm{QD}^2 + \mathrm{LD}^2 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য] ধাপ-৬. (iii) নং হতে পাই, QN2+QM2=2QL2\mathrm{QN}^2 + \mathrm{QM}^2 = 2\mathrm{QL}^2 বা, 12(QM2+QN2)=QL2\dfrac{1}{2}(\mathrm{QM}^2 + \mathrm{QN}^2) = \mathrm{QL}^2 (প্রমাণিত)
SSCসাধারণ গণিতChapter 15 : ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC এর ∠C\angle\mathrm{C} সূক্ষ্মকোণ। AD, BC এর ওপর লম্ব। দেখাও যে, AB2=AC2+BC2−2BC⋅CD\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2 - 2\mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}

△ABC এর ∠C\angle\mathrm{C} সূক্ষ্মকোণ। AD, BC এর ওপর লম্ব। দেখাও যে, AB2=AC2+BC2−2BC⋅CD\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2 - 2\mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC এর ∠C\angle\mathrm{C} স্থূলকোণ; AD, BC এর ওপর লম্ব। দেখাও যে, AB2=AC2+BC2+2BC⋅CD\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2 + 2\mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}

△ABC এর ∠C\angle\mathrm{C} স্থূলকোণ; AD, BC এর ওপর লম্ব। দেখাও যে, AB2=AC2+BC2+2BC⋅CD\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2 + 2\mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ABC ত্রিভুজের ∠A\angle\mathrm{A} = এক সমকোণ। D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, BC2+AD2=BD2+AC2\mathrm{BC}^2 + \mathrm{AD}^2 = \mathrm{BD}^2 + \mathrm{AC}^2.

ABC ত্রিভুজের ∠A\angle\mathrm{A} = এক সমকোণ। D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, BC2+AD2=BD2+AC2\mathrm{BC}^2 + \mathrm{AD}^2 = \mathrm{BD}^2 + \mathrm{AC}^2.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD সামন্তরিকের AB = 5 সে.মি., AD = 4 সে.মি. এবং ∠BAD = 75°। অপর একটি সামন্তরিক APML এর ∠LAP = 60°। △AED এর ক্ষেত্রফল ও APML সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল, ABCD সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান।
ক
পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।
খ
△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]
গ
APML সামন্তরিকটি অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।

পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PQ>PR\mathrm{PQ} > \mathrm{PR} এবং S,QR\mathrm{S, QR} এর মধ্যবিন্দু।

Barisal · 2016

ক
পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, ∠PSQ\angle\mathrm{PSQ} স্থূলকোণ।
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2+PR2=2(PS2+QS2)\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{PR}^2 = 2(\mathrm{PS}^2 + \mathrm{QS}^2)।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, ∠PSQ\angle\mathrm{PSQ} স্থূলকোণ।

প্রমাণ কর যে, ∠PSQ\angle\mathrm{PSQ} স্থূলকোণ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।

পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। যেখানে ∠B=\angle B = এক সমকোণ।

Chittagong · 2016

ক
উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।
গ
ABCABC ত্রিভুজে AB=BCAB = BC এবং PP অতিভুজ ACAC এর উপরস্থ যে কোনো বিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, PA2+PC2=2PB2\mathrm{PA}^2 + \mathrm{PC}^2 = 2\mathrm{PB}^2 ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।

প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।

উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

△ABC এর [গণিত] সূক্ষ্মকোণ। AD, BC এর ওপর লম্ব। দেখাও যে, [গণিত]△ABC এর [গণিত] স্থূলকোণ; AD, BC এর ওপর লম্ব। দেখাও যে, [গণিত]ABC ত্রিভুজের [গণিত] = এক সমকোণ। D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, [গণিAPML সামন্তরিকটি অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]△AED অঙ্কন কর। [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রমাণ কর যে, [গণিত] স্থূলকোণ।পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি লিখ।[গণিত] ত্রিভুজে [গণিত] এবং [গণিত] অতিভুজ [গণিত] এর উপরস্থ যে কোনো বিন্দু হলে, প্প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।উপরের তথ্যের আলোকে ত্রিভুজটি আঁক।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন