Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] ধরি, [গণিত] . . . . . . . . (1) (1)নং এর উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই, $y 2 [গণিত] A(y-1) [গণিত] (y 2+2 [গণিত] )+B(y+1) [গণিত] (y 2+2 [গণিত] )+(C y+D) (y+1)(y-1)$ . . . . . . . . (2) বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . . . . . . . . (3) (2) নং এ [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] B [গণিত] (3)নং এর উভয়পক্ষ হতে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, (1) নং এ A, B, C, D এর মান বসাইয়া পাই, [গণিত] এটিই হলো [গণিত] এর আংশিক ভগ্নাংশের প্রকাশিত রূপ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল

কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদ্দীপক

P(x)=18x3+15x2−x−2\mathrm{P}(\mathrm{x})=18 \mathrm{x}^3+15 \mathrm{x}^2-\mathrm{x}-2 এবং Q(y)=y4+y2−2\mathrm{Q}(\mathrm{y})=\mathrm{y}^4+\mathrm{y}^2-2

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=18x3+15x2−x−2\mathrm{P}(\mathrm{x})=18 \mathrm{x}^3+15 \mathrm{x}^2-\mathrm{x}-2 এখন, (3x+2),P(x)(3 \mathrm{x}+2), \mathrm{P}(\mathrm{x}) এর উৎপাদক হলে, P(−23)=0\mathrm{P}\left(-\frac{2}{3}\right)=0 হবে। ∴P(−23)=18(−23)3+15(−23)2−(−23)−2=18(−827)+15×49+23−2=−163+203+23−2=−16+20+2−63=03=0\begin{aligned} \therefore P\left(\frac{-2}{3}\right) & =18\left(\frac{-2}{3}\right)^3+15\left(\frac{-2}{3}\right)^2-\left(\frac{-2}{3}\right)-2 \\ & =18\left(\frac{-8}{27}\right)+15 \times \frac{4}{9}+\frac{2}{3}-2 \\ & =-\frac{16}{3}+\frac{20}{3}+\frac{2}{3}-2=\frac{-16+20+2-6}{3}=\frac{0}{3}=0\end{aligned} ∴(3x+2),P(x)\therefore(3 \mathrm{x}+2), \mathrm{P}(\mathrm{x}) এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=18x3+15x2−x−2\mathrm{P}(\mathrm{x})=18 \mathrm{x}^3+15 \mathrm{x}^2-\mathrm{x}-2 P(x) কে ( 2x+a2 x+a ) দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ, P(−a2)=18(−a2)3−15(−a2)2−(−a2)−2=−18a38+15a24+a2−2=−9a34+15a24+a2−2=−9a3+15a2+2a−84\begin{aligned} P\left(\frac{-a}{2}\right) & =18\left(\frac{-a}{2}\right)^3-15\left(\frac{-a}{2}\right)^2-\left(-\frac{a}{2}\right)-2 \\ & =-\frac{18 a^3}{8}+\frac{15 a^2}{4}+\frac{a}{2}-2 \\ & =-\frac{9 a^3}{4}+\frac{15 a^2}{4}+\frac{a}{2}-2=\frac{-9 a^3+15 a^2+2 a-8}{4}\end{aligned} P(x) কে (2x + b) দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ, P(−b2)=18(−b8)3+15(−b2)2−(−b2)−2=−18b38+15b24+b2−2=−9b34+15b24+b2−2=−9b3+15b2+2b−84\begin{aligned} P\left(\frac{-b}{2}\right) & =18\left(\frac{-b}{8}\right)^3+15\left(\frac{-b}{2}\right)^2-\left(\frac{-b}{2}\right)-2 \\ & =-\frac{18 b^3}{8}+\frac{15 b^2}{4}+\frac{b}{2}-2 \\ & =\frac{-9 b^3}{4}+\frac{15 b^2}{4}+\frac{b}{2}-2=\frac{-9 b^3+15 b^2+2 b-8}{4}\end{aligned} শর্তমতে, P(−a2)=P(−b2)\mathrm{P}\left(\frac{-\mathrm{a}}{2}\right)=\mathrm{P}\left(\frac{-\mathrm{b}}{2}\right) বা, −9a3+15a2+2a−84=−9b3+15b2+2b−84\frac{-9 a^3+15 a^2+2 a-8}{4}=\frac{-9 b^3+15 b^2+2 b-8}{4} বা, −9a3+15a2+2a−8=−9b3+15b2+2b−8-9 a^3+15 a^2+2 a-8=-9 b^3+15 b^2+2 b-8 বা, 9a3−9b3−15a2+15b2−2a+2b+8−8=0\quad 9 a^3-9 b^3-15 a^2+15 b^2-2 a+2 b+8-8=0 বা, 9(a3−b3)−15(a2−b2)−2(a−b)=09\left(a^3-b^3\right)-15\left(a^2-b^2\right)-2(a-b)=0 বা, 9(a−b)(a2+ab+b2)−15(a+b)(a−b)−2(a−b)=09(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)-15(a+b)(a-b)-2(a-b)=0 বা, (a−b)(9a2+9ab+9b2−15a−15b−2)=0(a-b)\left(9 a^2+9 a b+9 b^2-15 a-15 b-2\right)=0 ∴a−b=0\therefore \quad \mathrm{a}-\mathrm{b}=0 বা, a=b\mathrm{a}=\mathrm{b} যা অগ্রহণযোগ্য, কেননা a≠ba \neq b অথবা, 9a2+9ab+9b2−15(a+b)−2=09 a^2+9 a b+9 b^2-15(a+b)-2=0 ∴9a2+9b2+9ab=15(a+b)+2\therefore 9 a^2+9 b^2+9 a b=15(a+b)+2 । (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, Q(y)=y4+y2−2\mathrm{Q}(\mathrm{y})=\mathrm{y}^4+\mathrm{y}^2-2 এখন, y2Q(y)=y2y4+y2−2=y2y4+y3−y3−y2+2y2+2y−2y−2\frac{y^2}{Q(y)}=\frac{y^2}{y^4+y^2-2}=\frac{y^2}{y^4+y^3-y^3-y^2+2 y^2+2 y-2 y-2} =\frac{y^2}{y^3(y+1}-y^2(y+1)+2 y(y+1)-2(y+1)} =\frac{y^2}{(y+1}\left(y^3-y^2+2 y-2\right)} =\frac{y^2}{(y+1}\left\{y^2(y-1)+2(y-1)\right\}} =\frac{y^2}{(y+1}(y-1)\left(y^2+2\right)} ধরি, \frac{y^2}{(y+1}(y-1)\left(y^2+2\right)} \equiv \frac{A}{y+1}+\frac{B}{y-1}+\frac{C y+D}{y^2+2} . . . . . . . . (1) (1)নং এর উভয়পক্ষকে (y+1)(y−1)(y2+2)(\mathrm{y}+1)(\mathrm{y}-1)\left(\mathrm{y}^2+2\right) দ্বারা গুণ করে পাই, $
y2≡A(y−1)(y2+2)+B(y+1)(y2+2)+(Cy+D)(y+1)(y−1)y^2 \equiv A(y-1)\left(y^2+2\right)+B(y+1)\left(y^2+2\right)+(C y+D) \\ (y+1)(y-1)
$ . . . . . . . . (2) বা, y2≡A(y3−y2+2y−2)+B(y3+y2+2y+2)+(Cy+D)(y2−1)y^2 \equiv A\left(y^3-y^2+2 y-2\right)+B\left(y^3+y^2+2 y+2\right)+(C y+D)\left(y^2-1\right) বা, y2≡Ay3−Ay2+2Ay−2A+By3+By2+2By+2B+Cy3+Dy2−Cy−D\begin{aligned} & y^2 \equiv A y^3-A y^2+2 A y-2 A+B y^3+ B y^2+2 B y+2 B \\ &+C y^3+D y^2-C y-D\end{aligned} বা, y2≡y3(A+B+C)+y2(−A+B+D)+y(2A+2B−C)+(−2A+2B−D)\begin{aligned} y^2 \equiv y^3 & (A+B+C)+y^2(-A+B+D) \\ & +y(2 A+2 B-C)+(-2 A+2 B-D)\end{aligned} . . . . . . . . (3) (2) নং এ y=1\mathrm{y}=1 বসিয়ে পাই, (−1)2=A(−1−1){(−1)2+2}+B(−1+1){(−1)2+2}+{C(−1)+D}(−1+1)(−1−1)\begin{array}{r}(-1)^2=A(-1-1)\left\{(-1)^2+2\right\}+B(-1+1)\left\{(-1)^2+2\right\} \\ +\{C(-1)+D\}(-1+1)(-1-1)\end{array} বা, 1=2×3 B1=2 \times 3 \mathrm{~B} বা, 1=61=6 B ∴B=16\therefore \quad B=\frac{1}{6} (3)নং এর উভয়পক্ষ হতে y3\mathrm{y}^3 ও y2\mathrm{y}^2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A+B+C=0A+B+C=0 বা, −16+16+C=0-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+C=0 ∴C=0\therefore \quad \mathbf{C}=\mathbf{0} আবার, 1=−A+B+D1=-\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{D} বা, 1=−(−16)+16+D1=-\left(\frac{-1}{6}\right)+\frac{1}{6}+D বা, D+16+16=1D+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1 বা, D=1−16−16\mathrm{D}=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6} বা, D=6−1−16=46=23D=\frac{6-1-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} এখন, (1) নং এ A, B, C, D এর মান বসাইয়া পাই, \begin{aligned} \frac{y^2}{(y+1}(y-1)\left(y^2+2\right)} & \equiv-\frac{1}{6(y+1)}+\frac{1}{6(y-1)}+\frac{0+\frac{2}{3}}{y^2+2} \\ & =\frac{1}{6(y-1)}-\frac{1}{6(y+1)}+\frac{2}{3\left(y^2+2\right)}\end{aligned} এটিই হলো y2Q(y)\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{Q}(\mathrm{y})} এর আংশিক ভগ্নাংশের প্রকাশিত রূপ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] রাশিটির মাত্রা কত?[গণিত] এর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।দেখাও যে, [গণিত] একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] রাশিটিকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন