Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

Q(y) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] ..(1) (1)নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই, [গণিত] ..(2) বা, [গণিত] বা, [গণিত] ..(3) (2)নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (3)নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এখন, A, B ও C এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] , যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল

Q(y) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদ্দীপক

P(x)=x3+2x2−5x−6\mathrm{P(x)} = \mathrm{x}^3 + 2\mathrm{x}^2 - 5\mathrm{x} - 6 এবং Q(y)=y3(y−1)(y2+2)\mathrm{Q(y)} = \frac{\mathrm{y}^3}{(\mathrm{y}-1)(\mathrm{y}^2+2)}.

Chittagong · 2026

উত্তর

দেওয়া আছে, F(a,b,c)=1a3+1b3+1c3−3abc\mathrm{F(a, b, c)} = \frac{1}{\mathrm{a}^3} + \frac{1}{\mathrm{b}^3} + \frac{1}{\mathrm{c}^3} - \frac{3}{\mathrm{abc}} রাশিটিতে a এর পরিবর্তে b, b এর পরিবর্তে c এবং c এর পরিবর্তে a বসিয়ে পাই, F(b,c,a)=1b3+1c3+1a3−3b.c.a=1a3+1b3+1c3−3abc=F(a,b,c)\begin{aligned} \mathrm{F(b, c, a)} &= \frac{1}{\mathrm{b}^3} + \frac{1}{\mathrm{c}^3} + \frac{1}{\mathrm{a}^3} - \frac{3}{\mathrm{b.c.a}} \\ &= \frac{1}{\mathrm{a}^3} + \frac{1}{\mathrm{b}^3} + \frac{1}{\mathrm{c}^3} - \frac{3}{\mathrm{abc}} = \mathrm{F(a, b, c)} \end{aligned} ∴\therefore এটি একটি চক্রক্রমিক রাশি। আবার, রাশিটিতে দুইটি চলক অর্থাৎ a ও b এর পরস্পর স্থান বিনিময় করে পাই, F(b,a,c)=1b3+1a3+1c3−3b.a.c\mathrm{F(b, a, c)} = \frac{1}{\mathrm{b}^3} + \frac{1}{\mathrm{a}^3} + \frac{1}{\mathrm{c}^3} - \frac{3}{\mathrm{b.a.c}} =1a3+1b3+1c3−3abc=F(a,b,c)= \frac{1}{\mathrm{a}^3} + \frac{1}{\mathrm{b}^3} + \frac{1}{\mathrm{c}^3} - \frac{3}{\mathrm{abc}} = \mathrm{F(a, b, c)} এটি একটি প্রতিসম রাশি। অর্থাৎ, F(a, b, c) বহুপদীটি চক্রক্রমিক ও প্রতিসম। (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=x3+2x2−5x−6\mathrm{P(x)} = \mathrm{x}^3 + 2\mathrm{x}^2 - 5\mathrm{x} - 6 P(x) কে (3x+m)(3\mathrm{x} + \mathrm{m}) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে, P(−m3)\mathrm{P}(-\frac{\mathrm{m}}{3}) ∴P(−m3)=(−m3)3+2(−m3)2−5(−m3)−6=−m327+2m29+5m3−6\therefore \mathrm{P}(-\frac{\mathrm{m}}{3}) = (-\frac{\mathrm{m}}{3})^3 + 2(-\frac{\mathrm{m}}{3})^2 - 5(-\frac{\mathrm{m}}{3}) - 6 = -\frac{\mathrm{m}^3}{27} + \frac{2\mathrm{m}^2}{9} + \frac{5\mathrm{m}}{3} - 6 এবং P(x) কে (3x+n)(3\mathrm{x} + \mathrm{n}) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে, P(−n3)\mathrm{P}(-\frac{\mathrm{n}}{3}) P(−n3)=(−n3)3+2(−n3)2−5(−n3)−6=−n327+2n29+5n3−6\mathrm{P}(-\frac{\mathrm{n}}{3}) = (-\frac{\mathrm{n}}{3})^3 + 2(-\frac{\mathrm{n}}{3})^2 - 5(-\frac{\mathrm{n}}{3}) - 6 = -\frac{\mathrm{n}^3}{27} + \frac{2\mathrm{n}^2}{9} + \frac{5\mathrm{n}}{3} - 6 শর্তানুসারে, P(−m3)=P(−n3)\mathrm{P}(-\frac{\mathrm{m}}{3}) = \mathrm{P}(-\frac{\mathrm{n}}{3}) বা, −m327+2m29+5m3−6=−n327+2n29+5n3−6-\frac{\mathrm{m}^3}{27} + \frac{2\mathrm{m}^2}{9} + \frac{5\mathrm{m}}{3} - 6 = -\frac{\mathrm{n}^3}{27} + \frac{2\mathrm{n}^2}{9} + \frac{5\mathrm{n}}{3} - 6 বা, m327−n327+2n29−2 m29+5n3−5 m3=0\frac{\mathrm{m}^3}{27}-\frac{\mathrm{n}^3}{27}+\frac{2 \mathrm{n}^2}{9}-\frac{2 \mathrm{~m}^2}{9}+\frac{5 \mathrm{n}}{3}-\frac{5 \mathrm{~m}}{3}=0 বা, m3−n3+6n2−6m2+45n−45m=0m^3-n^3+6 n^2-6 m^2+45 n-45 m=0 [27 দ্বারা গুণ করে] বা, (m−n)(m2+mn+n2)−6(m2−n2)−45(m−n)=0(m-n)\left(m^2+m n+n^2\right)-6\left(m^2-n^2\right)-45(m-n)=0 বা, (m−n)(m2+mn+n2)−6(m+n)(m−n)−45(m−n)=0(m-n)\left(m^2+m n+n^2\right)-6(m+n)(m-n)-45(m-n)=0 বা, (m−n)(m2+mn+n2−6m−6n−45)=0(m-n)\left(m^2+m n+n^2-6 m-6 n-45\right)=0 হয়, m−n=0m-n=0 অথবা, (m2+mn+n2−6m−6n−45)=0\left(m^2+m n+n^2-6 m-6 n-45\right)=0 যেহেতু, m≠nm \neq n সেহেতু m−n≠0m-n \neq 0 ∴m2+mn+n2−6m−6n−45=0\therefore \quad m^2+m n+n^2-6 m-6 n-45=0 সুতরাং, m2+mn+n2−6m−6n−45=0m^2+m n+n^2-6 m-6 n-45=0 (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, Q(y)=y3(y−1)(y2+2)\mathrm{Q(y)} = \frac{\mathrm{y}^3}{(\mathrm{y}-1)(\mathrm{y}^2+2)} ধরি, y3(y−1)(y2+2)=1+Ay−1+By+Cy2+2\frac{\mathrm{y}^3}{(\mathrm{y}-1)(\mathrm{y}^2+2)} = 1 + \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{y}-1} + \frac{\mathrm{By}+\mathrm{C}}{\mathrm{y}^2+2}
……..(1)(1)\ldots\ldots..(1) (1)
নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে (y−1)(y2+2)(\mathrm{y}-1)(\mathrm{y}^2+2) দ্বারা গুণ করে পাই, y3=(y−1)(y2+2)+A(y2+2)+(By+C)(y−1)\mathrm{y}^3 = (\mathrm{y}-1)(\mathrm{y}^2+2) + \mathrm{A}(\mathrm{y}^2+2) + (\mathrm{By}+\mathrm{C})(\mathrm{y}-1) ……..(2)\ldots\ldots..(2) বা, y3=y3+2y−y2−2+Ay2+2A+By2−By+Cy−C\mathrm{y}^3 = \mathrm{y}^3 + 2\mathrm{y} - \mathrm{y}^2 - 2 + \mathrm{Ay}^2 + 2\mathrm{A} + \mathrm{By}^2 - \mathrm{By} + \mathrm{Cy} - \mathrm{C} বা, y3=y3+(A+B−1)y2+(2−B+C)y+(−2+2A−C)\mathrm{y}^3 = \mathrm{y}^3 + (\mathrm{A}+\mathrm{B}-1)\mathrm{y}^2 + (2-\mathrm{B}+\mathrm{C})\mathrm{y} + (-2+2\mathrm{A}-\mathrm{C})
……..(3)(2)\ldots\ldots..(3) (2)
নং সমীকরণে y=1\mathrm{y}=1 বসিয়ে পাই, 13=(1−1)(12+2)+A(12+2)+(B⋅1+C)(1−1)1^3 = (1-1)(1^2+2) + \mathrm{A}(1^2+2) + (\mathrm{B}\cdot1+\mathrm{C})(1-1) বা, 1=0+3A+01 = 0 + 3\mathrm{A} + 0 ∴A=13\therefore \mathrm{A} = \frac{1}{3} (3)নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে y2\mathrm{y}^2 ও y\mathrm{y} এর সহগ সমীকৃত করে পাই, 0=A+B−10 = \mathrm{A}+\mathrm{B}-1 বা, B=1−A=1−13=3−13=23\mathrm{B} = 1-\mathrm{A} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3} ∴B=23\therefore \mathrm{B}=\frac{2}{3} এবং 2−B+C=02-\mathrm{B}+\mathrm{C}=0 বা, C=B−2=23−2=2−63=−43\mathrm{C} = \mathrm{B}-2 = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2-6}{3} = -\frac{4}{3} ∴C=−43\therefore \mathrm{C}=-\frac{4}{3} এখন, A, B ও C এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, \frac{y^3}{(y-1}\left(y^2+2\right)} \equiv 1+\frac{\frac{1}{3}}{y-1}+\frac{\frac{2 y}{3}-\frac{4}{3}}{y^2+2} =1+13(y−1)+2y−43(y2+2)=1+\frac{1}{3(y-1)}+\frac{2 y-4}{3\left(y^2+2\right)} ∴Q(y)=1+13(y−1)+2y−43(y2+2)\therefore \mathrm{Q(y)} = 1 + \frac{1}{3(\mathrm{y}-1)} + \frac{2\mathrm{y}-4}{3(\mathrm{y}^2+2)}, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] রাশিটির মাত্রা কত?[গণিত] এর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।দেখাও যে, [গণিত] একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] রাশিটিকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন