Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] ধরি, [গণিত] ... (1) (1)নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই, [গণিত] ... (2) বা, [গণিত] বা, [গণিত] ... (3) (2) নং সমীকরণে, [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (3)নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে [গণিত] ও ধ্রুবপদের সহগ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] (1)নং সমীকরণে [গণিত] ও [গণিত] এর মান বসিয়ে পাই, [গণিত] যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল

কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদ্দীপক

P(x)=x3+6x2+11x−6\mathrm{P}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^3 + 6\mathrm{x}^2 + 11\mathrm{x} - 6 এবং Q(x)=(x−1)(x2+1)\mathrm{Q}(\mathrm{x}) = (\mathrm{x} - 1)(\mathrm{x}^2 + 1).

Comilla · 2026

উত্তর

ধরি, F(x,y,z)=x2+y2+z2+2xyz\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) = \mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2 + 2\mathrm{xyz} রাশিটিতে দুইটি চলক অর্থাৎ x\mathrm{x} ও y\mathrm{y} এর পরস্পর স্থান বিনিময় করে পাই, F(y,x,z)=y2+x2+z2+2.y.x.z\mathrm{F}(\mathrm{y}, \mathrm{x}, \mathrm{z}) = \mathrm{y}^2 + \mathrm{x}^2 + \mathrm{z}^2 + 2. \mathrm{y}. \mathrm{x}. \mathrm{z} =x2+y2+z2+2xyz= \mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2 + 2\mathrm{xyz} =F(x,y,z)= \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) অর্থাৎ, দুইটি চলক পরস্পর স্থান বিনিময় করলেও রাশিটির কোনো পরিবর্তন হয়নি। ∴x2+y2+z2+2xyz\therefore \mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathrm{z}^2 + 2\mathrm{xyz} রাশিটি প্রতিসম। (যাচাই করা হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=x3+6x2+11x−6\mathrm{P}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^3 + 6\mathrm{x}^2 + 11\mathrm{x} - 6 P(x)\mathrm{P}(\mathrm{x}) কে (x+r)(\mathrm{x} + \mathrm{r}) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(−r)\mathrm{P}(-\mathrm{r}). ∴P(−r)=(−r)3+6(−r)2+11(−r)−6\therefore \mathrm{P}(-\mathrm{r}) = (-\mathrm{r})^3 + 6(-\mathrm{r})^2 + 11(-\mathrm{r}) - 6 =−r3+6r2−11r−6= -\mathrm{r}^3 + 6\mathrm{r}^2 - 11\mathrm{r} - 6 শর্তমতে, −r3+6r2−11r−6=−12-\mathrm{r}^3 + 6\mathrm{r}^2 - 11\mathrm{r} - 6 = -12 বা, −12+r3−6r2+11r+6=0-12 + \mathrm{r}^3 - 6\mathrm{r}^2 + 11\mathrm{r} + 6 = 0 বা, r3−6r2+11r−6=0\mathrm{r}^3 - 6\mathrm{r}^2 + 11\mathrm{r} - 6 = 0 বা, r3−r2−5r2+5r+6r−6=0\mathrm{r}^3 - \mathrm{r}^2 - 5\mathrm{r}^2 + 5\mathrm{r} + 6\mathrm{r} - 6 = 0 বা, r2(r−1)−5r(r−1)+6(r−1)=0\mathrm{r}^2(\mathrm{r}-1) - 5\mathrm{r}(\mathrm{r}-1) + 6(\mathrm{r}-1) = 0 বা, (r−1)(r2−5r+6)=0(\mathrm{r}-1)(\mathrm{r}^2 - 5\mathrm{r} + 6) = 0 বা, (r−1)(r2−3r−2r+6)=0(\mathrm{r}-1)(\mathrm{r}^2 - 3\mathrm{r} - 2\mathrm{r} + 6) = 0 বা, (r−1){r(r−3)−2(r−3)}=0(\mathrm{r}-1)\{\mathrm{r}(\mathrm{r}-3) - 2(\mathrm{r}-3)\} = 0 বা, (r−1)(r−3)(r−2)=0(\mathrm{r}-1)(\mathrm{r}-3)(\mathrm{r}-2) = 0 বা, (r−1)(r−2)(r−3)=0(\mathrm{r}-1)(\mathrm{r}-2)(\mathrm{r}-3) = 0 হয়, r−1=0\mathrm{r}-1=0 বা, r=1\mathrm{r}=1 বা, অথবা, r−2=0\mathrm{r}-2=0 r=2\mathrm{r}=2 অথবা, r−3=0\mathrm{r}-3=0 বা, r=3\mathrm{r}=3 ∴r=1,2,3\therefore \mathrm{r}= 1, 2, 3 নির্ণেয় মান : r=1,2,3\mathrm{r} = 1, 2, 3.

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=x3+6x2+11x−6\mathrm{P}(\mathrm{x}) = \mathrm{x}^3 + 6\mathrm{x}^2 + 11\mathrm{x} - 6 এবং Q(x)=(x−1)(x2+1)\mathrm{Q}(\mathrm{x}) = (\mathrm{x} - 1)(\mathrm{x}^2 + 1) ∴P(x)Q(x)=x3+6x2+11x−6(x−1)(x2+1)\therefore \frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{Q}(\mathrm{x})} = \frac{\mathrm{x}^3 + 6\mathrm{x}^2 + 11\mathrm{x} - 6}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^2 + 1)} ধরি, \frac{x^3+6 x^2+11 x-6}{(x-1}\left(x^2+1\right)} \equiv 1+\frac{A}{x-1}+\frac{(B x+C)}{x^2+1}
……...(1)(1)\ldots\ldots... (1) (1)
নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে (x−1)(x2+1)(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^2 + 1) দ্বারা গুণ করে পাই, x3+6x2+11x−6≡(x−1)(x2+1)+A(x2+1)+(Bx+C)(x−1)\mathrm{x}^3 + 6\mathrm{x}^2 + 11\mathrm{x} - 6 \equiv (\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}^2+1) + \mathrm{A}(\mathrm{x}^2+1) + (\mathrm{B}\mathrm{x} + \mathrm{C})(\mathrm{x}-1) ……...(2)\ldots\ldots... (2) বা, x3+6x2+11x−6=x3+x−x2−1+Ax2+A+Bx2−Bx+Cx−C\mathrm{x}^3 + 6\mathrm{x}^2 + 11\mathrm{x} - 6 = \mathrm{x}^3 + \mathrm{x} - \mathrm{x}^2 - 1 + \mathrm{A}\mathrm{x}^2 + \mathrm{A} + \mathrm{B}\mathrm{x}^2 - \mathrm{B}\mathrm{x} + \mathrm{C}\mathrm{x} - \mathrm{C} বা, x3+6x2+11x−6=x3+(A+B−1)x2+(1−B+C)x+(A−C−1)\mathrm{x}^3 + 6\mathrm{x}^2 + 11\mathrm{x} - 6 = \mathrm{x}^3 + (\mathrm{A}+\mathrm{B}-1)\mathrm{x}^2 + (1-\mathrm{B}+\mathrm{C})\mathrm{x} + (\mathrm{A}-\mathrm{C}-1)
……...(3)(2)\ldots\ldots... (3) (2)
নং সমীকরণে, x=1\mathrm{x}=1 বসিয়ে পাই, 13+6⋅12+11⋅1−6=(1−1)(12+1)+A(12+1)+(B⋅1+C)(1−1)1^3 + 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = (1-1)(1^2+1) + \mathrm{A}(1^2+1) + (\mathrm{B} \cdot 1 + \mathrm{C})(1-1) বা, 12=0+2A+012 = 0 + 2\mathrm{A} + 0 বা, 2A=122\mathrm{A} = 12 ∴A=6\therefore \mathrm{A}=6 (3)নং সমীকরণের উভয়পক্ষ হতে x2\mathrm{x}^2 ও ধ্রুবপদের সহগ সমীকৃত করে পাই, 6=A+B−16 = \mathrm{A} + \mathrm{B} - 1 বা, 6=6+B−16 = 6 + \mathrm{B} - 1 বা, 6=5+B6 = 5 + \mathrm{B} বা, B=6−5\mathrm{B} = 6 - 5 ∴B=1\therefore \mathrm{B}=1 এবং −6=A−C−1-6 = \mathrm{A} - \mathrm{C} - 1 বা, C=A−1+6=6−1+6=11\mathrm{C} = \mathrm{A} - 1 + 6 = 6 - 1 + 6 = 11 (1)নং সমীকরণে A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} ও C\mathrm{C} এর মান বসিয়ে পাই, \frac{x^3+6 x^2+11 x-6}{(x-1}\left(x^2+1\right)} \equiv 1+\frac{6}{x-1}+\frac{1 \cdot x+11}{x^2+1}=1+\frac{6}{x-1}+\frac{x+11}{x^2+1} ∴P(x)Q(x)≡1+6x−1+x+11x2+1\therefore \frac{\mathrm{P}(\mathrm{x})}{\mathrm{Q}(\mathrm{x})} \equiv 1 + \frac{6}{\mathrm{x}-1} + \frac{\mathrm{x}+11}{\mathrm{x}^2+1} যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] রাশিটির মাত্রা কত?[গণিত] এর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।দেখাও যে, [গণিত] একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] রাশিটিকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন