Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] (1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই, [গণিত] ... (2) বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (2) নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (3) নং সমীকরণ হতে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] A, B, C ও D এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল

কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

উদ্দীপক

P(x)=(x2+5)(x2−4)P(x)=\left(x^2+5\right)\left(x^2-4\right) একটি বহুপদী।

Mymensingh · 2025

উত্তর

ধরি, a−b=x,b−c=y\mathrm{a}-\mathrm{b}=\mathrm{x}, \mathrm{b}-\mathrm{c}=\mathrm{y} এবং c−a=z\mathrm{c}-\mathrm{a}=\mathrm{z} ∴x+y+z=a−b+b−c+c−a=0\therefore x+y+z=a-b+b-c+c-a=0 x+y+z=0x+y+z=0 হলে, আমরা জানি, x3+y3+z3=3xyz\mathrm{x}^3+\mathrm{y}^3+\mathrm{z}^3=3 \mathrm{xyz} বা, (a−b)3+(b−c)3+(c−a)3=3(a−b)(b−c)(c−a)(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a) নির্ণেয় উৎপাদক : 3(a−b)(b−c)(c−a).3(a-b) (b-c) (c-a).

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=(x2+5)(x2−4)\mathrm{P}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^2+5\right)\left(\mathrm{x}^2-4\right) P(x)\mathrm{P}(\mathrm{x}) কে (x−m)(\mathrm{x}-\mathrm{m}) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(m)\mathrm{P}(\mathrm{m}). অর্থাৎ, P(m)=(m2+5)(m2−4)P(m)=\left(m^2+5\right)\left(m^2-4\right) এবং P(x)P(x) কে (x−n)(x-n) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(n)P(n) । অর্থাৎ P(n)=(n2+5)(n2−4)P(n)=\left(n^2+5\right)\left(n^2-4\right). শর্তমতে, P(m)=P(n)\mathrm{P}(\mathrm{m})=\mathrm{P}(\mathrm{n}) বা, (m2+5)(m2−4)=(n2+5)(n2−4)\left(m^2+5\right)\left(m^2-4\right)=\left(n^2+5\right)\left(n^2-4\right) বা, m4−4m2+5m2−20=n4−4n2+5n2−20m^4-4 m^2+5 m^2-20=n^4-4 n^2+5 n^2-20 বা, m4+m2−20=n4+n2−20m^4+m^2-20=n^4+n^2-20 বা, m4−n4+m2−n2−20+20=0m^4-n^4+m^2-n^2-20+20=0 বা, (m2)2−(n2)2+(m2−n2)=0\left(m^2\right)^2-\left(n^2\right)^2+\left(m^2-n^2\right)=0 বা, (m2+n2)(m2−n2)+(m2−n2)=0\left(m^2+n^2\right)\left(m^2-n^2\right)+\left(m^2-n^2\right)=0 বা, (m2−n2)(m2+n2+1)=0\left(m^2-n^2\right)\left(m^2+n^2+1\right)=0 বা, (m+n)(m−n)(m2+n2+1)=0(m+n)(m-n)\left(m^2+n^2+1\right)=0 বা, (m−n){(m+n)(m2+n2+1)}=0(\mathrm{m}-\mathrm{n})\left\{(\mathrm{m}+\mathrm{n})\left(\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2+1\right)\right\}=0 বা, (m−n)(m3+mn2+m+m2n+n3+n)=0(m-n)\left(m^3+m n^2+m+m^2 n+n^3+n\right)=0 বা, (m−n)(m3+n3+m2n+nm2+m+n)=0(m-n)\left(m^3+n^3+m^2 n+n m^2+m+n\right)=0 হয়, m−n=0m-n=0 অথবা, m3+n3+m2n+nm2+m+n=0m^3+n^3+m^2 n+n m^2+m+n=0 বা, m=nm=n কিন্তু ইহা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ m≠nm \neq n ∴m3+n3+m2n+nm2+m+n=0\therefore m^3+n^3+m^2 n+n m^2+m+n=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, P(x)=(x2+5)(x2−4)\mathrm{P}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^2+5\right)\left(\mathrm{x}^2-4\right) ∴(x+2)(x−2)(x2+5)\therefore(x+2)(x-2)\left(x^2+5\right) \therefore \frac{x^3}{P(x)}=\frac{x^3}{(x+2}(x-2)\left(x^2+5\right)} ধরি, \frac{x^3}{(x+2}(x-2)\left(x^2+5\right)} \equiv \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}+\frac{C x+D}{x^2+5} \ldots \ldots (1) (1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে (x+2)(x−2)(x2+5)(x+2)(x-2)\left(x^2+5\right) দ্বারা গুণ করে পাই, x3≡A(x−2)(x2+5)+B(x+2)(x2+5)x^3 \equiv A(x-2)\left(x^2+5\right) +B(x+2)\left(x^2+5\right) +(Cx+D)(x+2)(x−2)+(C x+D)(x+2)(x-2) ……...(2)\ldots\ldots... (2) বা, x3≡A(x3+5x−2x2−10)x^3 \equiv A\left(x^3+5 x-2 x^2-10\right) +B(x3+5x+2x2+10)+(Cx+D)(x2−4)+B\left(x^3+5 x+2 x^2+10\right)+(C x+D)\left(x^2-4\right) বা, x3≡Ax3+5Ax−2Ax2−10A+Bx3x^3 \equiv A x^3+5 A x-2 A x^2-10 A+ B x^3 +5Bx+2Bx2+10B+Cx3−4Cx+Dx2−4D+5 B x+2 B x^2+10 B+C x^3-4 C x+D x^2-4 D বা, x3≡(A+B+C)x3+(−2A+2B+D)x2x^3 \equiv(A+B+C) x^3+(-2 A+2 B+D) x^2 +(5A+5B−4C)x+(−10A+10B−4D)………(3)+(5 A+5 B-4 C) x+(-10 A+10 B-4 D) \ldots \ldots \ldots (3) (2) নং সমীকরণে x=−2,2x=-2,2 বসিয়ে পাই, (−2)3=A(−2−2){(−2)2+5}+B(−2+2){(−2)2+5}(-2)^3=A(-2-2)\left\{(-2)^2+5\right\}+B(-2+2)\left\{(-2)^2+5\right\} +{C(−2)+D}(−2+2)(−2−2)+\{C(-2)+D\}(-2+2)(-2-2) বা, −8=A(−4)(4+5)+0+0-8=A(-4)(4+5)+0+0 বা, −8=−36 A-8=-36 \mathrm{~A} বা, A=−8−36\mathrm{A}=\frac{-8}{-36} ∴A=29\therefore A=\frac{2}{9} আবার, (2)3=A(2−2)(22+5)+B(2+2)(22+5)(2)^3=\mathrm{A}(2-2)\left(2^2+5\right)+\mathrm{B}(2+2)\left(2^2+5\right) +(C×2+D)(2+2)(2−2)+(\mathrm{C} \times 2+\mathrm{D})(2+2)(2-2) বা, 8=0+B×4×9+08=0+B \times 4 \times 9+0 বা, 8=36 B8=36 \mathrm{~B} বা, B=836B=\frac{8}{36} ∴B=29\therefore \quad B=\frac{2}{9} (3) নং সমীকরণ হতে x3x^3 ও x2x^2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A+B+C=1A+B+C=1 বা, 29+29+C=1\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+C=1 বা, C=1−29−29=9−2−29\mathrm{C}=1-\frac{2}{9}-\frac{2}{9}=\frac{9-2-2}{9} ∴C=59\therefore C=\frac{5}{9} এবং −2 A+2 B+D=0-2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}+\mathrm{D}=0 বা, −2×29+2×29+D=0-2 \times \frac{2}{9}+2 \times \frac{2}{9}+\mathrm{D}=0 বা, −49+49+D=0-\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\mathrm{D}=0 ∴D=0\therefore \mathrm{D}=0 A, B, C ও D এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, \frac{x^3}{(x+2}(x-2)\left(x^2+5\right)} \equiv \frac{\frac{2}{9}}{x+2}+\frac{\frac{2}{9}}{x-2}+\frac{\frac{5}{9} x+0}{x^2+5} =29(x+2)+29(x−2)+5x9(x2+5)=\frac{2}{9(x+2)}+\frac{2}{9(x-2)}+\frac{5 x}{9\left(x^2+5\right)} যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] রাশিটির মাত্রা কত?[গণিত] এর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।দেখাও যে, [গণিত] একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] রাশিটিকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন