যদি [গণিত] হয় তবে [গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] ধরি, [গণিত] (2)নং এর উভয়পক্ষে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] (2)নং এর উভয়পক্ষ থেকে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] ইহাই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল
যদি হয় তবে কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
উদ্দীপক
একটি বহুপদী যেখানে , r ধ্রুবক এবং .
উত্তর
দেওয়া আছে, উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, এর একটি উৎপাদক হলে হবে।
অতএব, এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে,
যেখানে ধুবক এবং এর একটি উৎপাদক হলে, হবে।
অর্থাৎ
বা,
এখানে,
বা, এর একটি উৎপাদক হবে যদি হয়।
নং হতে মান বসিয়ে
যেহেতু সেহেতু এর একটি উৎপাদক।
এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে,
এখন, হলে,
\begin{aligned} F(x)= & x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \\ = & x^4(x+1)+x^2(x+1)+1(x+1) \\ = & (x+1)\left(x^4+x^2+1\right) \\ \therefore \quad \frac{F(x)}{\left(x^2+1\right}\left(x^6-1\right)} & =\frac{(x+1)\left(x^4+x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right}\left\{\left(x^2\right)^3-(1)^3\right\}} \\ & =\frac{(x+1)\left(x^4+x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right}\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)} \\ & =\frac{x+1}{\left(x^2+1\right}(x+1)(x-1)}=\frac{1}{(x-1}\left(x^2+1\right)}\end{aligned}
ধরি, \frac{1}{(x-1}\left(x^2+1\right)} \equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^2+1}
(1)নং এর উভয়পক্ষকে দ্বারা গুণ করে পাই,
(2)নং এর উভয়পক্ষে বসিয়ে পাই,
বা,
(2)নং এর উভয়পক্ষ থেকে ও এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
বা,
এবং
বা,
এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\begin{aligned} & \frac{1}{(x-1}\left(x^2+1\right)}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}}{x^2+1} \\ & =\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x+1}{2\left(x^2+1\right)} \\ & \therefore \frac{F(x)}{\left(x^2+1\right}\left(x^6-1\right)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x+1}{2\left(x^2+1\right)} ;\end{aligned}
ইহাই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।