Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

(ii)নং হতে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: এখানে, [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে] [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে y দ্বারা গুণ করে] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে] (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (দেখানো হলো)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল

(ii)নং হতে দেখাও যে,

উদ্দীপক

(i) F(x)=36x2−Kx−5F(x)=36 x^2-K x-5 এবং Q(x)=x3−6x2+11x−6Q(x)=x^3-6 x^2+11 x-6 (ii) px2−yz=qy2−zx=rz2−xy≠0\frac{p}{x^2-y z}=\frac{q}{y^2-z x}=\frac{r}{z^2-x y} \neq 0.

উত্তর

দেওয়া আছে, F(x)=36x2−Kx−5\mathrm{F}(\mathrm{x})=36 \mathrm{x}^2-\mathrm{Kx}-5 এখানে, (2x−1)=2(x−12)(2 x-1)=2\left(x-\frac{1}{2}\right), F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) এর একটি উৎপাদক হলে, F(12)=0\mathrm{F}\left(\frac{1}{2}\right)=0 হবে। অর্থাৎ F(12)=0\mathrm{F}\left(\frac{1}{2}\right)=0 বা, 36(12)2−K(12)−5=036\left(\frac{1}{2}\right)^2-K\left(\frac{1}{2}\right)-5=0 বা, 36×14−K2=536 \times \frac{1}{4}-\frac{K}{2}=5 বা, 9−5=K29-5=\frac{K}{2} বা, 4=K24=\frac{K}{2} বা, K=4×2=8K=4 \times 2=8 নির্ণেয় মান : K=8\mathrm{K}=8.

উত্তর

দেওয়া আছে, Q(x)=x3−6x2+11x−6\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2+11 \mathrm{x}-6 ∴Q(1)=13−6⋅12+11⋅1−6=1−6+11−6=0\therefore \quad Q(1)=1^3-6 \cdot 1^2+11 \cdot 1-6=1-6+11-6=0 ∴(x−1),Q(x)\therefore \quad(\mathrm{x}-1), \mathrm{Q}(\mathrm{x}) এক একটি উৎপাদক। এখন, x3−6x2+11x−6\mathrm{x}^3-6 \mathrm{x}^2+11 \mathrm{x}-6 \begin{aligned} & =x^3-x^2-5 x^2+5 x+6 x-6 \\ & =x^2(x-1)-5 x(x-1)+6(x-1) \\ & =(x-1)\left(x^2-5 x+6\right)=(x-1)\left(x^2-3 x-2 x+6\right) \\ & =(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}=(x-1)(x-2)(x-3) \\ \therefore \quad & \frac{x^3}{Q(x)}=\frac{x^3}{x^3-6 x^2+11 x-6}=\frac{x^3}{(x-1}(x-2)(x-3)}\end{aligned} মনে করি, x3(x−1)(x−2)(x−3)≡1+Ax−1+Bx−2+Cx−3\frac{\mathrm{x}^3}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)} \equiv 1+\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-1}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}-2}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}-3}….(i)\ldots.(i) উভয়পক্ষকে (x−1)(x−2)(x−3)(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3) দ্বারা গুণ করে পাই, x3≡(x−1)(x−2)(x−3)+A(x−2)(x−3)x^3 \equiv(x-1)(x-2)(x-3)+A(x-2)(x-3) +B(x−1)(x−3)+C(x−1)(x−2)+\mathrm{B}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-3)+\mathrm{C}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)….(ii)\ldots.(ii) (ii) নং এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই 13=(1−1)(1−2)(1−3)+A(1−2)(1−3)+B(1−1)(1−3)+C(1−1)(1−2)\begin{aligned} 1^3=(1-1)(1-2)(1-3)+A(1-2)(1-3)+B(1-1)(1-3)+C(1-1)(1-2)\end{aligned} বা, 1=0+A(−1)(−2)+B×0+C×01=0+\mathrm{A}(-1)(-2)+\mathrm{B} \times 0+\mathrm{C} \times 0 বা, 1=2 A1=2 \mathrm{~A} ∴A=12\therefore \quad \mathrm{A}=\frac{1}{2} (ii) নং এর উভয়পক্ষে x=2\mathrm{x}=2 বসিয়ে পাই, 23=(2−1)(2−2)(2−3)+A(2−2)(2−3)+B(2−1)(2−3)+C(2−1)(2−2)\begin{aligned}2^3=(2-1)(2-2) & (2-3)+\mathrm{A}(2-2)(2-3)+\mathrm{B}(2-1)(2-3)+\mathrm{C}(2-1)(2-2)\end{aligned} বা, 8=0+A×0+B×1(−1)+C×08=0+\mathrm{A} \times 0+\mathrm{B} \times 1(-1)+\mathrm{C} \times 0 বা, 8=−B8=-\mathrm{B} বা, B=−8\mathrm{B}=-8 আবার, (ii) নং এর উভয়পক্ষে x = 3 বসিয়ে পাই, 33=(3−1)(3−2)(3−3)+A(3−2)(3−3)3^3=(3-1)(3-2)(3-3)+A(3-2)(3-3) +B(3−1)(3−3)+C(3−1)(3−2)+B(3-1)(3-3)+C(3-1)(3-2) b বা, 27=0+A×0+B×0+c×2×127=0+\mathrm{A} \times 0+\mathrm{B} \times 0+\mathrm{c} \times 2 \times 1 বা, 27-2C ∴C=272\therefore \quad C=\frac{27}{2} এখন, (i) নং এ A, B, C এর মান বসিয়ে পাই, \begin{aligned} & \frac{x^3}{(x-1}(x-2)(x-3)}=1+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-8}{x-2}+\frac{\frac{27}{2}}{x-2} \\ \therefore & \frac{x^3}{(x-1}(x-2)(x-3)}=1+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{8}{x-2}+\frac{27}{2(x-3)}\end{aligned} এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।

উত্তর

এখানে, px2−yz=qy2−zx=rz2−xy≠0\frac{p}{x^2-y z}=\frac{q}{y^2-z x}=\frac{r}{z^2-x y} \neq 0 ধরি, px2−yz=qy2−zx=rz2−xy=1k≠0\frac{p}{x^2-y z}=\frac{q}{y^2-z x}=\frac{r}{z^2-x y}=\frac{1}{k} \neq 0 ∴qx2−yz=1k\therefore \quad \frac{q}{x^2-y z}=\frac{1}{k} বা, pk=x2−yzp k=x^2-y z বা, x3−xyz=pxkx^3-x y z=p x k …..\ldots.. [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে] qy2−zx=1k\frac{q}{y^2-z x}=\frac{1}{k} বা, qk=y2−zx\mathrm{qk}=\mathrm{y}^2-\mathrm{zx} বা, y3−xyz=qyky^3-x y z=q y k …..(ii)\ldots..(ii) [উভয়পক্ষকে y দ্বারা গুণ করে] এবং rz2−xy=1k\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{z}^2-\mathrm{xy}}=\frac{1}{\mathrm{k}} বা, rk=z2−xy\mathrm{rk}=z^2-\mathrm{xy} বা, z3−xyz=rzkz^3-x y z=r z k …..(iii)\ldots..(iii) [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে] (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই, x3−xyz+y3−xyz+z3−xyz=pxk+qyk+rzkx^3-x y z+y^3-x y z+z^3-x y z=p x k+q y k+r z k বা, x3+y3+z3−3xyz=k(px+qy+rz)\quad x^3+y^3+z^3-3 x y z=k(p x+q y+r z) বা, (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=k(px+qy+rz)(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})\left(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2-\mathrm{xy}-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}\right)=\mathrm{k}(\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz}) বা, (x+y+z){(x2−yz)+(y2−zx)+(z2−xy)}=k(px+qy+rz)(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})\left\{\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{yz}\right)+\left(\mathrm{y}^2-\mathrm{zx}\right)+\left(\mathrm{z}^2-\mathrm{xy}\right)\right\}=\mathrm{k}(\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz}) বা, (x+y+z)(pk+qk+rk)=k(px+qy+rz)(x+y+z)(p k+q k+r k)=k(p x+q y+r z) [∵x2−yz=pk,y2−zx=qk,z2−xy=rk]\left[\because x^2-y z=p k, y^2-z x=q k, z^2-x y=r k\right] বা, (x+y+z)k(p+q+r)=k(px+qy+rz)(x+y+z) k(p+q+r)=k(p x+q y+r z) ∴(p+q+r)(x+y+z)=px+qy+rz\therefore \quad(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})=\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz} (দেখানো হলো)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-২ : বীজগাণিতিক রাশি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

P(x)=3x2−7x4+9x−7\mathrm{P}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^2-7 \mathrm{x}^4+9 \mathrm{x}-7 রাশিটির মাত্রা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3+ax2+2x+1\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}^2+2 \mathrm{x}+1 এর একটি উৎপাদক (x+1)(\mathrm{x}+1) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

দেখাও যে, x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)\mathbf{x}^2(\mathbf{y}-\mathbf{z})+\mathbf{y}^2(\mathbf{z}-\mathbf{x})+\mathbf{z}^2(\mathbf{x}-\mathbf{y}) একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

দেখাও যে, ab+bc+ca\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

2x3+x2+ax−92 \mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}-9 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x+3)(\mathrm{x}+3) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

P(x)=x3−8x2+6x+60P(x)=x^3-8 x^2+6 x+60 রাশিটিকে (x+2)(x+2) দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : b2c2(b2−c2)+c2a2(c2−a2)+a2b2(a2−b2)b^2 c^2\left(b^2-c^2\right)+c^2 a^2\left(c^2-a^2\right)+a^2 b^2\left(a^2-b^2\right).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

দেখাও যে, xy−1+yz−1+zx−1\mathbf{x y}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{y z}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{z x}^{-\mathbf{1}} রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

x3−ax2−9x−5\mathrm{x}^3-\mathrm{ax}^2-9 \mathrm{x}-5 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x−5)(\mathrm{x}-5) হলে, a এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

যদি ax=by=cz\mathbf{a}^{\mathbf{x}}=\mathbf{b}^{\mathbf{y}}=\mathbf{c}^{\mathbf{z}} এবং b2=ac\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=\mathbf{a c} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, 1x+1z=2y\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3 x y z কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] রাশিটির মাত্রা কত?[গণিত] এর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।দেখাও যে, [গণিত] একটি চক্রক্রমিক ও অপ্রতিসম রাশি।দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।[গণিত] রাশিটিকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করা হলে, ভাগশেষ নির্ণয় করো।উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] রাশিটি চক্রক্রমিক হলেও প্রতিসম নয়।[গণিত] বহুপদীর একটি উৎপাদক [গণিত] হলে, a এর মান নির্ণয় করো।যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো ।[গণিত] কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন