[গণিত] ব্যাস এবং [গণিত] হতে [গণিত] এর উপর [গণিত] লম্ব হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস PR হলে, ∠PQR = অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = 1 সমকোণ। ∴ ∆PQR সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ = PR এবং [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: ∠PQR = 90° ∴ ∠PQF + ∠FQR = 90° ... ... (i) আবার, [গণিত] বলে ∠PFQ = ∠QFR = 90° ∆PQF এ ∠PFQ + ∠PQF + ∠QPF = 180° বা, 90° + ∠PQF + ∠QPF = 180° ∴ ∠PQF + ∠QPF = 90° [গণিত] . (ii) (i) নং এবং (ii) নং হতে পাই, ∠PQF + ∠FQR = ∠PQF + ∠QPF ∴ ∠FQR = ∠QPF ∆PQF এবং ∆QFR এ ∠PFQ = ∠QFR, ∠QPF = ∠FQR অবশিষ্ট ∠PQF = অবশিষ্ট ∠FRQ. ∴ ∆PQF এবং ∆QFR সদৃশ [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)
SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল
ব্যাস এবং হতে এর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
Dhaka · 2019
উত্তর
উত্তর
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS। PR এবং QS চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ।
প্রমাণ করতে হবে যে,
অঙ্কন: ∠QPR কে ∠SPR থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে ∠QPR-এর সমান করে ∠SPM আঁকি যেন PM রেখা QS কর্ণকে M বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে ∠QPR = ∠SPM
উভয়পক্ষে ∠RPM যোগ করে পাই,
∠QPR + ∠RPM = ∠SPM + ∠RPM
অর্থাৎ, ∠QPM = ∠RPS
এখন ∆PQM ও ∆PRS এর মধ্যে ∠QPM = ∠RPS
∠PQM = ∠PRS [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]
এবং অবশিষ্ট ∠PMQ = অবশিষ্ট ∠PSR
∴ ∆PQM ও ∆PRS সদৃশকোণী।
অর্থাৎ, PR . QM = PQ . RS
আবার, ∆PQR ও ∆PMS এর মধ্যে
∠QPR = ∠SPM [অঙ্কন অনুসারে]
∠PRQ = ∠PSM [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]
এবং অবশিষ্ট ∠PQR = অবশিষ্ট ∠PMS
∴ ∆PQR ও ∆PMS সদৃশকোণী।
অর্থাৎ, PR . MS = QR . PS
এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
PR . QM + PR . MS = PQ . RS + QR . PS
বা, PR (QM + MS) = PQ . RS + QR . PS
অর্থাৎ, PR.QS=PQ.RS+QR.PS [যেহেতু QM+MS=QS]
∴ PR.QS = PQ.RS + PS.QR (প্রমাণিত)উত্তর
বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস PR হলে, ∠PQR = অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = 1 সমকোণ।
∴ ∆PQR সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ = PR এবং । প্রমাণ করতে হবে যে,
প্রমাণ: ∠PQR = 90°
∴ ∠PQF + ∠FQR = 90° ... ... (i)
আবার, বলে ∠PFQ = ∠QFR = 90°
∆PQF এ ∠PFQ + ∠PQF + ∠QPF = 180°
বা, 90° + ∠PQF + ∠QPF = 180°
∴ ∠PQF + ∠QPF = 90° 
