Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

∆MOS হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∆MOS এর মধ্যমাত্রয় MP, OQ ও SR পরস্পর E বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . প্রমাণ: মনে করি ∆MOS এর OS, SM ও MO বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c এবং মধ্যমা MP, OQ ও SR এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে d, e ও f। তাহলে, এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য হতে পাই, MO² + MS² = 2(MP² + OP²) বা, [গণিত] [∴ [গণিত] ] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অনুরূপভাবে পাওয়া যায়, [গণিত] এবং [গণিত] অতএব, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] ∴ [গণিত] ∴ [গণিত] .. (i) আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো ছেদ বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়। [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [যোজন করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] অনুরূপে, [গণিত] এবং [গণিত] সুতরাং (i) নং সমীকরণ থেকে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] ∴ [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

∆MOS হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

নিচের চিত্রটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও : question image চিত্রে, OS, MS, MO এবং NS এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও O.

Rajshahi · 2019

উত্তর

আমরা জানি, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাত্রয়কে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে। ∴ ME : PE = 2 : 1 বা, MEPE=21\frac{\mathrm{ME}}{\mathrm{PE}} = \frac{2}{1} বা, ME+PEPE=2+11\frac{\mathrm{ME}+\mathrm{PE}}{\mathrm{PE}} = \frac{2+1}{1} [যোজন করে] বা, PMPE=31\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PE}} = \frac{3}{1} বা, PM = 3×33 \times 3 সে.মি. ∴ PM = 9 সে.মি.

উত্তর

question image মনে করি, ∆MNS-এর মধ্যমা MO. প্রমাণ করতে হবে যে, MO2+NO2=12(MN2+MS2)\mathrm{MO}^2 + \mathrm{NO}^2 = \frac{1}{2}(\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2) অঙ্কন: M থেকে NS এর উপর MT লম্ব আঁকি। প্রমাণ: ∆MNO এর ∠MON স্থূলকোণ এবং NO এর বর্ধিতাংশের উপর MO রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OT ∴ MN² = MO² + NO² + 2NO.OT…(i)\ldots (i) আবার, ∆MOS এর ∠MOS সূক্ষ্মকোণ এবং OS রেখার ওপর MO রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OT. ∴ MS² = MO² + SO² – 2SO. OT বা, MS² = MO² + NO² – 2NO. OT [∴ NO = SO] …..(ii)\ldots.. (ii) সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, MN² + MS² = MO² + NO² + 2NO. OT + MO² + NO² – 2NO.OT MN² + MS² = 2MO² + 2NO² = 2(MO² + NO²) ∴ MO2+NO2=12(MN2+MS2)\mathrm{MO}^2 + \mathrm{NO}^2 = \frac{1}{2}(\mathrm{MN}^2 + \mathrm{MS}^2) (প্রমাণিত)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∆MOS এর মধ্যমাত্রয় MP, OQ ও SR পরস্পর E বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, 3(ME2+OE2+SE2)=MO2+MS2+SO23(\mathrm{ME}^2 + \mathrm{OE}^2 + \mathrm{SE}^2) = \mathrm{MO}^2 + \mathrm{MS}^2 + \mathrm{SO}^2. প্রমাণ: মনে করি ∆MOS এর OS, SM ও MO বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c এবং মধ্যমা MP, OQ ও SR এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে d, e ও f। তাহলে, এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য হতে পাই, MO² + MS² = 2(MP² + OP²) বা, c2+b2=2(d2+(12a)2)\mathrm{c}^2 + \mathrm{b}^2 = 2(\mathrm{d}^2 + (\frac{1}{2}\mathrm{a})^2) [∴ OP=12a\mathrm{OP} = \frac{1}{2}\mathrm{a}] বা, b2+c2=2d2+2⋅14a2\mathrm{b}^2 + \mathrm{c}^2 = 2\mathrm{d}^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}\mathrm{a}^2 বা, b2+c2=2d2+a22\mathrm{b}^2 + \mathrm{c}^2 = 2\mathrm{d}^2 + \frac{\mathrm{a}^2}{2} বা, d2=2(b2+c2)−a24\mathrm{d}^2 = \frac{2(\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2) - \mathrm{a}^2}{4} অনুরূপভাবে পাওয়া যায়, e2=2(c2+a2)−b24\mathrm{e}^2 = \frac{2(\mathrm{c}^2 + \mathrm{a}^2) - \mathrm{b}^2}{4} এবং f2=2(a2+b2)−c24\mathrm{f}^2 = \frac{2(\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2) - \mathrm{c}^2}{4} অতএব, d2+e2+f2=2(b2+c2)−a24+2(c2+a2)−b24+2(a2+b2)−c24\mathrm{d}^2 + \mathrm{e}^2 + \mathrm{f}^2 = \frac{2(\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2) - \mathrm{a}^2}{4} + \frac{2(\mathrm{c}^2 + \mathrm{a}^2) - \mathrm{b}^2}{4} + \frac{2(\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2) - \mathrm{c}^2}{4} অর্থাৎ, d2+e2+f2=34(a2+b2+c2)\mathrm{d}^2 + \mathrm{e}^2 + \mathrm{f}^2 = \frac{3}{4}(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2) ∴ 3(a2+b2+c2)=4(d2+e2+f2)3(\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2) = 4(\mathrm{d}^2 + \mathrm{e}^2 + \mathrm{f}^2) ∴ 3(MO2+OS2+MS2)=4MP2+4OQ2+4SR23(\mathrm{MO}^2 + \mathrm{OS}^2 + \mathrm{MS}^2)=4\mathrm{MP}^2 +4\mathrm{OQ}^2 + 4\mathrm{SR}^2 …..(i)\ldots.. (i) আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো ছেদ বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়। MEPE=21\frac{\mathrm{ME}}{\mathrm{PE}} = \frac{2}{1} বা, PEME=12\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{ME}} = \frac{1}{2} বা, PE+MEME=1+22\frac{\mathrm{PE}+\mathrm{ME}}{\mathrm{ME}} = \frac{1+2}{2} [যোজন করে] বা, MPME=32\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{ME}} = \frac{3}{2} বা, 2MP=3ME2\mathrm{MP} = 3\mathrm{ME} বা, 4MP2=9ME24\mathrm{MP}^2 = 9\mathrm{ME}^2 [বর্গ করে] অনুরূপে, 4OQ2=9OE24\mathrm{OQ}^2 = 9\mathrm{OE}^2 এবং 4SR2=9SE24\mathrm{SR}^2 = 9 \mathrm{SE}^2 সুতরাং (i) নং সমীকরণ থেকে পাই, 3(MO2+OS2+MS2)=9ME2+9OE2+9SE23 (\mathrm{MO}^2 + \mathrm{OS}^2 + \mathrm{MS}^2) = 9 \mathrm{ME}^2 + 9\mathrm{OE}^2 + 9\mathrm{SE}^2 বা, 3(MO2+OS2+MS2)=9(ME2+OE2+SE2)3 (\mathrm{MO}^2 + \mathrm{OS}^2 + \mathrm{MS}^2) = 9 (\mathrm{ME}^2 + \mathrm{OE}^2 + \mathrm{SE}^2) ∴ 3(ME2+OE2+SE2)=MO2+MS2+SO23(\mathrm{ME}^2 + \mathrm{OE}^2 + \mathrm{SE}^2) = \mathrm{MO}^2 + \mathrm{MS}^2 + \mathrm{SO}^2. (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন