Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

চতুর্ভুজটির যে অংশ চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

উত্তর: এখানে, [গণিত] এবং [গণিত] একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু। [চিত্র] এখানে, AB রেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ..(i) (i)নং রেখাটি [গণিত] -অক্ষকে E বিন্দুতে ছেদ করে। কাজেই E বিন্দুর [গণিত] স্থানাঙ্ক শূন্য অর্থাৎ [গণিত] E বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] . আবার, BC রেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ..(ii) (ii)নং রেখাটি [গণিত] -অক্ষকে F বিন্দুতে ছেদ করে। কাজেই, [গণিত] -অক্ষের উপর F বিন্দুর [গণিত] স্থানাঙ্ক শূন্য অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] F বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] এখন, চতুর্থ চতুর্ভাগে [গণিত] ও [গণিত] দ্বারা গঠিত BEOF চতুর্ভুজের বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে চতুর্ভুজ BEOF এর ক্ষেত্রফল = [গণিত] বর্গ একক = [গণিত] বর্গ একক = [গণিত] বর্গ একক = [গণিত] বর্গ একক = [গণিত] বর্গ একক = [গণিত] বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

চতুর্ভুজটির যে অংশ চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণ…

উদ্দীপক

A(8,8),B(9,−5),C(−4,−6),D(−5,7)\mathrm{A}(8, 8), \mathrm{B}(9, -5), \mathrm{C}(-4, -6), \mathrm{D}(-5, 7) বিন্দুগুলো একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ বিন্দু এবং 2x−3y−6=02\mathrm{x} - 3\mathrm{y} - 6 = 0 একটি সরলরেখা, যা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

Mymensingh · 2022

উত্তর

(−1,2)(-1, 2) বিন্দুগামী এবং 13\frac{1}{3} ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, y−y1=m(x−x1)\mathrm{y} - \mathrm{y}_1 = \mathrm{m}(\mathrm{x}-\mathrm{x}_1) বা, y−2=13(x+1)\mathrm{y}-2 = \frac{1}{3}(\mathrm{x}+1) বা, 3y−6=x+13\mathrm{y}-6 = \mathrm{x}+1 বা, x+1−3y+6=0\mathrm{x}+1-3\mathrm{y}+6 = 0 ∴x−3y+7=0\therefore \mathrm{x}-3\mathrm{y}+7 = 0 নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, x−3y+7=0\mathrm{x}-3\mathrm{y}+7=0.

উত্তর

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ, 2x−3y−6=02\mathrm{x} - 3\mathrm{y} - 6 = 0; যা অক্ষদ্বয়কে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে রেখাটি x\mathrm{x}-অক্ষকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে y\mathrm{y} স্থানাঙ্ক শূন্য অর্থাৎ, y=0\mathrm{y}=0 সুতরাং, 2x−3×0−6=02\mathrm{x} - 3 \times 0 - 6 = 0 বা, 2x=62\mathrm{x}=6 বা, x=62\mathrm{x}=\frac{6}{2} ∴x=3\therefore \mathrm{x}=3 ∴\therefore P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,0)(3, 0) আবার, রেখাটি y\mathrm{y}-অক্ষকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে x\mathrm{x} স্থানাঙ্ক শূন্য অর্থাৎ x=0\mathrm{x}=0 সুতরাং, 2×0−3y−6=02 \times 0 - 3\mathrm{y} - 6 = 0 বা, −3y=6-3\mathrm{y}=6 বা, y=6−3\mathrm{y}=\frac{6}{-3} ∴y=−2\therefore \mathrm{y}=-2 ∴\therefore Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,−2)(0, -2) এখন, P ও Q বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, PQ=(0−3)2+(−2−0)2\mathrm{PQ} = \sqrt{(0-3)^2 + (-2-0)^2} একক = (−3)2+(−2)2\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} একক = 9+4\sqrt{9+4} একক = 13\sqrt{13} একক ∴\therefore P ও Q বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 13\sqrt{13} একক।

উত্তর

এখানে, A(8,8),B(9,−5),C(−4,−6)\mathrm{A}(8, 8), \mathrm{B}(9, -5), \mathrm{C}(-4, -6) এবং D(−5,7)\mathrm{D}(-5, 7) একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু। question imageএখানে, AB রেখার সমীকরণ, y−8x−8=8+58−9\frac{\mathrm{y}-8}{\mathrm{x}-8} = \frac{8+5}{8-9} বা, y−8x−8=13−1\frac{\mathrm{y}-8}{\mathrm{x}-8} = \frac{13}{-1} বা, 13x−104=−y+813\mathrm{x}-104 = -\mathrm{y}+8 বা, 13x+y=8+10413\mathrm{x}+\mathrm{y} = 8+104 বা, 13x+y=11213\mathrm{x}+\mathrm{y} = 112
……..(i)(i)\ldots\ldots..(i) (i)
নং রেখাটি x\mathrm{x}-অক্ষকে E বিন্দুতে ছেদ করে। কাজেই E বিন্দুর y\mathrm{y} স্থানাঙ্ক শূন্য অর্থাৎ y=0\mathrm{y}=0 13x+0=11213\mathrm{x}+0 = 112 ∴x=11213\therefore \mathrm{x} = \frac{112}{13} ∴\therefore E বিন্দুর স্থানাঙ্ক (11213,0)(\frac{112}{13}, 0). আবার, BC রেখার সমীকরণ, y+5x−9=−5+69+4\frac{\mathrm{y}+5}{\mathrm{x}-9} = \frac{-5+6}{9+4} বা, y+5x−9=113\frac{\mathrm{y}+5}{\mathrm{x}-9} = \frac{1}{13} বা, 13y+65=x−913\mathrm{y}+65 = \mathrm{x}-9 বা, 13y−x=−9−6513\mathrm{y}-\mathrm{x} = -9-65 বা, 13y−x=−7413\mathrm{y}-\mathrm{x} = -74
……..(ii)(ii)\ldots\ldots..(ii) (ii)
নং রেখাটি y\mathrm{y}-অক্ষকে F বিন্দুতে ছেদ করে। কাজেই, y\mathrm{y}-অক্ষের উপর F বিন্দুর x\mathrm{x} স্থানাঙ্ক শূন্য অর্থাৎ, x=0\mathrm{x}=0 ∴13y−0=−74\therefore 13\mathrm{y}-0 = -74 বা, y=−7413\mathrm{y} = -\frac{74}{13} ∴\therefore F বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,−7413)(0, -\frac{74}{13}) এখন, চতুর্থ চতুর্ভাগে B(9,−5),E(11213,0),O(0,0)\mathrm{B}(9, -5), \mathrm{E}(\frac{112}{13}, 0), \mathrm{O}(0, 0) ও F(0,−7413)\mathrm{F}(0, -\frac{74}{13}) দ্বারা গঠিত BEOF চতুর্ভুজের বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে চতুর্ভুজ BEOF এর ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} \[\begin{vmatrix} 9 & \frac{112}{13} & 0 & 0 & 9 \\ -5 & 0 & 0 & -\frac{74}{13} & -5 \end{vmatrix}\] বর্গ একক = 12(0+0+0+0−(−56013)−0−0−(−66613))\frac{1}{2} (0+0+0+0 - (-\frac{560}{13}) - 0 - 0 - (-\frac{666}{13})) বর্গ একক = 12(66613+56013)\frac{1}{2} (\frac{666}{13} + \frac{560}{13}) বর্গ একক = 12×122613\frac{1}{2} \times \frac{1226}{13} বর্গ একক = 61313\frac{613}{13} বর্গ একক = 4721347\frac{2}{13} বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 4721347\frac{2}{13} বর্গ একক।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন