Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র [গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] [গণিত] -এর BC , AC এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D , E, F। অর্থাৎ AD, BE ও CF তিনটি মধ্যমা, যারা পরস্পর ভরকেন্দ্র O তে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: [গণিত] এর [গণিত] ও CF তিনটি মধ্যমা। ∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে, [গণিত] (i) [গণিত] (ii) এবং [গণিত] (iii) এখন সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (iv) আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো ছেদ বিন্দুতে [গণিত] অনুপাতে বিভক্ত হয়। [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [যোজন করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] অনুরূপে, [গণিত] এবং [গণিত] ∴ (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র OO হলে, প্রমাণ কর যে, OA2+OB2+OC2=13(AB2+BC2+AC2)\mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2+\mathrm{OC}^2=\frac{1}{3}\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2\right)

উত্তর

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC , AC এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D , E, F। অর্থাৎ AD, BE ও CF তিনটি মধ্যমা, যারা পরস্পর ভরকেন্দ্র O তে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, OA2+OB2+OC2=13(AB2+BC2+AC2)\mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2+\mathrm{OC}^2=\frac{1}{3}\left(\mathrm{AB}^2\right. \left.+\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2\right) প্রমাণ: △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD,BE\mathrm{AD}, \mathrm{BE} ও CF তিনটি মধ্যমা। ∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে, AB2+CA2=2(AD2+BD2)A B^2+C A^2=2\left(A D^2+B D^2\right) ……(i)\ldots\ldots (i) AB2+BC2=2(BE2+CE2)A B^2+B C^2=2\left(B E^2+C E^2\right) ……(ii)\ldots\ldots (ii) এবং BC2+CA2=2(CF2+BF2)\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2=2\left(\mathrm{CF}^2+\mathrm{BF}^2\right) ……(iii)\ldots\ldots (iii) এখন সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই, 2AB2+2BC2+2CA2=2AD2+2BD2+2BE2+2CE2+2CF2+2BF22 A B^2+2 B C^2+2 C A^2=2 A D^2+2 B D^2+2 B E^2+2 C E^2+2 C F^2+2 B F^2 বা, 2(AB2+BC2+CA2)=2(AD2+BE2+CF2)+2(BD2+CE2+BF2)2\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2\right)=2\left(\mathrm{AD}^2+\mathrm{BE}^2+\mathrm{CF}^2\right)+2\left(\mathrm{BD}^2+\mathrm{CE}^2+\mathrm{BF}^2\right) বা, 4(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)+(2BD)24\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2\right)=4\left(\mathrm{AD}^2+\mathrm{BE}^2+\mathrm{CF}^2\right)+(2 \mathrm{BD})^2 +(2CE)2+(2BF)2+(2 \mathrm{CE})^2+(2 \mathrm{BF})^2 বা, 4(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)+BC2+CA2+AB24\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2\right)=4\left(\mathrm{AD}^2+\mathrm{BE}^2+\mathrm{CF}^2\right)+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2+\mathrm{AB}^2 বা, 3(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)3\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2\right)=4\left(\mathrm{AD}^2+\mathrm{BE}^2+\mathrm{CF}^2\right) ……(iv)\ldots\ldots (iv) আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো ছেদ বিন্দুতে 2:12: 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়। ∴AOOD=21\therefore \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OD}}=\frac{2}{1} বা, ODAO=12\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2} বা, OD+AOAO=1+22\frac{\mathrm{OD}+\mathrm{AO}}{\mathrm{AO}}=\frac{1+2}{2} [যোজন করে] বা, ADAO=32\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AO}}=\frac{3}{2} বা, 2AD=3AO2 \mathrm{AD}=3 \mathrm{AO} বা, 4AD2=9AO24 \mathrm{AD}^2=9 \mathrm{AO}^2 [বর্গ করে] অনুরূপে, 4BE2=9BO24 \mathrm{BE}^2=9 \mathrm{BO}^2 এবং 4CF2=9CO24 \mathrm{CF}^2=9 \mathrm{CO}^2 ∴ (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই, 3(AB2+BC2+CA2)=9AA2+9BO2+9CO23\left(A B^2+B C^2+C A^2\right)=9 A A^2+9 B O^2+9 C O^2 বা, 3(AB2+BC2+CA2)=9(AO2+BO2+CO2)3\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2\right)=9\left(\mathrm{AO}^2+\mathrm{BO}^2+\mathrm{CO}^2\right) বা, OA2+OB2+OC2=39(AB2+BC2+AC2)\mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2+\mathrm{OC}^2=\frac{3}{9}\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2\right) ∴OA2+OB2+OC2=13(AB2+BC2+AC2)\therefore \mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2+\mathrm{OC}^2=\frac{1}{3}\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2\right) (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন