Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] এখানে, [গণিত] এবং [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: [গণিত] (i) আবার, [গণিত] বলে, [গণিত] [ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি [গণিত] ] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (ii) (i) ও (ii) নং হতে পাই, [গণিত] ও [গণিত] এ [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] ও [গণিত] সদৃশ [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

question image

Chittagong · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, পরিবৃত্তের পরিধি = 24 সে.মি. অর্থাৎ, 2πr=242 \pi \mathrm{r}=24 [r= পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ] বা, r=242π=12πr=\frac{24}{2 \pi}=\frac{12}{\pi} আমরা জানি, নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের অর্ধেক। ∴ নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ =12×12π=\frac{1}{2} \times \frac{12}{\pi} সে.মি. =6π=\frac{6}{\pi} সে.মি. ∴ নববিন্দু বৃত্তের ক্ষেত্রফল =π×(6π)2=\pi \times\left(\frac{6}{\pi}\right)^2 বর্গ সে.মি. =π×36π2=\pi \times \frac{36}{\pi^2} বর্গ সে.মি. =36π=\frac{36}{\pi} বর্গ সে.মি. (Ans.)

উত্তর

question image মনে করি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত QPSR চতুভুর্জের কর্ণদ্বয় QS ও PR পরস্পরকে লম্বভাবে T বিন্দুতে ছেদ করে। T হতে PS বাহুর উপর TM লম্ব এবং বর্ধিত MT বিপরীত QR বাহুকে N বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে, QN=RN\mathrm{QN}=\mathrm{RN}. প্রামণ : একই চাপ SR এর উপর দণ্ডায়মান বলে ∠SPR=∠SQR\angle \mathrm{SPR}=\angle \mathrm{SQR} অর্থাৎ, ∠SPT=∠TQN\angle \mathrm{SPT}=\angle \mathrm{TQN} আবার, ∠SPT=∠STM\angle \mathrm{SPT}=\angle \mathrm{STM} [উভয়ে একই ∠PTM\angle \mathrm{PTM} এর পূরক কোণ বলে] সুতরাং ∠TQN=∠NTQ\angle \mathrm{TQN}=\angle \mathrm{NTQ} ফলে △QNT\triangle \mathrm{QNT} ত্রিভুজে QN=NT\mathrm{QN}=\mathrm{NT} অনুরূপভাবে দেখানো যায়, ∠NRT=∠PST=∠PTM=∠RTN\angle \mathrm{NRT}=\angle \mathrm{PST}=\angle \mathrm{PTM}=\angle \mathrm{RTN} ফলে, RNT ত্রিভুজে RN == NT সুতরাং QN = RN. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, △TSP−এ∠STP=90∘\triangle \mathrm{TSP}-এ \angle \mathrm{STP}=90^{\circ} এবং TM⊥SP\mathrm{TM} \perp \mathrm{SP} । প্রমাণ করতে হবে যে, TM2=PM.SM\mathrm{TM}^2=\mathrm{PM} . \mathrm{SM} প্রমাণ: ∠STP=90∘\angle \mathrm{STP}=90^{\circ} ∴∠STM+∠MTP=90∘\therefore \angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{MTP}=90^{\circ} ……(i)\ldots\ldots (i) আবার, TM⊥SP\mathrm{TM} \perp \mathrm{SP} বলে, ∠TMS=∠TMP=90∘\angle \mathrm{TMS}=\angle \mathrm{TMP}=90^{\circ} ΔSTM−Ω,∠TMS+∠STM+∠TSM=180∘\Delta \mathrm{STM}-\Omega, \angle \mathrm{TMS}+\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{TSM}=180^{\circ} [ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180∘180^{\circ} ] বা, 90∘+∠STM+∠TSM=180[∵∠TMS=90∘]90^{\circ}+\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{TSM}=180\left[\because \angle \mathrm{TMS}=90^{\circ}\right] বা, ∠STM+∠TSM=90∘\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{TSM}=90^{\circ}
……(ii)(i)\ldots\ldots (ii) (i)
ও (ii) নং হতে পাই, ∠STM+∠MTP=∠STM+∠TSM\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{MTP}=\angle \mathrm{STM}+\angle \mathrm{TSM} ∠MTP=∠TSM\angle \mathrm{MTP}=\angle \mathrm{TSM} △TSM\triangle \mathrm{TSM} ও △TPM−\triangle \mathrm{TPM}- এ ∠TMS=∠TMP,∠TSM=∠MTP\angle \mathrm{TMS}=\angle \mathrm{TMP}, \angle \mathrm{TSM}=\angle \mathrm{MTP} অবশিষ্ট ∠STM=\angle \mathrm{STM}= অবশিষ্ট ∠TPM\angle \mathrm{TPM} ∴△TSM\therefore \triangle \mathrm{TSM} ও △TPM\triangle \mathrm{TPM} সদৃশ ∴STTP=TMPM=SMTM\therefore \frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{TP}}=\frac{\mathrm{TM}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{TM}} অর্থাৎ, TMPM=SMTM\frac{\mathrm{TM}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{SM}}{\mathrm{TM}} ∴TM2=PM.SM\therefore \mathrm{TM}^2=\mathrm{PM} . \mathrm{SM} (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন