Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, [গণিত] -এর [গণিত] । [গণিত] এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: [গণিত] এ, [গণিত] আবার, [গণিত] এখন, [গণিত] [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°] বা, [গণিত] সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই, [গণিত] এখন [গণিত] ও [গণিত] -এ [গণিত] এবং [গণিত] সুতরাং, ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। [গণিত] সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] প্রমাণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

যদি হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

উদ্দীপক

question image চিত্রে PQRSPQRS একটি সামান্তরিক এবং PM⊥QS\mathrm{PM} \perp \mathrm{QS}

Rajshahi · 2022

উত্তর

দেওয়া আছে, △POM\triangle \mathrm{POM} এ PM⊥OM\mathrm{PM} \perp \mathrm{OM} এবং অতিভুজ OP=4\mathrm{OP}=4 সে.মি. আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের তিনগুণের সমান। মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় d, e, f এবং অতিভুজ = a ∴2( d2+e2+f2)=3a2\therefore 2\left(\mathrm{~d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2\right)=3 \mathrm{a}^2 বা, d2+e2+f2=32×42\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2=\frac{3}{2} \times 4^2 বর্গ সে.মি. =32×16=\frac{3}{2} \times 16 বর্গ সে.মি. =3×8=3 \times 8 বর্গ সে.মি. =24=24 বর্গ সে.মি. ∴ ত্রিভুজটি মধ্যমাত্রয়ের বর্গের সমষ্টি 24 বর্গ সে.মি.। [Ans.]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: △PQS\triangle \mathrm{PQS} এর একটি মধ্যমা PO যা QS কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং QS, O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে অর্থাৎ QO = OS। প্রমাণ করতে হবে যে, OP2+OQ2=12(PQ2+PS2)\mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2=\frac{1}{2}\left(\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PS}^2\right) প্রমাণ: △POS\triangle \mathrm{POS} এর ∠POS\angle \mathrm{POS} স্থূলকোণ এবং SO রেখার বর্ধিতাংশের উপর PO রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OM। ∴ স্থুলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে PS2=PO2+OS2+2⋅OS⋅OM\mathrm{PS}^2=\mathrm{PO}^2+\mathrm{OS}^2+2 \cdot \mathrm{OS} \cdot \mathrm{OM}…..(i)\ldots..(i) আবার, △PQO\triangle \mathrm{PQO} এর ∠POQ\angle \mathrm{POQ} সূক্ষকোণ এবং OQ রেখার উপর PO রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OM। ∴ সূক্ষকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে PQ2=OP2+OQ2−2⋅OQ⋅OM\mathrm{PQ}^2=\mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2-2 \cdot \mathrm{OQ} \cdot \mathrm{OM}…..(ii)\ldots..(ii) এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, PS2+PQ2=\mathrm{PS}^2+\mathrm{PQ}^2= OP2+OS2+2⋅OS⋅OM+OP2+OQ2−2⋅OQ⋅OM\mathrm{OP}^2+\mathrm{OS}^2+2 \cdot O S \cdot O M+O P^2 +O Q^2-2 \cdot O Q \cdot O M =2OP2+OQ2+2⋅OQ⋅OM+OQ2−2⋅OQ⋅OM[∵OS=OQ]\begin{aligned}=2 \mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2+2 \cdot \mathrm{OQ} \cdot \mathrm{OM}+\mathrm{OQ}^2 -2 \cdot \mathrm{OQ} \cdot \mathrm{OM} \\ {[\because \mathrm{OS}=\mathrm{OQ}] }\end{aligned} =2OP2+2OQ2=2(OP2+OQ2)\begin{aligned} & =2 \mathrm{OP}^2+2 \mathrm{OQ}^2 \\ & =2\left(\mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2\right)\end{aligned} ∴OP2+OQ2=12(PQ2+PS2)\therefore \mathrm{OP}^2+\mathrm{OQ}^2=\frac{1}{2}\left(\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PS}^2\right) [প্রমাণিত]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, △OPQ\triangle \mathrm{OPQ}-এর ∠OPQ=90∘\angle \mathrm{OPQ}=90^{\circ}। PM,OQ\mathrm{PM}, \mathrm{OQ} এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, PM2=QM⋅OM\mathrm{PM}^2=\mathrm{QM} \cdot \mathrm{OM} প্রমাণ: △OPQ\triangle \mathrm{OPQ} এ, ∠OPQ=90∘\angle \mathrm{OPQ}=90^{\circ} ∴∠OPM+∠QPM=90∘……… (i)\therefore \angle \mathrm{OPM}+\angle \mathrm{QPM}=90^{\circ} \ldots \ldots \ldots \text{ (i)} আবার, △OMP−∠OMP=90∘[∵PM⊥OQ]\triangle \mathrm{OMP}-\angle \mathrm{OMP}=90^{\circ} \quad[\because \mathrm{PM} \perp \mathrm{OQ}] এখন, ∠OMP+∠POM+∠OPM=180∘\angle \mathrm{OMP}+\angle \mathrm{POM}+\angle \mathrm{OPM}=180^{\circ} [∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°] বা, ∠POM+∠OPM=180∘−∠OMP\angle \mathrm{POM}+\angle \mathrm{OPM} =180^{\circ}-\angle \mathrm{OMP} =180∘−90∘[∵∠OMP=90∘]=180^{\circ}-90^{\circ}\left[\because \angle \mathrm{OMP}=90^{\circ}\right] ∴∠POM+∠OPM=90∘……… (ii) \therefore \angle \mathrm{POM}+\angle \mathrm{OPM}=90^{\circ} \ldots \ldots \ldots \text{ (ii) } সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই, ∠OPM+∠QPM=∠POM+∠OPM\angle \mathrm{OPM}+\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{POM}+\angle \mathrm{OPM} ∴∠QPM=∠POM\therefore \angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{POM} এখন △OMP\triangle \mathrm{OMP} ও △QMP\triangle \mathrm{QMP}-এ ∠OMP=∠QMP=90∘[∵PM⊥OQ]\angle \mathrm{OMP}=\angle \mathrm{QMP}=90^{\circ}[\because \mathrm{PM} \perp \mathrm{OQ}] এবং ∠POM=∠QPM\angle \mathrm{POM}=\angle \mathrm{QPM} সুতরাং, ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। ∴OMPM=PMQM[∵\therefore \frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{QM}}[\because সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]] অর্থাৎ, PM2=QM⋅OM[\mathbf{P M}^2=\mathbf{Q M} \cdot \mathbf{O M}[ প্রমাণিত]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন