দেখাও যে, [গণিত] একই সরলরেখায় অবস্থিত।

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: এখানে, △PQR এর লম্ববিন্দু O, পরিকেন্দ্র S এবং PA একটি মধ্যমা। লম্ববিন্দু এবং পরিকেন্দ্র S এর সংযোগ রেখা PA মধ্যমাকে T বিন্দুতে P T S ছেদ করেছে। S, A যোগ করলে SA রেখা QR এর উপর লম্ব। দেখাতে হবে যে, S, T, O একই সরলরেখায় অবিস্থত। সুতরাং, T বিন্দুটি ভরকেন্দ্র প্রমাণ করলেই যথেষ্ট হবে। প্রমাণ: আমরা জানি, কোন ত্রিভুজের লম্ববিন্দু থেকে যেকোনো শীর্ষের দূরত্ব ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে ঐ শীর্ষের বিপরীত বাহুর দূরত্বের দ্বিগুণ। এখানে, △PQR এর লম্ববিন্দু O থেকে P শীর্ষের দূরত্ব OP এবং পরিকেন্দ্র S থেকে P শীর্ষের বিপরীত বাহু QR এর লম্ব দূরত্ব SA। [গণিত] (i) এখন, যেহেতু PD ও SA উভয়ই QR এর উপর লম্ব সেহেতু DP || SA। এখন, DP || SA এবং PA এদের ছেদক। সুতরাং একান্তর কোণ হওয়ায়, ∠APD = ∠PAS, অর্থাৎ, ∠OPT = ∠SAT এখন, △ΡΤΟ এবং △ATS এর মধ্যে [গণিত] [বিপ্রতীপ কোণ] [গণিত] [একান্তর কোণ] ∴ অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] এবং [গণিত] সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। সুতরাং, [গণিত] সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান] অর্থাৎ, [গণিত] [(i) নং সমীকরণ হতে] অতএব, [গণিত] বা, [গণিত] অর্থাৎ, T বিন্দু PA মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করেছে। ∴ T বিন্দু △PQR এর ভরকেন্দ্র। অর্থাৎ, S, T, O একই সরলরেখায় অবস্থিত। [দেখানো হলো]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক