শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, [গণিত] এর একটি মধ্যমা [গণিত] যা [গণিত] কে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং [গণিত] , [গণিত] বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে অর্থাৎ, [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] অঙ্কন: শীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে [গণিত] এর উপর [গণিত] লম্ব আঁকি। প্রমাণ: [গণিত] এর [গণিত] স্থূলকোণ এবং [গণিত] রেখার বর্ধিতাংশের উপর [গণিত] রেখার লম্ব অভিক্ষেপ [গণিত] । [গণিত] স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে [গণিত] .. (i) আবার, [গণিত] এর [গণিত] সূক্ষ্মকোণ এবং [গণিত] রেখার উপর [গণিত] রেখার লম্ব অভিক্ষেপ [গণিত] । [গণিত] সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে [গণিত] .. (ii) এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে, AD2+BD2=12(AB2+AC2)\mathrm{AD}^{2} + \mathrm{BD}^{2} = \frac{1}{2}(\mathrm{AB}^{2} + \mathrm{AC}^{2})

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ΔABC\Delta \mathrm{ABC} এর একটি মধ্যমা AD\mathrm{AD} যা BC\mathrm{BC} কে D\mathrm{D} বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং BC\mathrm{BC}, D\mathrm{D} বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে অর্থাৎ, BD=DC\mathrm{BD} = \mathrm{DC}। প্রমাণ করতে হবে যে, AD2+BD2=12(AB2+AC2)\mathrm{AD}^{2} + \mathrm{BD}^{2} = \frac{1}{2}(\mathrm{AB}^{2} + \mathrm{AC}^{2}) অঙ্কন: শীর্ষবিন্দু A\mathrm{A} থেকে BC\mathrm{BC} এর উপর AP\mathrm{AP} লম্ব আঁকি। প্রমাণ: ΔADC\Delta \mathrm{ADC} এর ∠ADC\angle \mathrm{ADC} স্থূলকোণ এবং DC\mathrm{DC} রেখার বর্ধিতাংশের উপর AD\mathrm{AD} রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP\mathrm{DP}। ∴\therefore স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে AC2=AD2+DC2+2⋅DC⋅DP\mathrm{AC}^{2} = \mathrm{AD}^{2} + \mathrm{DC}^{2} + 2 \cdot \mathrm{DC} \cdot \mathrm{DP} ……..(i)\ldots\ldots.. (i) আবার, ΔABD\Delta \mathrm{ABD} এর ∠ADB\angle \mathrm{ADB} সূক্ষ্মকোণ এবং BD\mathrm{BD} রেখার উপর AD\mathrm{AD} রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP\mathrm{DP}। ∴\therefore সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে AB2=AD2+BD2−2⋅BD⋅DP\mathrm{AB}^{2} = \mathrm{AD}^{2} + \mathrm{BD}^{2} - 2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DP} ……..(ii)\ldots\ldots.. (ii) এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, AC2+AB2=AD2+DC2+2⋅DC⋅DP+AD2+BD2−2⋅BD⋅DP\mathrm{AC}^{2} + \mathrm{AB}^{2} = \mathrm{AD}^{2} + \mathrm{DC}^{2} + 2 \cdot \mathrm{DC} \cdot \mathrm{DP} + \mathrm{AD}^{2} + \mathrm{BD}^{2} - 2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DP} বা, AB2+AC2=2AD2+BD2+2⋅BD⋅DP+BD2−2⋅BD⋅DP[∵BD=DC]\mathrm{AB}^{2} + \mathrm{AC}^{2} = 2\mathrm{AD}^{2} + \mathrm{BD}^{2} + 2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DP} + \mathrm{BD}^{2} - 2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DP} \quad [\because \mathrm{BD}=\mathrm{DC}] বা, AB2+AC2=2AD2+2BD2\mathrm{AB}^{2} + \mathrm{AC}^{2} = 2\mathrm{AD}^{2} + 2\mathrm{BD}^{2} বা, AB2+AC2=2(AD2+BD2)\mathrm{AB}^{2} + \mathrm{AC}^{2} = 2(\mathrm{AD}^{2} + \mathrm{BD}^{2}) ∴AD2+BD2=12(AB2+AC2)\therefore \mathrm{AD}^{2} + \mathrm{BD}^{2} = \frac{1}{2}(\mathrm{AB}^{2} + \mathrm{AC}^{2}) [প্রমাণিত]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।