Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ করো যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস BD এবং [গণিত] অর্ধবৃত্ত কোণ হওয়ায় [গণিত] সমকোণ এখানে, [গণিত] সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ BD এবং [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: এখানে, [গণিত] . . . . . . . . (i) আবার, [গণিত] বলে [গণিত] -এ [গণিত] বা, [গণিত] . . . . . . . . (ii) (i) নং এবং (ii) নং হতে পাই, [গণিত] ΔBAM এরং [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] এবং [গণিত] সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। [গণিত] সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান [গণিত] অর্ঘাৎ, [গণিত] প্রমাণিত [গণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ করো যে,

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD ব্যাস।

Comilla · 2025

উত্তর

ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c এবং তিনটি মধ্যমা d, e, f হলে, অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য হতে ত্রিভুজের বাহু ও মধ্যমার সম্পর্ক: 3(a2+b2+c2)=4(d2+e2+f2)3\left(a^2+b^2+c^2\right)=4\left(d^2+e^2+f^2\right) এখন, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি মধ্যমা পরস্পর সমান এবং বাহুগুলো পরস্পর সমান। অর্থাৎ, a=b=c\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c} এবং d=e=f=3\mathrm{d}=\mathrm{e}=\mathrm{f}=3 সে.মি. ∴3(a2+a2+a2)=4( d2+d2+d2)\therefore3\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{a}^2+\mathrm{a}^2\right)=4\left(\mathrm{~d}^2+\mathrm{d}^2+\mathrm{d}^2\right) বা, 3×3a2=4×3 d23 \times 3 \mathrm{a}^2=4 \times 3 \mathrm{~d}^2 বা, 3a2=4 d23 \mathrm{a}^2=4 \mathrm{~d}^2 বা, a2=43 d2\mathrm{a}^2=\frac{4}{3} \mathrm{~d}^2 বা, a2=43×32[∵ d=3\mathrm{a}^2=\frac{4}{3} \times 3^2 \quad[\because \mathrm{~d}=3 সে.মি. ]] বা, a2=12\mathrm{a}^2=12. বা, a=12a=\sqrt{12} বা, a=4×3a=\sqrt{4 \times 3} ∴a=23\therefore a=2 \sqrt{3} সে.মি. ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি =a+a+a=a+a+a =3a=3 a =3×23=3 \times 2 \sqrt{3} =63=6 \sqrt{3} সে.মি. [Ans.]

উত্তর

question image উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে AB ও CD এবং AD ও BC । AC এবং BD চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC} প্রমাণ: ∠BAC\angle \mathrm{BAC} কে ∠DAC\angle \mathrm{DAC} থেকে ছোট ধরে নিয়ে A বিন্দুতে AD রেখাংশের সাথে ∠BAC\angle \mathrm{BAC}-এর সমান করে ∠DAE\angle \mathrm{DAE} আঁকি যেন AE রেখা BD কর্ণকে E বিন্দুতে ছেদ করে। অঙ্কন অনুসারে, ∠BAC=∠DAE\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAE} r উভয়পক্ষে ∠CAE\angle \mathrm{CAE} যোগ করে পাই, ∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAE}=\angle \mathrm{DAE}+\angle \mathrm{CAE} অর্থাৎ, ∠BAE=∠DAC\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{DAC} এখন, △ABE\triangle \mathrm{ABE} ও △ACD\triangle \mathrm{ACD} এর মধ্যে ∠BAE=∠DAC\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{DAC} ∠ABE=∠ACD\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{ACD} \quad [একই বৃত্তাংশহিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠AEB=\angle \mathrm{AEB}= অবশিষ্ট ∠ADC\angle \mathrm{ADC} ∴△ABE\therefore \triangle \mathrm{ABE} ও △ACD\triangle \mathrm{ACD} সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। BECD=ABAC[∵\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}[\because সদৃশ ত্রিভুজের অনুরপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান] অর্থাৎ, AC⋅BE=AB⋅CD\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BE}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} . . . . . . . . (i) আবার, △ABC\triangle \mathrm{ABC} ও △AED\triangle \mathrm{AED} এর মধ্যে ∠BAC=∠DAE\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAE} [অঙ্কন অনুসারে] ∠ACB=∠ADE\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADE} [একই বৃত্তাংশস্থিত কোন সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠ABC=\angle \mathrm{ABC}= অবশিষ্ট ∠AED\angle \mathrm{AED} △ABC\triangle \mathrm{ABC} ও △AED\triangle \mathrm{AED} সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। ∴ADAC=EDBC[∵\therefore \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{BC}} \quad[\because সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুলোর অনুপাত সমান] অর্থাৎ, AC⋅ED=BC⋅AD\mathrm{AC} \cdot \mathrm{ED}=\mathrm{BC} \cdot \mathrm{AD} . . . . . . . . (ii) এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, AC⋅BE+AC⋅ED=AB⋅CD+BC⋅AD\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BE}+\mathrm{AC} \cdot \mathrm{ED}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{AD} বা, AC(BE+ED)=AB⋅CD+BC⋅AD\mathrm{AC}(\mathrm{BE}+\mathrm{ED})=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{AD} ∴AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC[∵BE+ED=BD]\therefore \mathbf{A C} \cdot \mathbf{B D}=\mathbf{A B} \cdot \mathbf{C D}+\mathbf{A D} \cdot \mathbf{B C}[\because \mathrm{BE}+\mathrm{ED}=\mathrm{BD}] [প্রমাণিত]

উত্তর

question image উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস BD এবং ∠BAD\angle \mathrm{BAD} অর্ধবৃত্ত কোণ হওয়ায় ∠BAD=1\angle \mathrm{BAD}=1 সমকোণ এখানে, △BAD\triangle \mathrm{BAD} সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ BD এবং AM⊥BD\mathrm{AM} \perp \mathrm{BD} । প্রমাণ করতে হবে যে, AM2=BM⋅DM\mathrm{AM}^2=\mathrm{BM} \cdot \mathrm{DM} প্রমাণ: এখানে, ∠BAD=90∘\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ} ∴∠BAM+∠MAD=90∘\therefore \angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{MAD}=90^{\circ} . . . . . . . . (i) আবার, AM⊥BD\mathrm{AM} \perp \mathrm{BD} বলে ∠BMA=∠AMD=90∘\angle \mathrm{BMA}=\angle \mathrm{AMD}=90^{\circ} △BAM\triangle \mathrm{BAM}-এ ∠BMA+∠BAM+∠ABM=180∘\angle \mathrm{BMA}+\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ABM}=180^{\circ} বা, 90∘+∠BAM+∠ABM=180∘90^{\circ}+\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ABM}=180^{\circ} [∵∠BMA=90∘]\left[\because \angle \mathrm{BMA}=90^{\circ}\right] ∴∠BAM+∠ABM=90∘\therefore \angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ABM}=90^{\circ} . . . . . . . . (ii) (i) নং এবং (ii) নং হতে পাই, ∠BAM+∠MAD=∠BAM+∠ABM\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{MAD}=\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{ABM} ∴∠MAD=∠ABM\therefore \angle \mathrm{MAD}=\angle \mathrm{ABM} ΔBAM এরং △AMD\triangle \mathrm{AMD} ∠BMA=∠AMD=90∘[∵AM⊥BD]\angle \mathrm{BMA}=\angle \mathrm{AMD}=90^{\circ}[\because \mathrm{AM} \perp \mathrm{BD}] ∠ABM=∠MAD\angle \mathrm{ABM}=\angle \mathrm{MAD} অবশিষ্ট ∠BAM=\angle \mathrm{BAM}= অবশিষ্ট ∠MDA\angle \mathrm{MDA} ∴△BAM\therefore \triangle \mathrm{BAM} এবং △AMD\triangle \mathrm{AMD} সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। ∴ABAD=AMDM=BMAM[∵\therefore \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DM}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{AM}}[\because সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান ]] অর্ঘাৎ, AMDM=BMAM\frac{\mathbf{A M}}{\mathbf{D M}}=\frac{\mathbf{B M}}{\mathbf{A M}} ∴AM2=BM⋅DM[\therefore \mathbf{A M}^{\mathbf{2}}=\mathbf{B M} \cdot \mathbf{D M}[ প্রমাণিত ]]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন