Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, [গণিত] এ [গণিত] এবং [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: এখানে, [গণিত] . [গণিত] . . . . . . . . (i) আবার, [গণিত] বলে [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] . . . . . . . . (ii) (i) নং এবং (ii) নং হতে পাই, [গণিত] [উভয়পক্ষ হতে [গণিত] বিয়োগ করে] [গণিত] এবং [গণিত] এ [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] এবং [গণিত] সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। [গণিত] সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান] অর্থাৎ, [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-৩ : জ্যামিতি · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠PQR=90∘\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ} এবং L,M\mathrm{L}, \mathrm{M} ও N যথাক্রমে QR,PR\mathrm{QR}, \mathrm{PR} ও PQP Q এর মধ্যবিন্দু।

Sylhet · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, পরিবৃত্তের ব্যাস = 12 সে.মি. ∴ পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ, R=122=6R=\frac{12}{2}=6 সে.মি. আমরা জানি, নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধের অর্ধেকের সমান। ∴\therefore নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ, r=R2\mathrm{r}=\frac{\mathrm{R}}{2} =62=\frac{6}{2} সে.মি. =3=3সে.মি. ∴\therefore নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল =πr2=\pi \mathrm{r}^2 বর্গ একক =3.1416×(3)2=3.1416 \times(3)^2 বর্গ সে.মি. =3.1416×9=3.1416 \times 9 বর্গ সে.মি. =28.27=28.27 বর্গ সে.মি. (প্রায়) [Ans.]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: মনে করি, △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর ∠PQR=90∘\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ} এবং QR , PRP R ও PQP Q বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a,ba, b ও c। QR,PRQ R, P R ও PQP Q বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা PL, QM ও RN এর দৈর্ঘ্য যথাত্রমে d, e ও f । প্রমাণ করতে হবে যে, PL2+QM2+RN2=32PR2\mathrm{PL}^2+\mathrm{QM}^2+\mathrm{RN}^2=\frac{3}{2} \mathrm{PR}^2 প্রমাণ: △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর ক্ষেত্রে অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে পাই, PQ2+PR2=2(PL2+QL2)P Q^2+P R^2=2\left(P L^2+Q L^2\right) বা, c2+b2=2[d2+(12a)2][∵PQ=c,PR=b,PL=dc^2+b^2=2\left[d^2+\left(\frac{1}{2} a\right)^2\right] \quad[\because P Q =c, P R=b, P L=d এবং QL=12a]Q L=\frac{1}{2} a] বা, b2+c2=2d2+2⋅14a2b^2+c^2=2 d^2+2 \cdot \frac{1}{4} a^2 বা, b2+c2=2d2+a22b^2+c^2=2 d^2+\frac{a^2}{2} বা, 2b2+2c2=4d2+2⋅a222 b^2+2 c^2=4 d^2+2 \cdot \frac{a^2}{2} [2 দ্বারা গুণ করে] বা, 2( b2+c2)=4 d2+a22\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2\right)=4 \mathrm{~d}^2+\mathrm{a}^2 বা, 4 d2=2( b2+c2)−a24 \mathrm{~d}^2=2\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2\right)-\mathrm{a}^2 ∴d2=2(b2+c2)−a24\therefore d^2=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4} . . . . . . . (i) অনুরূপভাবে পাওয়া যায়, e2=2(c2+a2)−b24e^2=\frac{2\left(c^2+a^2\right)-b^2}{4} . . . . . . . (ii) এবং f2=2(a2+b2)−c24\mathrm{f}^2=\frac{2\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2\right)-\mathrm{c}^2}{4} . . . . . . . (iii) এখন, (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, d2+e2+f2=2(b2+c2)−a24+2(c2+a2)−b24+2(a2+b2)−c24d^2+e^2+f^2=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}+\frac{2\left(c^2+a^2\right)-b^2}{4}+\frac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4} বা, d2+e2+f2=2 b2+2c2−a2+2c2+2a2−b2+2a2+2 b2−c24\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2=\frac{2 \mathrm{~b}^2+2 \mathrm{c}^2-\mathrm{a}^2+2 \mathrm{c}^2+2 \mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2+2 \mathrm{a}^2+2 \mathrm{~b}^2-\mathrm{c}^2}{4} বা, d2+e2+f2=3a2+3 b2+3c24\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2=\frac{3 \mathrm{a}^2+3 \mathrm{~b}^2+3 \mathrm{c}^2}{4} বা, d2+e2+f2=34(a2+b2+c2)\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2=\frac{3}{4}\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2\right) বা, 34(a2+b2+c2)=d2+e2+f2\frac{3}{4}\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2\right)=\mathrm{d}^2+\mathrm{e}^2+\mathrm{f}^2 বা, a2+b2+c2=43(d2+e2+f2)a^2+b^2+c^2=\frac{4}{3}\left(d^2+e^2+f^2\right) . . . . . . . (iv) ∴πr2h=1385.442\therefore \pi r^2 h=1385.442 বা, r2=1385.442π×21r^2=\frac{1385.442}{\pi \times 21} বা, r2=21r^2=21 ∴r=4.58\therefore r=4.58 সে.মি. (প্রায়) অতএব, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 4.58 সে.মি. (প্রায়)। [Ans.]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, △PQR\triangle \mathrm{PQR} এ ∠PQR=90∘\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ} এবং QM⊥PR\mathrm{QM} \perp \mathrm{PR} । প্রমাণ করতে হবে যে, QM2−PM⋅RM=0\mathrm{QM}^2-\mathrm{PM} \cdot \mathrm{RM}=0 প্রমাণ: এখানে, ∠PQR=90∘\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}. ∴∠PQM+∠MQR=90∘\therefore \angle \mathrm{PQM}+\angle \mathrm{MQR}=90^{\circ} . . . . . . . . (i) আবার, QM⊥PR\mathrm{QM} \perp \mathrm{PR} বলে ∠PMQ=∠QMR=90∘\angle \mathrm{PMQ}=\angle \mathrm{QMR}=90^{\circ} এখন, △PQM−Ω∠PMQ+∠PQM+∠QPM=180∘\triangle \mathrm{PQM}-\Omega \angle \mathrm{PMQ}+\angle \mathrm{PQM}+\angle \mathrm{QPM}=180^{\circ} বা, 90∘+∠PQM+∠QPM=180∘90^{\circ}+\angle \mathrm{PQM}+\angle \mathrm{QPM}=180^{\circ} ∴∠PQM+∠QPM=90∘\therefore \angle \mathrm{PQM}+\angle \mathrm{QPM}=90^{\circ} . . . . . . . . (ii) (i) নং এবং (ii) নং হতে পাই, ∠PQM+∠MQR=∠PQM+∠QPM\angle \mathrm{PQM}+\angle \mathrm{MQR}=\angle \mathrm{PQM}+\angle \mathrm{QPM} ∴∠MQR=∠QPM\therefore \angle \mathrm{MQR}=\angle \mathrm{QPM} [উভয়পক্ষ হতে ∠PQM\angle \mathrm{PQM} বিয়োগ করে] △PQM\triangle \mathrm{PQM} এবং △QMR\triangle \mathrm{QMR} এ ∠PMQ=∠QMR=90∘[∵QM⊥PR]\angle \mathrm{PMQ}=\angle \mathrm{QMR}=90^{\circ}[\because \mathrm{QM} \perp \mathrm{PR}] ∠QPM=∠MQR\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{MQR} অবশিষ্ট ∠PQM=\angle \mathrm{PQM}= অবশিষ্ট ∠MRQ\angle \mathrm{MRQ} ∴△PQM\therefore \triangle \mathrm{PQM} এবং △QMR\triangle \mathrm{QMR} সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ। ∴PQQR=QMRM=PMQM[∵\therefore \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{RM}}=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{QM}}[\because সদৃশ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান] অর্থাৎ, QMRM=PMQM\frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{RM}}=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{QM}} ∴QM2=PM⋅RM\therefore \mathrm{QM}^2=\mathrm{PM} \cdot \mathrm{RM} ∴QM2−PM⋅RM=0\therefore \mathbf{Q M}^{\mathbf{2}}-\mathbf{P M} \cdot \mathbf{R M}=\mathbf{0} [প্রমাণিত]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-৩ : জ্যামিতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

△88△ABC\triangle 88 \triangle \mathrm{ABC} এর ∠C=90∘\angle \mathrm{C}=90^{\circ} এবং BC,AC\mathrm{BC}, \mathrm{AC} ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R।

Jessore · 2016

ক
উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AC2+BC2)=2(AP2+BQ2+CR2)\mathrm{3\left(A C^2+B C^2\right)=2\left(A P^2+B Q^2+C R^2\right)}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

প্রমাণ কর যে, AB2=PA2+PB2+2PB.PC\mathrm{A B^2=P A^2+P B^2+2 P B . P C}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △POR\triangle \mathrm{POR} এ ∠OPR=90∘\angle \mathrm{OPR}=90^{\circ}

Rajshahi · 2016

ক
∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]
খ
প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}
গ
প্রমাণ কর যে, PQ2=OQ.QR\mathrm{P Q^2=O Q . Q R}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

প্রমাণ কর যে, PR2=PO2+OR2−2OR.OQ.\mathrm{P R^2=P O^2+O R^2-2 O R . O Q .}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে BD=ED=CE\mathrm{BD}=\mathrm{ED}=\mathrm{CE} এবং AD⊥BC\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}.

Barisal · 2017

ক
DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.
গ
প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2−2BC⋅BD\mathrm{A C^2=A B^2+B C^2-2 B C \cdot B D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AD2+AE2+4DE2\mathrm{A B^2+A C^2=A D^2+A E^2+4 D E^2}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

DE=2D E=2 সে.মি. এবং AD=3A D=3 সে.মি. হলে, ACA C এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∆ABC এর AD,BE\mathrm{AD, BE} এবং CF\mathrm{CF} মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G\mathrm{G} বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Jessore · 2017

ক
GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}
গ
প্রমাণ কর যে, 3(AB2+BC2+AC2)=4(AD2+BE2+CF2)\mathrm{3\left(A B^2+B C^2+A C^2\right)=4\left(A D^2+B E^2+C F^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

প্রমাণ কর যে, AB2+BC2=2(AE2+BE2)\mathrm{A B^2+B C^2=2\left(A E^2+B E^2\right)}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .উদ্দীপকের আলোকে নিখুঁত চিহ্নিত চিত্র আঁক।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]∆POR এর লম্ববিন্দু নির্ণয় কর। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক]প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] সে.মি. এবং [গণিত] সে.মি. হলে, [গণিত] এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।প্রমাণ কর যে, [গণিত]প্রমাণ কর যে, [গণিত]GD = 2 সে.মি. হলে AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন