নাঈমের বক্তব্য বিশ্লেষণপূর্বক যাচাই করো।
উত্তর: ধরি, C = মুদ্রায় একই পিঠ বা ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা। C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: HH 1, HH 3, HH 5, TT 1, TT 3, TT 5 [গণিত] আবার, D = মুদ্রায় বিপরীত পিঠ ও ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা। D ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: HT 2, HT 4, HT 6, TH 2, TH 4, TH 6 [গণিত] এখানে, [গণিত] । সুতরাং, মুদ্রায় একই পিঠ বা ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা এবং মুদ্রায় বিপরীত পিঠ বা ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা সমান। অতএব, নাঈমের বক্তব্য সঠিক ছিল।
HSC Statistics 2nd Paper Chapter 1: সম্ভাবনা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Statistics 2nd Paper · Chapter 1: সম্ভাবনা · সৃজনশীল
নাঈমের বক্তব্য বিশ্লেষণপূর্বক যাচাই করো।
উদ্দীপক
তাইম ও নাঈম দুই ভাই। তাইম 2টি মুদ্রা ও ।টি ছক্কা একত্রে একবার নিক্ষেপ করলো। নাঈম দাবি করল যে, মুদ্রায় একই পিঠ বা ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা এবং মুদ্রায় বিপরীত পিঠ বা ছক্কায় জোড় সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা সমান।
উত্তর
ঘটনা কে তখনই ঘটনা A এর পরিপূরক (বা পূরক) ঘটনা বলা হবে যখন A এর নমুনা বিন্দুগুলো ঘটনা এর মধ্যে থাকবে না কিন্তু নমুনাক্ষেত্রে থাকবে।
উত্তর
ধরি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A একটি ঘটনা।
নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান বা ফলাফলসংখ্যা = n
A ঘটনার অনুকূল উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা = m
∴ A ঘটনার সম্ভাবনা,
\end{if}]-->\end{if}]-->
\end{if}]-->\end{if}]-->
A ঘটনাটি এমন হতে পারে যে,
(i) A-এর অনুকূলে কোনো উপাদান বা ফলাফল নেই, অর্থাৎ m = 0
(ii) নমুনাক্ষেত্রের সকল উপাদান বা ফলাফল A-এর অনুকূলে অর্থাৎ m = n
(iii) নমুনাক্ষেত্রের কিছু উপাদান বা ফলাফল A-এর অনুকূলে অর্থাৎ 0 < m < n
\end{if}]-->\end{if}]-->
সুতরাং m-এর মান 0 থেকে n-এর মধ্যে থাকবে।
অর্থাৎ,
বা,
অর্থাৎ সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান বা ফলাফলসংখ্যা = n
A ঘটনার অনুকূল উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা = m
∴ A ঘটনার সম্ভাবনা,
\end{if}]-->\end{if}]-->\end{if}]-->\end{if}]-->
A ঘটনাটি এমন হতে পারে যে,
(i) A-এর অনুকূলে কোনো উপাদান বা ফলাফল নেই, অর্থাৎ m = 0
(ii) নমুনাক্ষেত্রের সকল উপাদান বা ফলাফল A-এর অনুকূলে অর্থাৎ m = n
(iii) নমুনাক্ষেত্রের কিছু উপাদান বা ফলাফল A-এর অনুকূলে অর্থাৎ 0 < m < n
\end{if}]-->\end{if}]-->
সুতরাং m-এর মান 0 থেকে n-এর মধ্যে থাকবে।
অর্থাৎ,
বা,
অর্থাৎ সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।উত্তর
দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ নির্ণেয় নমুনাক্ষেত্রটি হবে নিম্নরূপ :
নমুনাক্ষেত্রের মোট নুমনা বিন্দুর সংখ্যা ।
ধরি, মুদ্রায় একই পিঠ ও ছক্কায় 3 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা।
A ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH 3, HH 6, TT 3, TT 6
আবার, B = মুদ্রায় বিপরীত পিঠ ও ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা।
B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HT 2, HT 4, HT 6, TH 2, TH 4, TH 6
ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, ।
যেহেতু । সুতরাৎ, A ও B ঘটনা দুটি বর্জনশীল।
নমুনাক্ষেত্রের মোট নুমনা বিন্দুর সংখ্যা ।
ধরি, মুদ্রায় একই পিঠ ও ছক্কায় 3 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা।
A ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH 3, HH 6, TT 3, TT 6
আবার, B = মুদ্রায় বিপরীত পিঠ ও ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা।
B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HT 2, HT 4, HT 6, TH 2, TH 4, TH 6
ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, ।
যেহেতু । সুতরাৎ, A ও B ঘটনা দুটি বর্জনশীল।উত্তর
ধরি, C = মুদ্রায় একই পিঠ বা ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা।
C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: HH 1, HH 3, HH 5, TT 1, TT 3, TT 5
আবার, D = মুদ্রায় বিপরীত পিঠ ও ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা।
D ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: HT 2, HT 4, HT 6, TH 2, TH 4, TH 6
এখানে, । সুতরাং, মুদ্রায় একই পিঠ বা ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা এবং মুদ্রায় বিপরীত পিঠ বা ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা সমান।
অতএব, নাঈমের বক্তব্য সঠিক ছিল।