Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ত্রিঘাত সমীকরণটি থেকে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] (i) নং ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় [গণিত] হলে, [গণিত] [(ii) নং (iii) নং এবং (iv) নং হতে] [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

ত্রিঘাত সমীকরণটি থেকে এর মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

px2+qx+1=0p x^2+q x+1=0 ও qx2+px+1=0q x^2+p x+1=0 দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং x3+ax2+bx+c=0x^3+a x^2+b x+c=0 ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma

উত্তর

দেওয়া আছে, দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল =−5−1=\sqrt{-5}-1 ∴\therefore দ্বিঘাত সমীকরণের অপর একটি মূল =−−5−1=-\sqrt{-5}-1 ∴\therefore দ্বিঘাত সমীকরণটি হল : x2−(−5−1−−5−1)x+(−5−1)×−−5−1)=0x^{2}-(\sqrt{-5}-1-\sqrt{-5}-1) x+(\sqrt{-5}-1) \times -\sqrt{-5}-1)=0 ⇒x2−(−2)x+{(−1)2−(−5)2}=0\Rightarrow x^{2}-(-2) x+\left\{(-1)^{2}-(\sqrt{-5})^{2}\right\}=0 ⇒x2+2x+{1−(−5)}=0\Rightarrow x^{2}+2 x+\{1-(-5)\}=0 ⇒x2+2x+6=0\Rightarrow x^{2}+2 x+6=0

উত্তর

ধরি, px2+qx+1=0p x^2+q x+1=0 এবং qx2+px+1=0q x^2+p x+1=0 সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল α\alpha কাজেই α\alpha দ্বারা সমীকরণের সিদ্ধ হবে। ∴pα2+qα+1=0….(1)\therefore p \alpha^{2}+q \alpha+1 =0 \ldots. (1) এবং qα2+pα+1=0….(11)q \alpha^{2}+p \alpha+1 =0 \ldots. (11) (i) নং ও (ii) নং সমীকরণকে বজ্রগুণন করে পাই, α2q−p=αp−q=1p2−q2\frac{\alpha^{2}}{q-p}=\frac{\alpha}{p-q}=\frac{1}{p^{2}-q^{2}} \Rightarrow \frac{\alpha^{2}}{-(p-2)}=\frac{\alpha}{p-q}=\frac{1}{(p+q}(p-q)} ⇒α2−1=α1=1p+2[∵p≠2]\Rightarrow \frac{\alpha^{2}}{-1}=\frac{\alpha}{1}=\frac{1}{p+2}[\because p \neq 2] ১ম ও ২য় সম্পর্ক হতে পাই, এবং হয় ও ৩য় সম্পর্ক হতে পাই, α2−1=α1α1=1p+2⇒α2α=−1⇒x=p+2⇒α=−1\begin{array}{rlrl}\frac{\alpha^2}{-1}=\frac{\alpha}{1} & & \frac{\alpha}{1}=\frac{1}{p+2} \\ \Rightarrow \frac{\alpha^2}{\alpha}=-1 & \Rightarrow x=p+2 \\ \Rightarrow \alpha=-1 & & \end{array} শর্তমতে, p+q=−1p+q =-1 ∴p+q+1=0\therefore p+q+1 =0 (দেখানো হল)

উত্তর

দেওয়া আছে, x3+ax2+bx+c=0….(1)x^{3}+a x^{2}+b x+c=0 \ldots. (1) (i) নং ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় α,B,γ\alpha, B, \gamma হলে, α+β+γ=−a…..(ii)\alpha+\beta+\gamma=-a \ldots.. (ii) αβ+βγ+γα=b….(iii)\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=b \ldots. (iii) αβγ=−c….(iv)\alpha \beta \gamma=-c \ldots. (iv) ∑α3=α3+β3+γ3\sum \alpha^{3}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} =α3+β3+γ3−3αβγ+3αβγ=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3 \alpha \beta \gamma+3 \alpha \beta \gamma =(α+β+γ)(α2+β2+γ2−αβ+Bγ+γα)+3αβγ=(\alpha+\beta+\gamma)\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta+B \gamma+\gamma \alpha\right) +3 \alpha \beta \gamma =(α+β+γ)}(α+β+γ)2−2(αβ+Bγ+γα)−(αB+Bγ+γα)}+3αBγ=(\alpha+\beta+\gamma)\}(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha \beta+B \gamma+\gamma \alpha) -(\alpha B+B \gamma+\gamma \alpha)\}+3 \alpha B \gamma =(α+β+γ){(α+β+γ)2−3(αβ+βγ+γα)}+3αβγ=(\alpha+\beta+\gamma)\left\{(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-3(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right\}+3 \alpha \beta \gamma =(−a){(−a)2−3⋅b}+3(−c)=(-a)\left\{(-a)^{2}-3 \cdot b\right\}+3(-c) [(ii) নং (iii) নং এবং (iv) নং হতে] =−a(a2−3b)−3c=-a\left(a^{2}-3 b\right)-3 c =−a3+3ab−3c=-a^{3}+3 a b-3 c =3ab−a3−3c=3 a b-a^{3}-3 c
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

g(x)=psin⁡−1x;h(x)=cos⁡xg(x)=p \sin^{-1} x ; h(x)=\cos x

Barisal · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}
খ
g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.
গ
2{ h(x)}2+{h(2x)}2=22\{\mathrm{~h}(\mathrm{x})\}^2+\{\mathrm{h}(\mathrm{2x})\}^2=2 সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x4−13x3+61x2−107x+58,g(x)=x1−4x+3x2f(x)=x^4-13 x^3+61 x^2-107 x+58, g(x)=\frac{x}{1-4 x+3 x^2}

Barisal · 2017

ক
উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।
খ
f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।
গ
g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x2+bx+c=0x^2+b x+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta

Chittagong · 2017

ক
উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?
খ
c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
গ
এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় α+1β\alpha+\frac{1}{\beta} ও β+1α\beta+\frac{1}{\alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=2+4i−i2\mathrm{z}=2+4 \mathrm{i}-\mathrm{i}^2 দৃশ্যকল্প-২: px2+qx+r=0p x^2+q x+r=0

Rajshahi · 2017

ক
এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta হলে 2α,2β\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।[গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত]g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত][গণিত] এর মূল দুইটি [গণিত] , [গণিত] এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] হলে [গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা [গণিত] সঠিক কী না যাচাই কর। যেখাএককের জটিল ঘনমূল [গণিত] , [গণিত] ² হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন