Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ Higher Math 2nd Paper

HSC Higher Math 2nd Paper এর Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৮৩৩

প্রশ্ন

Higher Math 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

g(x)=psin⁡−1x;h(x)=cos⁡xg(x)=p \sin^{-1} x ; h(x)=\cos x

Barisal · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

উত্তর

বামপক্ষ sec⁡−152+tan⁡−112\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2} =tan⁡−112+tan⁡−112=2tan⁡−112\begin{aligned} & =\tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2} \\ & =2 \tan^{-1} \frac{1}{2}\end{aligned} question image =tan⁡−12⋅121−(12)2=tan⁡−111−14=tan⁡−1134\begin{aligned} & =\tan^{-1} \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\ & =\tan^{-1} \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\tan^{-1} \frac{1}{\frac{3}{4}}\end{aligned} =tan⁡−143=cot⁡−134= ডানপক্ষ ∴sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134 (প্রমাণিত) \begin{aligned} & =\tan^{-1} \frac{4}{3}=\cot^{-1} \frac{3}{4}=\text{ ডানপক্ষ } \\ \therefore & \sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4} \text{ (প্রমাণিত) }\end{aligned}
খ
g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

উত্তর

দেওয়া আছে, p=12p=\frac{1}{2} এবং g(x)=psin⁡−1x=12sin⁡−1xg(x)=p \sin^{-1} x=\frac{1}{2} \sin^{-1} x যেখানে −1≤x≤1-1 \leq x \leq 1. ধরি, y=12sin⁡−1x\mathrm{y}=\frac{1}{2} \sin^{-1} \mathrm{x}. x এর বিভিন্ন মানের জন্য প্রতিসঙ্গী y এর মানগুলো নির্ণয় করি। question image ছক কাগজের x অক্ষ বরাবর 10 ঘর = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর 1 ক্ষুদ্রতম ঘর = 5∘5^{\circ} একক ধরে প্রাপ্ত x ও y এর মানগুলি বসিয়ে y=12sin⁡−1x\mathrm{y}=\frac{1}{2} \sin^{-1} \mathrm{x} এর লেখচিত্র পাওয়া যায়। question image
গ
2{ h(x)}2+{h(2x)}2=22\{\mathrm{~h}(\mathrm{x})\}^2+\{\mathrm{h}(\mathrm{2x})\}^2=2 সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।

উত্তর

দেওয়া আছে, h(x) = cosx ∴h(2x)=cos⁡2x\therefore h(2 x)=\cos 2 x প্রদত্ত সমীকরণ, 2{ h(x)}2+{h(2x)}2=22\{\mathrm{~h}(\mathrm{x})\}^2+\{\mathrm{h}(2 \mathrm{x})\}^2=2 বা, 2cos⁡2x+cos⁡22x=22 \cos^2 \mathrm{x}+\cos^2 2 \mathrm{x}=2 বা, 1+cos⁡2x+cos⁡22x−2=01+\cos 2 x+\cos^2 2 x-2=0 বা, cos⁡22x+cos⁡2x−1=0\cos^2 2 \mathrm{x}+\cos 2 \mathrm{x}-1=0 বা, cos⁡2x=−1±12−4⋅1⋅(−1)2.1\cos 2 x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot(-1)}}{2.1} =−1±52=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} কিন্তু, −1−52\frac{-1-\sqrt{5}}{2} গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা তা -1 অপেক্ষা ছোট মান এবং cos⁡θ\cos \theta এর সীমা -1 হতে 1 পর্যন্ত। ∴cos⁡2x=−1+52\therefore \cos 2 x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} বা, cos⁡2x=cos⁡α[\cos 2 x=\cos \alpha\left[\right. [ধরি, α=cos⁡−1(−1+52)]\left.\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\right] বা, 2x=2nπ±α2 \mathrm{x}=2 \mathrm{n} \pi \pm \alpha. ∴x=nπ±α2\therefore \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi \pm \frac{\alpha}{2} যেখানে α=cos⁡−1(−1+52)\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right) এবং n∈Un \in U (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

f(x)=x4−13x3+61x2−107x+58,g(x)=x1−4x+3x2f(x)=x^4-13 x^3+61 x^2-107 x+58, g(x)=\frac{x}{1-4 x+3 x^2}

Barisal · 2017

ক
উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

পৃথায়ক: ax² + bx + c = 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ এর মূলদ্বয়, −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} যেখানে, a, b, c বাস্তব সংখ্যা। এখানে, '\sqrt^{\prime} এর ভিতরের রাশি b2– 4ac এর মানের উপর ভিত্তি করে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি পরিবর্তিত হয়। এর মান পর্যালোচনা করে মূলের প্রকৃতি নিশ্চিতভাবে নিরূপণ করা যায়। এ কারণে একে পৃথায়ক বলা হয়। ∴ax2+bx+c=0\therefore \mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 এর পৃথায়ক, b2−4ac\mathrm{b}^2-4 \mathrm{ac} উদাহরণ: x2−x−6x^2-x-6 রাশিটির পৃথায়ক =(−1)2−4.1(−6)=(-1)^2-4.1(-6) = 1 + 24 = 25
খ
f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x4−13x3+61x2−107x+58f(x)=x^4-13 x^3+61 x^2-107 x+58 এবং f(x)=0f(\mathrm{x})=0 ∴x4−13x3+61x2−107x+58=0\therefore \mathrm{x}^4-13 \mathrm{x}^3+61 \mathrm{x}^2-107 \mathrm{x}+58=0 …..(i)\ldots.. (i) সমীকরণটির একটি মূল 5 + 2i হলে অপর একটি মূল হবে 5–2i. মনে করি, সমীকরণটির অবশিষ্ট মূল দুইটি α,β\alpha, \beta ∴ মূলগুলির যোগফল, 5 + 2i + 5 – 2i + α+β=13…..(ii)\alpha + \beta = 13 \ldots.. (ii) আবার, মূলগুলির গুণফল, (5 + 2i) (5 – 2i) αβ=58\alpha\beta = 58 বা, (25−4i2)αβ=58\left(25-4 \mathrm{i}^2\right) \alpha \beta=58 বা, {25−4(−1)}αβ=58\{25-4(-1)\} \alpha \beta=58 বা, 29αβ=58∴αβ=2……29 \alpha \beta=58 \quad \therefore \alpha \beta=2 \ldots \ldots (iii) এখন, (α−β)2=(α+β)2−4αβ=32−4.2=1(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4 \alpha \beta=3^2-4.2=1 ∴α−β=±1\therefore \alpha-\beta= \pm 1 (+) চিহ্ন ব্যবহার করে পাই, α−β=1\alpha-\beta=1 ... ... (iv) (ii) ও (iv) যোগ করে পাই, 2α=4∴α=22 \alpha=4 \quad \therefore \alpha=2 α\alpha এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, 2+β=3∴β=12+\beta=3 \quad \therefore \beta=1 (-) চিহ্ন ব্যবহার করেও একই মূল পাওয়া যায়। ∴ নির্ণেয় অপর মূলগুলি 5 – 2i, 2, 1(Ans.)
গ
g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x1−4x+3x2g(x)=\frac{x}{1-4 x+3 x^2} \begin{aligned} & =\frac{x}{1-3 x-x+3 x^2}=\frac{x}{(1-3 x}(1-x)} \\ & =\frac{\frac{1}{3}}{(1-3 x)\left(1-\frac{1}{3}\right)}+\frac{1}{(1-x}(1-3)}\end{aligned} [cover-up rule এর সাহায্যে ] =121−3x+−121−x=12{(1−3x)−1−(1−x)−1}=12[{1+3x+(3x)2+…+(3x)r+…}−{1+x+x2+…+xr+…}]=12[1+3x+9x2+……+3r⋅xr+……−1−x−x2−……−xr−…]\begin{aligned} & =\frac{\frac{1}{2}}{1-3 x}+\frac{-\frac{1}{2}}{1-x}=\frac{1}{2}\left\{(1-3 x)^{-1}-(1-x)^{-1}\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left[\left\{1+3 x+(3 x)^2+\ldots+(3 x)^r+\ldots\right\}-\left\{1+x+x^2+\ldots+x^r+\ldots\right\}\right] \\ & =\frac{1}{2}\left[1+3 x+9 x^2+\ldots \ldots+3^r \cdot x^r+\ldots \ldots-1-x-x^2-\ldots \ldots-x^r-\ldots\right]\end{aligned} ∴ xr এর সহগ =12(3r−1)=\frac{1}{2}\left(3^{\mathrm{r}}-1\right) (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

x2+bx+c=0x^2+b x+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta

Chittagong · 2017

ক
উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উত্তর

আমরা জানি, ax2+bx+c=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 সমীকরণের নিশ্চায়ক b2−4ac\mathrm{b}^2-4 \mathrm{ac}. ∴x2+bx+c=0\therefore \mathrm{x}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 সমীকরণের নিশ্চায়ক b2−4.1.c=b2−4c\mathrm{b}^2-4.1 . \mathrm{c}=\mathrm{b}^2-4 \mathrm{c} (Ans.)
খ
c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ x2+bx+c=0x^2+b x+c=0 এর মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta ∴α+β=−b\therefore \alpha+\beta=-b এবং αβ=c\alpha \beta=\mathrm{c} এখন, c(x2+1)−(b2−2c)x=0\mathrm{c}\left(\mathrm{x}^2+1\right)-\left(\mathrm{b}^2-2 \mathrm{c}\right) \mathrm{x}=0 বা, cx2−(b2−2c)x+c=0c x^2-\left(b^2-2 c\right) x+c=0 বা, αβx2−{(α+β)2−2αβ}x+αβ=0\alpha \beta x^2-\left\{(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta\right\} x+\alpha \beta=0 বা, αβx2−(α2+2αβ+β2−2αβ)x+αβ=0\alpha \beta x^2-\left(\alpha^2+2 \alpha \beta+\beta^2-2 \alpha \beta\right) x+\alpha \beta=0 বা, αβx2−(α2+β2)x+αβ=0\alpha \beta x^2-\left(\alpha^2+\beta^2\right) x+\alpha \beta=0 বা, αβx2−α2x−β2x+αβ=0\alpha \beta x^2-\alpha^2 x-\beta^2 x+\alpha \beta=0 বা, αx(βx−α)−β(βx−α)=0\alpha x(\beta x-\alpha)-\beta(\beta x-\alpha)=0 বা, (αx−β)(βx−α)=0(\alpha x-\beta)(\beta x-\alpha)=0 ∴x=βα\therefore \mathrm{x}=\frac{\beta}{\alpha} এবং αβ\frac{\alpha}{\beta} ∴\therefore মূল দুইটি βα\frac{\beta}{\alpha} এবং αβ\frac{\alpha}{\beta} (Ans.)
গ
এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় α+1β\alpha+\frac{1}{\beta} ও β+1α\beta+\frac{1}{\alpha}

উত্তর

x2+bx+c=0x^2+b x+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta ∴α+β=−bαβ=c\begin{gathered}\therefore \alpha+\beta=-b \\ \alpha \beta=c\end{gathered} নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল, α+1β+β+1α=(α+β)+(1α+1β)=−b+β+ααβ=−b+−bc=−bc−bc\begin{aligned} \alpha+\frac{1}{\beta}+\beta+\frac{1}{\alpha}= & (\alpha+\beta)+\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right) \\ & =-b+\frac{\beta+\alpha}{\alpha \beta}=-b+\frac{-b}{c}=\frac{-b c-b}{c}\end{aligned} এবং মূলদ্বয়ের গুণফল (α+1β)(β+1α)\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right) =αβ+1+1+1αβ=c+2+1c=c2+2c+1c=(c+1)2c\begin{aligned} & =\alpha \beta+1+1+\frac{1}{\alpha \beta} \\ & =c+2+\frac{1}{c}=\frac{c^2+2 c+1}{c}=\frac{(c+1)^2}{c}\end{aligned} ∴(α+1β)\therefore\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right) ও (β+1α)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right) মূল বিশিষ্ট সমীকরণ, x2−−bc−bcx+(c+1)2c=0∴cx2+b(c+1)x+(c+1)2=0 (Ans.) \begin{gathered}x^2-\frac{-b c-b}{c} x+\frac{(c+1)^2}{c}=0 \\ \therefore c x^2+b(c+1) x+(c+1)^2=0 \text{ (Ans.) }\end{gathered}

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=2+4i−i2\mathrm{z}=2+4 \mathrm{i}-\mathrm{i}^2 দৃশ্যকল্প-২: px2+qx+r=0p x^2+q x+r=0

Rajshahi · 2017

ক
এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

আমরা জানি, এককের কাল্পনিক মূলদ্বয় ω=−1+−32\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2} এবং ω2=−1−−32\omega^2=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2} অর্থাৎ 2ω=−1+−32 \omega=-1+\sqrt{-3} এবং 2ω2=−1−−32 \omega^2=-1-\sqrt{-3} ∴(−1+−3)7+(−1−−3)7=(2ω)7+(2ω2)7=27ω7+27ω14=128(ω7+ω14)=128(ω+ω2)=128×(−1)=−128 (Ans.) \begin{aligned} \therefore \quad & (-1+\sqrt{-3})^7+(-1-\sqrt{-3})^7=(2 \omega)^7+\left(2 \omega^2\right)^7 \\ & =2^7 \omega^7+2^7 \omega^{14}=128\left(\omega^7+\omega^{14}\right) \\ & =128\left(\omega+\omega^2\right)=128 \times(-1) \\ & =-128 \text{ (Ans.) }\end{aligned}
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

উত্তর

দেওয়া আছে, z=2+4i−i2=2+4i−(−1)=2+4i+1=3+4i\begin{gathered}z=2+4 i-i^2=2+4 i-(-1) \\ =2+4 i+1=3+4 i\end{gathered} Z‾,z\overline{\mathrm{Z}}, \mathrm{z} এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা। ∴z‾=3−4i\therefore \quad \overline{\mathrm{z}}=3-4 \mathrm{i} z‾\overline{\mathrm{z}} এর বর্গমূল =3−4i=\sqrt{3-4 \mathrm{i}} ধরি, 3−4i=x+iy\sqrt{3-4} \mathrm{i}=x+\mathrm{iy}…(i)\ldots (i) বা, 3−4i=(x+ iy )2=x2+2xiy+i2y23-4 i=(x+\text{ iy })^2=x^2+2 x i y+i^2 y^2 ∴3−4i=(x2−y2)+2xiy\therefore \quad 3-4 i=\left(x^2-y^2\right)+2 x i y উভয় পক্ষের বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই, x2−y2=3……(ii)x^2 - y^2 = 3 \ldots\ldots (ii) এবং 2xy = - 4 এখন, (x2+y2)2=(x2−y2)2+4x2y2=(3)2+(2xy)2=9+(−4)2=9+16=25\begin{aligned}\left(x^2+y^2\right)^2= & \left(x^2-y^2\right)^2+4 x^2 y^2 \\ & =(3)^2+(2 x y)^2 \\ & =9+(-4)^2 \\ & =9+16=25\end{aligned} ∴x2+y2=±5\therefore \quad x^2+y^2= \pm 5 কিন্তু x2+y2≠−5x^2+y^2 \neq-5 কারণ দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴x2+y2=5\therefore \quad x^2+y^2=5
……(iii)(ii)\ldots\ldots (iii) (ii)
ও (iii) যোগ করে পাই, 4 - y2=3y^2 = 3 বা, y²=1 ∴ y=±1 x ও y এর মান (i) এ বসিয়ে পাই, ± 2 ±i ∴ বর্গমূলের মডুলাস =(±2)2+(±1)2=5=\sqrt{( \pm 2)^2+( \pm 1)^2}=\sqrt{5} ∴ z এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5}
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta হলে 2α,2β\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

2α\frac{2}{\alpha} এবং 2β\frac{2}{\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, 2α\frac{2}{\alpha} এবং 2β\frac{2}{\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ, x2−(2α+2β)x+2α×2β=0x^2-\left(\frac{2}{\alpha}+\frac{2}{\beta}\right) x+\frac{2}{\alpha} \times \frac{2}{\beta}=0 বা, x2−2(α+βαβ)x+4αβ=0x^2-2\left(\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}\right) x+\frac{4}{\alpha \beta}=0 বা, x2−2(−baca)x+4ca=0x^2-2\left(\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}\right) x+\frac{4}{\frac{c}{a}}=0 বা, x2+2bcx+4×ac=0x^2+\frac{2 b}{c} x+4 \times \frac{a}{c}=0 ∴cx2+2bx+4a=0\therefore \mathrm{cx}^2+2 \mathrm{bx}+4 \mathrm{a}=0

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো