Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এ [গণিত] সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ... (i) মনেকরি, (i) নং সমীকরণের একটি মূল [গণিত] অপর মূলটি [গণিত] . [গণিত] ... (ii) এবং [গণিত] .. (iii) এখন, [গণিত] [|(ii) নং ও (iii) নং হতে] [গণিত] আবার, (ii) নং সমীকরণকে ঘন করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এ সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গের সমান হলে, দেখাও যে, …

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=1x+1l−x−1 mf(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{l-\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{~m}} দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=x2+qpx+rp\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}}

Dinajpur · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, z=x+iyz=x+i y ∴z‾=x−iy\therefore \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{x}-\mathrm{iy} 1z=1x−iy\frac{1}{z}=\frac{1}{x-i y} =\frac{x+i y}{(x+i y}(x-i y)} [লব ও হরকে (x+iy)(x+i y) দ্বারা গুণ করে] =x+iyx2−(iy)2=\frac{x+i y}{x^{2}-(i y)^{2}} =x+iyx2−i2y2=\frac{x+i y}{x^{2}-i^{2} y^{2}} =x+iyx+y2[∵i2=−1]=\frac{x+i y}{x+y^{2}}\left[\because i^{2}=-1\right] =(xx2+y2)+i(yx2+y2)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)+i\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) Re⁡(1z)=1z\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{z} জটিল সংখ্যাটির বাস্তব অংশ =xx2+y2=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} এখন, Re⁡(1zˉ)=12\operatorname{Re}\left(\frac{1}{\bar{z}}\right)=\frac{1}{2} বা, xx2+y2=12\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2} বা, x2+y2=2xx^{2}+y^{2}=2 x বা, x2−2x+y2=0x^{2}-2 x+y^{2}=0 বা, (x2−2x+1)+y2=1\left(x^{2}-2 x+1\right)+y^{2}=1 বা, (x−1)2+y2=1(x-1)^{2}+y^{2}=1; যা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ, (x−1)2+y2=1(x-1)^{2}+y^{2}=1.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=1x+1l−x−1 mf(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{l-\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{~m}} আবার, f(x)=0f(x)=0 বা, 1x+1l−x−1 m=0\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{l-\mathrm{x}}-\frac{1}{\mathrm{~m}}=0 বা, m(l−x)+mx−x(l−x)mx(l−x)\frac{\mathrm{m}(l-\mathrm{x})+\mathrm{mx}-\mathrm{x}(l-\mathrm{x})}{\mathrm{mx}(l-\mathrm{x})} বা, ml−mx+mx−lx+x2mx(l−x)=0\frac{\mathrm{ml}-\mathrm{mx}+\mathrm{mx}-l \mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{mx}(l-\mathrm{x})}=0 বা, x2−lx+lm=0x^{2}-l x+l m=0 …….(i)\ldots\ldots. (i) মনে করি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta; যেখানে α>β\alpha>\beta. ∴α+β=−−l1=l\therefore \alpha+\beta=-\frac{-l}{1}=l αβ=lm⁡1=lm⁡\alpha \beta=\frac{\operatorname{lm}}{1}=\operatorname{lm} শর্তমতে, α−β=n\alpha-\beta=\mathrm{n} বা, (α−β)2=n2(\alpha-\beta)^{2}=\mathrm{n}^{2} [বর্গ করে] বা, (α+β)2−4αβ=n2(\alpha+\beta)^{2}-4 \alpha \beta=n^{2} বা, l2−4lm−n2=0l^{2}-4 l m-n^{2}=0, l=−(−4m)±(−4m)2−4.1(−n2)2.1l =\frac{-(-4 m) \pm \sqrt{(-4 m)^{2}-4.1\left(-n^{2}\right)}}{2.1}=4m±16m2+4n22=\frac{4 m \pm \sqrt{16 m^{2}+4 n^{2}}}{2} =4m±4(4m2+n2)2=\frac{4 m \pm \sqrt{4\left(4 m^{2}+n^{2}\right)}}{2} =4m±24m2+n22=2m±4m2+n2=\frac{4 m \pm 2 \sqrt{4 m^{2}+n^{2}}}{2}=2 m \pm \sqrt{4 m^{2}+n^{2}} ∴l=2m±4m2+n2\therefore l =2 m \pm \sqrt{4 m^{2}+n^{2}} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=x2+9px+rpg(x)=x^{2}+\frac{9}{p} x+\frac{r}{p} এবং g(x)=0g(x)=0 বা, x2+qpx+rp=0x^{2}+\frac{q}{p} x+\frac{r}{p}=0 বা, px2+qx+rp=0\frac{p x^{2}+q x+r}{p}=0 বা, px2+qx+r=0\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}=0 …...(i)\ldots... (i) মনেকরি, (i) নং সমীকরণের একটি মূল α\alpha ∴\therefore অপর মূলটি α2\alpha^{2} ∴α+α2=−qp\therefore \quad \alpha+\alpha^{2}=-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}. …...(ii)\ldots... (ii) এবং α×α˙2=rp\alpha \times \dot{\alpha}^{2}=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}} ∴α3=rp\therefore \quad \alpha^{3}=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}} ……..(iii)\ldots\ldots.. (iii) এখন, (p−qr−q)3=(p−qpr−qp)3\left(\frac{p-q}{r-q}\right)^{3}=\left(\frac{\frac{p-q}{p}}{\frac{r-q}{p}}\right)^{3} =(1−qprp−qp)3=\left(\frac{1-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}{\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}}-\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}\right)^{3} =(1+α+α2α3+α+α2)3=\left(\frac{1+\alpha+\alpha^{2}}{\alpha^{3}+\alpha+\alpha^{2}}\right)^{3} [|(ii) নং ও (iii) নং হতে] ={1+α+α2α(1+α+α2)}3=(1α)3=1α3=1rp=pr=\left\{\frac{1+\alpha+\alpha^{2}}{\alpha\left(1+\alpha+\alpha^{2}\right)}\right\}^{3}=\left(\frac{1}{\alpha}\right)^{3}=\frac{1}{\alpha^{3}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}}}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{r}} ∴pr=(p−qr−q)3\therefore \quad \frac{p}{r}=\left(\frac{p-q}{r-q}\right)^{3} আবার, (ii) নং সমীকরণকে ঘন করে পাই, (α+α2)3=(−qp)3\left(\alpha+\alpha^{2}\right)^{3}=\left(-\frac{q}{p}\right)^{3} বা, α3+(α2)3+3⋅α⋅α2(α+α2)=−q3p3\alpha^{3}+\left(\alpha^{2}\right)^{3}+3 \cdot \alpha \cdot \alpha^{2}\left(\alpha+\alpha^{2}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, α3+(α3)2+3α3(α+α2)=−q3p3\alpha^{3}+\left(\alpha^{3}\right)^{2}+3 \alpha^{3}\left(\alpha+\alpha^{2}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, rp+r2p2+3rp(−qp)=−q3p3\frac{r}{p}+\frac{r^{2}}{p^{2}}+\frac{3 r}{p}\left(-\frac{q}{p}\right)=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, rp+r2p2−3rqp2=−q3p3\frac{r}{p}+\frac{r^{2}}{p^{2}}-\frac{3 r q}{p^{2}}=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, rp+r2−3rqp2=−q3p3\frac{r p+r^{2}-3 r q}{p^{2}}=-\frac{q^{3}}{p^{3}} বা, −r(3q−p−r)=−q3p-r(3 q-p-r)=-\frac{q^{3}}{p} ∴3q−p−r=q3pr\therefore 3 \mathrm{q}-\mathrm{p}-\mathrm{r}=\frac{\mathrm{q}^{3}}{\mathrm{pr}} pr=(p−qr−q)3\frac{p}{r}=\left(\frac{p-q}{r-q}\right)^{3} এবং 3q−p−r=q3pr3 q-p-r=\frac{q^{3}}{p r} (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

g(x)=psin⁡−1x;h(x)=cos⁡xg(x)=p \sin^{-1} x ; h(x)=\cos x

Barisal · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}
খ
g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.
গ
2{ h(x)}2+{h(2x)}2=22\{\mathrm{~h}(\mathrm{x})\}^2+\{\mathrm{h}(\mathrm{2x})\}^2=2 সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x4−13x3+61x2−107x+58,g(x)=x1−4x+3x2f(x)=x^4-13 x^3+61 x^2-107 x+58, g(x)=\frac{x}{1-4 x+3 x^2}

Barisal · 2017

ক
উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।
খ
f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।
গ
g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x2+bx+c=0x^2+b x+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta

Chittagong · 2017

ক
উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?
খ
c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
গ
এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় α+1β\alpha+\frac{1}{\beta} ও β+1α\beta+\frac{1}{\alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=2+4i−i2\mathrm{z}=2+4 \mathrm{i}-\mathrm{i}^2 দৃশ্যকল্প-২: px2+qx+r=0p x^2+q x+r=0

Rajshahi · 2017

ক
এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta হলে 2α,2β\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।[গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত]g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত][গণিত] এর মূল দুইটি [গণিত] , [গণিত] এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] হলে [গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা [গণিত] সঠিক কী না যাচাই কর। যেখাএককের জটিল ঘনমূল [গণিত] , [গণিত] ² হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন