Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয় এবং সমীকরণটির একটি মূল [গণিত] হয়, তবে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর: উদ্দীপক হতে পাই, [গণিত] প্রশ্নমতে, [গণিত] এই মানগুলো [গণিত] নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] দেওয়া আছে, সমীকরণটির একটি মূল [গণিত] । সুতরাং, উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুযায়ী, [গণিত] হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। এখন, [গণিত] নং সমীকরণকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: [গণিত] হয়, [গণিত] (যা প্রশ্নে দেওয়াই আছে) অথবা, [গণিত] অথবা, [গণিত] নির্ণেয় অপর মূলগুলো: [গণিত] এবং [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

যদি হয় এবং সমীকরণটির একটি মূল হয়, তবে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

ax3+bx2+cx+d=0a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।

Sylhet · 2021

উত্তর

প্রদত্ত দ্বিঘাত রাশি: px2+4x+3px^2+4x+3 আমরা জানি, কোনো দ্বিঘাত রাশি পূর্ণবর্গ (Perfect Square) হবে, যদি উক্ত রাশি দ্বারা গঠিত সমীকরণ px2+4x+3=0px^2+4x+3=0 এর নিশ্চয়ক বা পৃথায়ক (Discriminant) শূন্য (00) হয়। ∴\therefore নিশ্চয়ক, D=0D = 0 ⇒(4)2−4⋅p⋅3=0\Rightarrow (4)^2 - 4 \cdot p \cdot 3 = 0 ⇒16−12p=0\Rightarrow 16 - 12p = 0 ⇒12p=16\Rightarrow 12p = 16 ⇒p=1612\Rightarrow p = \frac{16}{12} ∴p=43\therefore p = \frac{4}{3} নির্ণেয় মান: p=43p = \frac{4}{3}

উত্তর

উদ্দীপকে দেওয়া আছে, ax3+bx2+cx+d=0……(i)a x^3+b x^2+c x+d=0 \dots \dots (i) প্রশ্নমতে, a=3,b=−2,c=0,d=1a=3, b=-2, c=0, d=1 এই মানগুলো (i)(i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 3x3−2x2+0⋅x+1=0……(ii)3x^3 - 2x^2 + 0\cdot x + 1 = 0 \dots \dots (ii) দেওয়া আছে, সমীকরণটির মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma। আমরা জানি, মূলত্রয়ের যোগফল, ∑α=α+β+γ=−−23=23\sum\alpha = \alpha+\beta+\gamma = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3} দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল, ∑αβ=αβ+βγ+γα=03=0\sum\alpha\beta = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{0}{3} = 0 মূলত্রয়ের গুণফল, αβγ=−13\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{3} আমাদের মান নির্ণয় করতে হবে ∑α2β\sum\alpha^2\beta এর। আমরা জানি, ∑α2β=α2β+αβ2+α2γ+αγ2+β2γ+βγ2\sum\alpha^2\beta = \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 + \alpha^2\gamma + \alpha\gamma^2 + \beta^2\gamma + \beta\gamma^2 এর সরাসরি সূত্র হলো: ∑α2β=(∑α)(∑αβ)−3αβγ\sum\alpha^2\beta = (\sum\alpha)(\sum\alpha\beta) - 3\alpha\beta\gamma ⇒∑α2β=(23)⋅(0)−3(−13)\Rightarrow \sum\alpha^2\beta = \left(\frac{2}{3}\right) \cdot (0) - 3\left(-\frac{1}{3}\right) ⇒∑α2β=0+1\Rightarrow \sum\alpha^2\beta = 0 + 1 ∴∑α2β=1\therefore \sum\alpha^2\beta = 1 নির্ণেয় মান: 11

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, ax3+bx2+cx+d=0……(i)ax^3+bx^2+cx+d=0 \dots \dots (i) প্রশ্নমতে, a=1,b=−9,c=23,d=−15a=1, b=-9, c=23, d=-15 এই মানগুলো (i)(i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x3−9x2+23x−15=0……(ii)x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0 \dots \dots (ii) দেওয়া আছে, সমীকরণটির একটি মূল 33। সুতরাং, উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুযায়ী, (x−3)(x-3) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। এখন, (ii)(ii) নং সমীকরণকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: x3−9x2+23x−15=0x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0 ⇒x3−3x2−6x2+18x+5x−15=0\Rightarrow x^3 - 3x^2 - 6x^2 + 18x + 5x - 15 = 0 ⇒x2(x−3)−6x(x−3)+5(x−3)=0\Rightarrow x^2(x - 3) - 6x(x - 3) + 5(x - 3) = 0 ⇒(x−3)(x2−6x+5)=0\Rightarrow (x - 3)(x^2 - 6x + 5) = 0 ⇒(x−3)(x2−5x−x+5)=0\Rightarrow (x - 3)(x^2 - 5x - x + 5) = 0 ⇒(x−3){x(x−5)−1(x−5)}=0\Rightarrow (x - 3)\{x(x - 5) - 1(x - 5)\} = 0 ⇒(x−3)(x−5)(x−1)=0\Rightarrow (x - 3)(x - 5)(x - 1) = 0 হয়, x−3=0⇒x=3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 (যা প্রশ্নে দেওয়াই আছে) অথবা, x−5=0⇒x=5x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 অথবা, x−1=0⇒x=1x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 নির্ণেয় অপর মূলগুলো: 11 এবং 55
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

g(x)=psin⁡−1x;h(x)=cos⁡xg(x)=p \sin^{-1} x ; h(x)=\cos x

Barisal · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}
খ
g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.
গ
2{ h(x)}2+{h(2x)}2=22\{\mathrm{~h}(\mathrm{x})\}^2+\{\mathrm{h}(\mathrm{2x})\}^2=2 সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x4−13x3+61x2−107x+58,g(x)=x1−4x+3x2f(x)=x^4-13 x^3+61 x^2-107 x+58, g(x)=\frac{x}{1-4 x+3 x^2}

Barisal · 2017

ক
উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।
খ
f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।
গ
g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x2+bx+c=0x^2+b x+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta

Chittagong · 2017

ক
উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?
খ
c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
গ
এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় α+1β\alpha+\frac{1}{\beta} ও β+1α\beta+\frac{1}{\alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=2+4i−i2\mathrm{z}=2+4 \mathrm{i}-\mathrm{i}^2 দৃশ্যকল্প-২: px2+qx+r=0p x^2+q x+r=0

Rajshahi · 2017

ক
এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta হলে 2α,2β\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।[গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত]g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত][গণিত] এর মূল দুইটি [গণিত] , [গণিত] এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] হলে [গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা [গণিত] সঠিক কী না যাচাই কর। যেখাএককের জটিল ঘনমূল [গণিত] , [গণিত] ² হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন