Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর দুটি মূলের অনুপাত 3:2 হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, [গণিত] ধরি, মূলত্রয় [গণিত] এবং [গণিত] আবার, [গণিত] হলে, (i) নং থেকে, [গণিত] হলে, (i) নং থেকে, [গণিত] আবার, [গণিত] এখন, [গণিত] এবং [গণিত] হলে, [গণিত] আবর, [গণিত] এবং [গণিত] হলে, [গণিত] নির্ণয় সমাধান : [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর দুটি মূলের অনুপাত 3:2 হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: 8x3−52x2+78x−27=08 x^{3}-52 x^{2}+78 x-27=0 একটি ত্রিঘাত সমীকরণ। দৃশ্যকল্প-২: x3−9x2+14x+24=0x^{3}-9 x^{2}+14 x+24=0 একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।

Chittagong · 2021

উত্তর

দেওয়া আছে, x3−ax2+bx−c=0x^{3}-a x^{2}+b x-c=0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হলে, ∴α+β+γ=a\therefore \alpha+\beta+\gamma=a ∴αβ+βγ+γα=b এবং αβγ=C\therefore \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=b \text{ এবং } \alpha \beta \gamma=C এখন, Σ1α2=1α2+1β2+1γ2\Sigma \frac{1}{\alpha^{2}}=\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}+\frac{1}{\gamma^{2}} =β2γ2+α2γ2+α2β2α2β2γ2=\frac{\beta^{2} \gamma^{2}+\alpha^{2} \gamma^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}{\alpha^{2} \beta^{2} \gamma^{2}} =(αβ)2+(βγ)2+(γα)2(αβγ)2=\frac{(\alpha \beta)^{2}+(\beta \gamma)^{2}+(\gamma \alpha)^{2}}{(\alpha \beta \gamma)^{2}} =(αβ+βγ+γα)2−2(αβ⋅βγ+βγ⋅γα+γα⋅αβ)c2=\frac{(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)^{2}-2(\alpha \beta \cdot \beta \gamma+\beta \gamma \cdot \gamma \alpha+\gamma \alpha \cdot \alpha \beta)}{c^{2}} =b2−2αβγ(α+β+γ)c2=\frac{b^{2}-2 \alpha \beta \gamma(\alpha+\beta+\gamma)}{c^{2}} =b2−2cac2=\frac{b^{2}-2 c a}{c^{2}}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ: 8x3−52x2+78x−27=08 x^{3}-52 x^{2}+78 x-27=0 সমীকরণটির মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত হলে, α,αr,αr\alpha, \alpha r, \frac{\alpha}{r} ∴α+αr+αr=528⇒α(1+r+1r)=132……(i)∴ααr⋅αr=278⇒α3=278∴α=32\begin{aligned}& \therefore \alpha+\alpha r+\frac{\alpha}{r}=\frac{52}{8} \\& \Rightarrow \alpha\left(1+r+\frac{1}{r}\right)=\frac{13}{2} \ldots \ldots(i) \\& \therefore \alpha \alpha r \cdot \frac{\alpha}{r}=\frac{27}{8} \\& \Rightarrow \alpha^{3}=\frac{27}{8} \\& \therefore \alpha=\frac{3}{2}\end{aligned} α\alpha এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 32(1+r+1r)=132⇒r+1r=133−1=103⇒r2+1r2=103⇒3r2+3=10r⇒3r2−10r+3=0⇒3r2−9r−r+3=0⇒3r(r−3)−1(r−3)=0⇒(r−3)(3r−1)=0∴r=3,13\begin{aligned}& \frac{3}{2}\left(1+r+\frac{1}{r}\right)=\frac{13}{2} \Rightarrow & r+\frac{1}{r}=\frac{13}{3}-1=\frac{10}{3} \Rightarrow & \frac{r^{2}+1}{r^{2}}=\frac{10}{3} \Rightarrow & 3 r^{2}+3=10 r \Rightarrow & 3 r^{2}-10 r+3=0 \Rightarrow & 3 r^{2}-9 r-r+3=0 \Rightarrow & 3 r(r-3)-1(r-3)=0 \Rightarrow & (r-3)(3 r-1)=0 \therefore & r=3, \frac{1}{3}\end{aligned} এখন, αr=32×3[r=3]\alpha \mathrm{r}=\frac{3}{2} \times 3[\mathrm{r}=3] =92=\frac{9}{2} এবং αr=32×13[r=13]\alpha r=\frac{3}{2} \times \frac{1}{3}\left[\mathrm{r}=\frac{1}{3}\right] =12=\frac{1}{2} আবার αr=3/23[γ=3]\frac{\alpha}{\mathrm{r}}=\frac{3 / 2}{3}[\gamma=3] =12=\frac{1}{2} এবং αr=3/21/3[r=13]\frac{\alpha}{\mathrm{r}}=\frac{3 / 2}{1 / 3}\left[\mathrm{r}=\frac{1}{3}\right] =92=\frac{9}{2} ∴\therefore নির্ণয় মূলত্রয়: 32,92,12\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{1}{2}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, x3−9x2+14x+24=0x^{3}-9 x^{2}+14 x+24=0 ধরি, মূলত্রয় 3α,2α3 \alpha, 2 \alpha এবং β\beta ∴3α+2α+β=9\therefore 3 \alpha+2 \alpha+\beta=9 ⇒5α+β=9\Rightarrow 5 \alpha+\beta=9 ∴β=9−5α………(i)\therefore \beta=9-5 \alpha \ldots \ldots \ldots (i) আবার, 3α⋅2α+2α⋅β+β⋅3α=143 \alpha \cdot 2 \alpha+2 \alpha \cdot \beta+\beta \cdot 3 \alpha=14 ⇒6α2+2αβ+3αβ=14\Rightarrow 6 \alpha^{2}+2 \alpha \beta+3 \alpha \beta=14 ⇒6α2+5αβ=14\Rightarrow 6 \alpha^{2}+5 \alpha \beta=14 ⇒6α2+5α(9−5α)−14=0\Rightarrow 6 \alpha^{2}+5 \alpha(9-5 \alpha)-14=0 ⇒6α2+45α−25α2−14=0\Rightarrow 6 \alpha^{2}+45 \alpha-25 \alpha^{2}-14=0 ⇒−19α2+45α−14=0\Rightarrow-19 \alpha^{2}+45 \alpha-14=0 ⇒19α2−45α+14=0\Rightarrow 19 \alpha^{2}-45 \alpha+14=0 ⇒19α2−38α−7α+14=0\Rightarrow 19 \alpha^{2}-38 \alpha-7 \alpha+14=0 ⇒19α(α−2)−7(α−2)=0\Rightarrow 19 \alpha(\alpha-2)-7(\alpha-2)=0 ⇒(α−2)(19α−7)=0\Rightarrow(\alpha-2)(19 \alpha-7)=0 ∴α=2,719\therefore \alpha=2, \frac{7}{19} α=2\alpha=2 হলে, (i) নং থেকে, β=9−5×2=−1\beta=9-5 \times 2=-1 α=719\alpha=\frac{7}{19} হলে, (i) নং থেকে, β=9−5×719=13619\beta=9-5 \times \frac{7}{19}=\frac{136}{19} আবার, 3α⋅2α⋅β=−243 \alpha \cdot 2 \alpha \cdot \beta=-24 ⇒6α2β=−24\Rightarrow 6 \alpha^{2} \beta=-24 এখন, α=2\alpha=2 এবং β=−1\beta=-1 হলে, ∴6α2β=6×22×(−1)=−24\therefore 6 \alpha^{2} \beta=6 \times 2^{2} \times(-1)=-24 আবর, α=719\alpha=\frac{7}{19} এবং =β=1369=\beta=\frac{136}{9} হলে, ∴6α2β=6×(719)2×1369=6×4936×1369≠−24\therefore 6 \alpha^{2} \beta=6 \times\left(\frac{7}{19}\right)^{2} \times \frac{136}{9}=6 \times \frac{49}{36} \times \frac{136}{9} \neq-24 ∴\therefore নির্ণয় সমাধান : 3α=63 \alpha =6 2α=42 \alpha =4 β=−1\beta =-1
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 4: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

g(x)=psin⁡−1x;h(x)=cos⁡xg(x)=p \sin^{-1} x ; h(x)=\cos x

Barisal · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}
খ
g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.
গ
2{ h(x)}2+{h(2x)}2=22\{\mathrm{~h}(\mathrm{x})\}^2+\{\mathrm{h}(\mathrm{2x})\}^2=2 সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন p=12,−1≤x≤1\mathrm{p}=\frac{1}{2},-1 \leq \mathrm{x} \leq 1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

প্রমাণ কর যে, sec⁡−152+tan⁡−112=cot⁡−134\sec^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{2}=\cot^{-1} \frac{3}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x4−13x3+61x2−107x+58,g(x)=x1−4x+3x2f(x)=x^4-13 x^3+61 x^2-107 x+58, g(x)=\frac{x}{1-4 x+3 x^2}

Barisal · 2017

ক
উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।
খ
f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।
গ
g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x2+bx+c=0x^2+b x+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta

Chittagong · 2017

ক
উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?
খ
c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
গ
এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় α+1β\alpha+\frac{1}{\beta} ও β+1α\beta+\frac{1}{\alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

c(x2+1)−(b2−2c)x=0c\left(x^2+1\right)-\left(b^2-2 c\right) x=0 এর মূল দুইটি α,β\alpha, \beta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: z=2+4i−i2\mathrm{z}=2+4 \mathrm{i}-\mathrm{i}^2 দৃশ্যকল্প-২: px2+qx+r=0p x^2+q x+r=0

Rajshahi · 2017

ক
এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় α,β\alpha, \beta হলে 2α,2β\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

দৃশ্যকল্প-১ এ Z‾\overline{\mathrm{Z}} এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা 5\sqrt{5} সঠিক কী না যাচাই কর। যেখানে Z‾\overline{\mathrm{Z}} হচ্ছে z এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

এককের জটিল ঘনমূল ω,ω\omega, \omega² হলে (−1+−3)7(-1+\sqrt{-3})^7 +(−1−−3)7+(-1-\sqrt{-3})^7 এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করা।[গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত]g(x) এর বিস্তৃতিতে xr এর সহগ নির্ণয় কর।f(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 5 + 2i হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় কর।উদাহরণসহ পৃথায়কের সংজ্ঞা দাও।এরূপ একটি সমীকরণ নির্ণয় কর যার মূলদ্বয় [গণিত] ও [গণিত][গণিত] এর মূল দুইটি [গণিত] , [গণিত] এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।উদ্দীপকের সমীকরণটির নিশ্চায়ক কত?দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লেখিত সমীকরণের মূলদ্বয় [গণিত] হলে [গণিত] মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা [গণিত] সঠিক কী না যাচাই কর। যেখাএককের জটিল ঘনমূল [গণিত] , [গণিত] ² হলে [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন