Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] BAX এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: ∠ BAX এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ নির্ণয় 'খ' হতে পাই, [গণিত] রেখার সমীকরণ: [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] । চিত্রে [গণিত] রেখাটি হলো [গণিত] -অক্ষ, যার সমীকরণ: [গণিত] । [গণিত] এবং [গণিত] রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণগুলোর সমদ্বিখণ্ডক রেখাসমূহের সমীকরণ: [গণিত] এখান থেকে আমরা দুটি সমীকরণ পাই: (+) চিহ্ন নিয়ে: [গণিত] . (i) (-) চিহ্ন নিয়ে: [গণিত] . (ii) এখন আমাদের বের করতে হবে কোনটি [গণিত] এর সমদ্বিখণ্ডক। [গণিত] রশ্মি ধনাত্মক [গণিত] -অক্ষ বরাবর অবস্থিত, যার উৎপন্ন কোণ [গণিত] । [গণিত] রেখার ( [গণিত] ) ঢাল, [গণিত] । অর্থাৎ, [গণিত] রশ্মি ধনাত্মক [গণিত] -অক্ষের সাথে [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং, [গণিত] এর অন্তর্বর্তী সমদ্বিখণ্ডক রেখাটি ধনাত্মক [গণিত] -অক্ষের সাথে [গণিত] কোণ উৎপন্ন করবে। অর্থাৎ, নির্ণেয় সমদ্বিখণ্ডক রেখার ঢাল হবে, [গণিত] যা একটি ধনাত্মক মান ( [গণিত] )। প্রাপ্ত সমীকরণ দুটির ঢাল পরীক্ষা করে দেখি: সমীকরণ (i)-এর ঢাল [গণিত] (ধনাত্মক) সমীকরণ (ii)-এর ঢাল [গণিত] (ঋণাত্মক) যেহেতু [গণিত] এর সমদ্বিখণ্ডকের ঢাল ধনাত্মক, তাই সমীকরণ (i) হলো নির্ণেয় রেখা। অতএব, ∠ BAX এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ: [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 3: সরলরেখা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 3: সরলরেখা · সৃজনশীল

BAX এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

Mymensingh · 2022

উত্তর

দেওয়া আছে, xa−yb=1………(i)\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1 \ldots\ldots\ldots (i) (i) নং রেখা x -অক্ষকে A(a,o) বিন্দুতে ছেদ করে, (i) নং এর লম্ব রেখার সমীকরণ, xb+ya=+k=0\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=+\mathrm{k}=0 (ii) নং রেখা (a, o) বিন্দুগামী, ab+oa=+k=0\frac{a}{b}+\frac{o}{a}=+k=0 ⇒ba=−k\Rightarrow \frac{b}{a}=-k ⇒k=−ab\Rightarrow k=-\frac{a}{b} k এর মান (ii) নং বসিয়ে, xb+ya−ab=0\frac{x}{b}+\frac{y}{a}-\frac{a}{b}=0 ⇒ax+by−a2ab=0\Rightarrow \frac{a x+b y-a^2}{a b}=0 ⇒ax+by−a2=0\Rightarrow a x+b y-a^2=0 ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উত্তর

দেওয়া আছে, মূলবিন্দু O(0,0)O(0,0) হতে ABAB রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব OCOC এবং XX-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে এর উৎপন্ন কোণ α=45∘\alpha = 45^\circ। ধরি, লম্বের দৈর্ঘ্য OC=pOC = p। আমরা জানি, মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য pp এবং লম্বটি XX-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে α\alpha কোণ উৎপন্ন করলে সরলরেখাটির সমীকরণ হয়: xcos⁡α+ysin⁡α=px \cos\alpha + y \sin\alpha = p মান বসিয়ে পাই: xcos⁡45∘+ysin⁡45∘=px \cos 45^\circ + y \sin 45^\circ = p ⇒x(12)+y(12)=p\Rightarrow x \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = p ⇒x+y2=p\Rightarrow \frac{x + y}{\sqrt{2}} = p ⇒x+y=p2\Rightarrow x + y = p\sqrt{2} ⇒xp2+yp2=1\Rightarrow \frac{x}{p\sqrt{2}} + \frac{y}{p\sqrt{2}} = 1 এই সমীকরণ থেকে দেখা যায়, ABAB রেখাটি XX-অক্ষকে A(p2,0)A(p\sqrt{2}, 0) বিন্দুতে এবং YY-অক্ষকে B(0,p2)B(0, p\sqrt{2}) বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, XX-অক্ষের খণ্ডিত অংশ OA=p2OA = p\sqrt{2} এবং YY-অক্ষের খণ্ডিত অংশ OB=p2OB = p\sqrt{2}। দেওয়া আছে, ΔAOB\Delta AOB-এর ক্ষেত্রফল =8= 8 বর্গ একক। ⇒12×OA×OB=8\Rightarrow \frac{1}{2} \times OA \times OB = 8 ⇒12×(p2)×(p2)=8\Rightarrow \frac{1}{2} \times (p\sqrt{2}) \times (p\sqrt{2}) = 8 ⇒12×2p2=8\Rightarrow \frac{1}{2} \times 2p^2 = 8 ⇒p2=8\Rightarrow p^2 = 8 ⇒p=22\Rightarrow p = 2\sqrt{2} (যেহেতু দূরত্ব ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নেওয়া হলো) এখন pp-এর মান x+y=p2x + y = p\sqrt{2} সমীকরণে বসিয়ে পাই: x+y=(22)×2x + y = (2\sqrt{2}) \times \sqrt{2} x+y=4x + y = 4 অতএব, AB রেখার নির্ণেয় সমীকরণ: x+y−4=0x + y - 4 = 0

উত্তর

∠ BAX এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ নির্ণয় 'খ' হতে পাই, ABAB রেখার সমীকরণ: x+y−4=0x + y - 4 = 0 এবং AA বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4,0)(4, 0)। চিত্রে AXAX রেখাটি হলো XX-অক্ষ, যার সমীকরণ: y=0y = 0। ABAB এবং AXAX রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণগুলোর সমদ্বিখণ্ডক রেখাসমূহের সমীকরণ: x+y−412+12=±y02+12\frac{x + y - 4}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \pm \frac{y}{\sqrt{0^2 + 1^2}} ⇒x+y−42=±y\Rightarrow \frac{x + y - 4}{\sqrt{2}} = \pm y ⇒x+y−4=±2y\Rightarrow x + y - 4 = \pm \sqrt{2}y এখান থেকে আমরা দুটি সমীকরণ পাই: (+) চিহ্ন নিয়ে: x+(1−2)y−4=0x + (1 - \sqrt{2})y - 4 = 0
…….(i)(−)\ldots\ldots. (i) (-)
চিহ্ন নিয়ে: x+(1+2)y−4=0x + (1 + \sqrt{2})y - 4 = 0 …….(ii)\ldots\ldots. (ii) এখন আমাদের বের করতে হবে কোনটি ∠BAX\angle BAX এর সমদ্বিখণ্ডক। AXAX রশ্মি ধনাত্মক XX-অক্ষ বরাবর অবস্থিত, যার উৎপন্ন কোণ 0∘0^\circ। ABAB রেখার (x+y−4=0x+y-4=0) ঢাল, m=−1=tan⁡135∘m = -1 = \tan 135^\circ। অর্থাৎ, ABAB রশ্মি ধনাত্মক XX-অক্ষের সাথে 135∘135^\circ কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং, ∠BAX\angle BAX এর অন্তর্বর্তী সমদ্বিখণ্ডক রেখাটি ধনাত্মক XX-অক্ষের সাথে 0∘+135∘2=67.5∘\frac{0^\circ + 135^\circ}{2} = 67.5^\circ কোণ উৎপন্ন করবে। অর্থাৎ, নির্ণেয় সমদ্বিখণ্ডক রেখার ঢাল হবে, tan⁡67.5∘\tan 67.5^\circ যা একটি ধনাত্মক মান (tan⁡67.5∘=2+1\tan 67.5^\circ = \sqrt{2} + 1)। প্রাপ্ত সমীকরণ দুটির ঢাল পরীক্ষা করে দেখি: সমীকরণ (i)-এর ঢাল =−11−2=12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1= -\frac{1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1 (ধনাত্মক) সমীকরণ (ii)-এর ঢাল =−11+2=1−2= -\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = 1 - \sqrt{2} (ঋণাত্মক) যেহেতু ∠BAX\angle BAX এর সমদ্বিখণ্ডকের ঢাল ধনাত্মক, তাই সমীকরণ (i) হলো নির্ণেয় রেখা। অতএব, ∠ BAX এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ: x+(1−2)y−4=0x + (1 - \sqrt{2})y - 4 = 0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 3: সরলরেখা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x−2y+1=0x-2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: P→=i^−2j^+k^;\overrightarrow{\mathrm{P}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}} ;Q⃗\vec{Q}=2i^+j^−3k^=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}.

Barisal · 2017

ক
(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সাহয্যে (P→+Q→)(\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{Q}}) বরাবর Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} এর উপাংশ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে: G, △ABC\triangle A B C এর ভরকেন্দ্র; D,BC\mathrm{D}, \mathrm{BC} এর মধ্যবিন্দু, EB⊥BC\mathrm{EB} \perp \mathrm{BC} ।

Jessore · 2017

ক
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
গ
∠EBC\angle \mathrm{EBC} কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: question image

Chittagong · 2017

ক
(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

5x-4y-1 = 03-8x + 7y + 1 = 0 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। 4x + 3y - 5 = 0 রেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।

Comilla · 2017

ক
(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
খ
স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
রেললাইনের সাথে 3x 4y + 6 = 0 রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর সাহয্যে [গণিত] বরাবর [গণিত] এর উপাংশ নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে এবং [গণিত] বিন্দ[গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু [গণিত] অনুপাতে অন্তুর্বি[গণিত] কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] বিন্দুটি [গণিত] রেখাকে [গণিত] অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তাদৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।রেললাইনের সাথে 3x 4y + 6 = 0 রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরস্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন