Chapter 3: সরলরেখা Higher Math 1st Paper

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

চিত্রে: G, $\triangle A B C$ এর ভরকেন্দ্র; $\mathrm{D}, \mathrm{BC}$ এর মধ্যবিন্দু, $\mathrm{EB} \perp \mathrm{BC}$ ।

Jessore · 2017

ক

$\triangle \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

$\Delta \mathrm{ABC}$ এর ক্ষেফ্রল =\frac{1}{2}\left|\[\begin{array}{llll}6 & 3 & 2 & 6 \\ 3 & 5 & 1 & 3\end{array}\]\right| $=\frac{1}{2}(30+3+6-9-10-6)$ $=\frac{1}{2} \times 14=7$ বর্গ একক (Ans.)

খ

দেখাও যে, $\mathrm{G}$ বিন্দুটি $\mathrm{AD}$ রেখাকে $2: 1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

উত্তর

D বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{2+6}{2}, \frac{1+3}{2}\right) \equiv(4,2)$ $\triangle \mathrm{ABC}$ এর ভরকেন্দ্র, $\mathrm{G}\left(\frac{3+2+6}{3}, \frac{5+1+3}{3}\right) \equiv\left(\frac{11}{3}, 3\right)$ ধরি, $\mathrm{G}$ বিন্দুটি $\mathrm{AD}$ রেখাকে $\mathrm{m}_1 \circ \mathrm{m}_2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। শর্তমতে, $\frac{11}{3}=\frac{\mathrm{m}_1 \times 4+\mathrm{m}_2 \times 3}{\mathrm{~m}_1+\mathrm{m}_2}$ বা, $11 \mathrm{~m}_1+11 \mathrm{~m}_2=12 \mathrm{~m}_1+9 \mathrm{~m}_2$ বা, $\frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{~m}_2}=2 \therefore \mathrm{m}_1: \mathrm{m}_2=2: 1$ সুতরাং $\mathrm{G}$ বিন্দুটি $\mathrm{AD}$ রেখাকে $2: 1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। (দেখানো হলো)

গ

$\angle \mathrm{EBC}$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

$\mathrm{BC}$ রেখার সমীকরণ, $\frac{\mathrm{x}-2}{2-6}=\frac{\mathrm{y}-1}{1-3}$ বা, $\frac{x-2}{-4}=\frac{y-1}{-2}$ বা, $x-2=2 y-2$ $\therefore x-2 y=0 \ldots \ldots (i)$ (i) নং রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ, 2x+y+k=0

$$\ldots.. (ii) (ii)$$

নং (2, 1) বিন্দুগামী। 2 × 2+1+k = 0 ∴k = -5 k এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, 2x + y - 5 = 0 ... (iii) $\angle \mathrm{EBC}$ কোণের সমদ্বিখণ্ডকটি হবে (3, 5) বিন্দুটি ধারণকারী কোণের সমদ্বিখণ্ডক। ধরি, BC ও BE রেখার সমীকরণদ্বয় যথাক্রমে f(x, y) ও g(x, y) $\frac{x-2 y}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=-\frac{2 x+y-5}{\sqrt{2^2+1^2}}$ বf, $x-2 y=-(2 x+y-5)$ বf, $x-2 y+2 x+y-5=0$ $\therefore 3 \mathrm{x}-\mathrm{y}-5=0$ (Ans.) বিশেষ দ্রষ্টব্য: চিত্র অনুযায়ী $\angle \mathrm{EBC}$ এর সমদ্বিখণ্ডক একটি হবে।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প:

Chittagong · 2017

ক

(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর

$(3,5)$ ও $(6,7)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল $=\frac{7-5}{6-3}=\frac{2}{3}$ $\therefore$ লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল $=\frac{-1}{\frac{2}{3}}=\frac{-3}{2}$ (Ans.)

খ

দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

$\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ, $\frac{\mathrm{x}-4}{4-0}=\frac{\mathrm{y}-0}{0-3}$ বা, $4 y=-3 x+12 \therefore 3 x+4 y-12=0$.

$$\ldots.. (i) (i)$$

নং রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ, $3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}+\mathrm{k}=0 \ldots \ldots \ldots$ (ii) (i) ও (ii) নং সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব $=\frac{|\mathrm{k}-(-12)|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|\mathrm{k}+12|}{5}$ প্রশ্নমতে, $\frac{|\mathrm{k}+12|}{5}=3$ বা, $\frac{\mathrm{k}+12}{5}= \pm 3$ বা, $\mathrm{k}= \pm 15-12 \therefore \mathrm{k}=3,-27$ $\mathrm{k}$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, \left.\[\begin{array}{l}3 x+4 y+3=0 \\ 3 x+4 y-27=0\end{array}\]\right\} (Ans.)

গ

দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

$\mathrm{AB}$ রেখাংশকে $2: 1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক, $\left(\frac{2 \times 0+1 \times 4}{2+1}, \frac{2 \times 3+1 \times 0}{2+1}\right) \equiv\left(\frac{4}{3}, 2\right)$ $1: 2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক, $\left(\frac{1 \times 0+2 \times 4}{1+2}, \frac{1 \times 3+2 \times 0}{1+2}\right) \equiv\left(\frac{8}{3}, 1\right)$ $\therefore$ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল =\frac{1}{2}\left|\[\begin{array}{llll} 0 & \frac{8}{3} & \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right| $=\frac{1}{2}\left(0+\frac{16}{3}+0-0-\frac{4}{3}-0\right)$ $=\frac{1}{2} \times 4=2$ বর্গ একক (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো