Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

3x – 4y - 10 = 0 রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রথম বৃত্তের স্পর্শক।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] (i) নং বৃত্তকে বৃত্তর আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, [গণিত] বৃত্তটির কেন্দ্র (4,3) এবং ব্যাসার্ধ = [গণিত] = 5 আবার, (i)নং বৃত্তের স্পর্শক [গণিত] রেখার উপর লম্ব। [গণিত] বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ হল, [গণিত] (ii) যেহেতু, (ii) নং রেখা (i) নং বৃত্তের স্পর্শক। [গণিত] বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র হতে (ii) নং রেখার লম্বদূরত্ব। [গণিত] (+) নিয়ে, [গণিত] আবার, (-) নিয়ে, [গণিত] -এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, k = 0 হলে, 4x + 3y = 0 এবং k = 0 হলে, 4x + 3y – 50 = 0 [গণিত] স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

3x – 4y - 10 = 0 রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রথম বৃ…

উদ্দীপক

উদ্দীপকঃ x2+y2−8x−6y+16=0x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0 এবং x2+x2x^2 + x2 – 6x = 0 দু'টি বৃত্ত

উত্তর

দেওয়া আছে, x2+y2−6x=0x^{2}+y^{2}-6 x=0 ⇒x2+y\Rightarrow x^{2}+y ⇒r2−6rcos⁡θ=0\Rightarrow r^{2}-6 r \cos \theta=0 ⇒r−6cos⁡θ=0\Rightarrow r-6 \cos \theta=0 ∴r=6cos⁡θ\therefore r=6 \cos \theta

উত্তর

দেওয়া আছে, x2+y2−8x−6y+16=0-(1) x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16=0 \text{-(1) } x2+y2−6x=0x^{2}+y^{2}-6 x=0
…...(ii)(i)\ldots... (ii) (i)
নং ও (ii) নং বৃত্তদ্বেয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ হল, (x2+y2−8x−6y+16)−(x2+y2−6x)=0\left(x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16\right)-\left(x^{2}+y^{2}-6 x\right)=0 ⇒x2+y2−8x−6y+16−x2−y2+6x=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16-x^{2}-y^{2}+6 x=0 ⇒−2x−6y+16=0\Rightarrow -2 x-6 y+16=0 ⇒−2(x+3y−8)=0\Rightarrow -2(x+3 y-8)=0 ⇒x+3y−8=0\Rightarrow x+3 y-8=0 ⇒x+3y=8\Rightarrow x+3 y=8 ⇒x8+y8/3=0….(iii)\Rightarrow \frac{x}{8}+\frac{y}{8 / 3}=0 \ldots. (iii) (iii) নং রেখা x-অক্ষকে A(8,0)A(8,0) বিন্দুতে এবং y অক্ষকে B(0,83)B(0,\frac{8}{3}) বিন্দুতে ছেদ করে। আবার, O বিন্দু হল মূলবিন্দু (0,0) ধরি, O, A, B বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নিম্নরূপ : x2+y2+2gx+2fy+c=0….(iv)x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \ldots. (iv) (iv) নং বৃত্ত 0(0,0) বিন্দুগামী। 02+02+2g⋅o+2f⋅0+c=00^{2}+0^{2}+2 g \cdot o+2 f \cdot 0+c=0 ∴c=0…(v)\therefore c=0 \ldots (v) এবং, (iv) নং বৃত্ত A(8,0) বিন্দুগামী। 82+o2+2g⋅8+2f⋅o+c=08^{2}+o^{2}+2 g \cdot 8+2 f \cdot o+c=0 ⇒64+16g+0=0[v≈=2c]\Rightarrow 64+16 g+0=0 \quad[\mathrm{v} \approx=2 \mathrm{c}] ⇒16g=−64\Rightarrow 16 g=-64 ∴g=−4\therefore g=-4 আবার, (iv) নং বৃত্ত B(0,83)B(0,\frac{8}{3}) বিন্দুগামী। 02+(83)2+2g⋅0+2f⋅83+c=00^{2}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}+2 g \cdot 0+2 f \cdot \frac{8}{3}+c=0 ⇒649+16/33+0=0[0π20].\Rightarrow \frac{64}{9}+\frac{16 / 3}{3}+0=0 \quad[0 \pi 20] . ⇒163f=649\Rightarrow \frac{16}{3} f=\frac{64}{9} ∴f=−43\therefore f=\frac{-4}{3} x2+y2+2(−4)x+2(−43)y+0=0x^{2}+y^{2}+2(-4) x+2\left(\frac{-4}{3}\right) y+0=0 ⇒x2+y2−8x−83y=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8 x-\frac{8}{3} y=0 ∴3(x2+y2)−24x−8y=0\therefore 3\left(x^{2}+y^{2}\right)-24 x-8 y=0 এটিই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উত্তর

দেওয়া আছে, x2+y2−8x−6y+16=0….(i)x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+16=0 \ldots. (i) (i) নং বৃত্তকে বৃত্তর আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 2g=−8,2f=−6;c=162 g =-8, \quad 2 f=-6 ; \quad c=16 ∴g=−4∴f=−3\therefore g =-4 \quad \therefore f=-3 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (4,3) এবং ব্যাসার্ধ = (−4)2+(−3)2−16\sqrt{(-4)^2+(-3)^2-16} = 5 আবার, (i)নং বৃত্তের স্পর্শক 3x−4y−10=03 x-4 y-10=0 রেখার উপর লম্ব। ∴\therefore বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ হল, 3x−4y−10=03 x-4 y-10=0 ……(ii)\ldots\ldots (ii) যেহেতু, (ii) নং রেখা (i) নং বৃত্তের স্পর্শক। ∴\therefore বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র হতে (ii) নং রেখার লম্বদূরত্ব। ⇒5=∣4×4+3×3+k42+32∣\Rightarrow \quad 5=\left|\frac{4 \times 4+3 \times 3+k}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\right| ⇒5=∣16+9+k25∣\Rightarrow 5=\left|\frac{16+9+k}{\sqrt{25}}\right| ⇒5=∣255+k∣\Rightarrow 5=\left|\frac{25}{5}+k\right| ⇒25+k1=25\Rightarrow 25+k 1=25 ⇒25+k=±25\Rightarrow 25+k= \pm 25 (+) নিয়ে, \quad \quad \quad আবার, (-) নিয়ে, 25+k=2525+k=−2525+k=25 \quad \quad 25+k=-25 ∴K=0k=−50.\therefore K=0 \quad \quad k= -50. ∴k\therefore k-এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, k = 0 হলে, 4x + 3y = 0 এবং k = 0 হলে, 4x + 3y – 50 = 0 ∴\therefore স্পর্শকের সমীকরণ, 4x+3y=04x+3y−50=04 x+3 y=0 \quad 4 x+3 y-50=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরএকটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামউদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মধ্যবিন্দুর ভুজ [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এ[গণিত] বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।বৃত্তটির [গণিত] স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব।[গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করেদেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, [গণিত] রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন