Chapter 4: বৃত্ত Higher Math 1st Paper

HSC Higher Math 1st Paper এর Chapter 4: বৃত্ত অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৬৭১

প্রশ্ন

Higher Math 1st Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, 3x2+3y2−12x+15y−6=03 \mathrm{x}^2+3 \mathrm{y}^2-12 \mathrm{x}+15 \mathrm{y}-6=0 ∴x2+y2−4x+5y−2=0…(i)\therefore \mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2-4 \mathrm{x}+5 \mathrm{y}-2=0 \ldots(i) (i) নং কে x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 এর সাথে তুলনা করে পাই, g=−2,f=52,c=−2\mathrm{g}=-2, \mathrm{f}=\frac{5}{2}, \mathrm{c}=-2 ∴\therefore বৃত্তের কেন্দ্র (−g,−f)≡(2,−52)(-\mathrm{g},-\mathrm{f}) \equiv\left(2,-\frac{5}{2}\right) এবং ব্যাসার্ধ =g2+f2−c=\sqrt{\mathrm{g}^2+\mathrm{f}^2-\mathrm{c}} =(−2)2+(52)2+2=4+254+2=\sqrt{(-2)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2+2}=\sqrt{4+\frac{25}{4}+2} =24+254=494=72=\sqrt{\frac{24+25}{4}}=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2} ∴\therefore নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র (2,−52)\left(2,-\frac{5}{2}\right) এবং ব্যাসার্ধ 72\frac{7}{2} (Ans.)
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, x+2y+1=0………\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+1=0 \ldots \ldots \ldots (i) ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 …..(ii)\ldots.. (ii) এখানে, বৃত্তের কেন্দ্র (−g,−f)(-g,-f) যা (i) রেখার উপর অবস্থিত। ∴−g−2f+1=0\therefore-g-2 f+1=0 …….(iii)\ldots\ldots. (iii) আবার, x2+y2+3x−5y+6=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 কে x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 এর সাথে তুলনা করে পাই, g=32,f=−52\mathrm{g}=\frac{3}{2}, \mathrm{f}=-\frac{5}{2} এবং c=6\mathrm{c}=6 ∴\therefore কেন্দ্র (−g,−f)≡(−32,52)(-\mathrm{g},-\mathrm{f}) \equiv\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) এখন, (ii) বৃত্তটি মূলবিন্দু (0,0)(0,0) এবং (−32,52)\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) বিন্দুগামী। ∴c=0\therefore \mathrm{c}=0 এবং (−32)2+(52)2+2 g(−32)+2f(52)+c=0\left(-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2+2 \mathrm{~g}\left(-\frac{3}{2}\right)+2 \mathrm{f}\left(\frac{5}{2}\right)+\mathrm{c}=0 বা, 94+254−3g+5f+0=0\frac{9}{4}+\frac{25}{4}-3 g+5 f+0=0 [(iv) থেকে] বা, 3g−5f=344=172∴6g−10f=173 g-5 f=\frac{34}{4}=\frac{17}{2} \therefore 6 g-10 f=17
….(v)(iii)\ldots. (v) (iii)
কে 6 দ্বারা গুণ করে (v) এর সাথে যোগ করে পাই, −12f+6−10f=17-12 \mathrm{f}+6-10 \mathrm{f}=17 বf, −22f=11∴f=−12-22 \mathrm{f}=11 \therefore \mathrm{f}=-\frac{1}{2} f এর মান (iii) এ বসিয়ে পাই, −g−2⋅(−12)+1=0-g-2 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1=0 বা ,−g+1+1=0∴g=2,-g+1+1=0 \therefore g=2 g,f\mathrm{g}, \mathrm{f} ও c এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই, x2+y2+4x−y=0\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+4 \mathrm{x}-\mathrm{y}=0 ∴\therefore নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ x2+y2+4x−y=0\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+4 \mathrm{x}-\mathrm{y}=0
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, 4x−3y−7=04 x-3 y-7=0
…...(i)(i)\ldots... (i) (i)
এর সমান্তরাল রেখার সমীকরণ 4x−3y+k=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+\mathrm{k}=0 …..(ii)\ldots.. (ii) এখন, (1,2)(1,2) বিন্দু হতে (ii) এর দূরত্ব 5125 \frac{1}{2} বা 112\frac{11}{2} একক ∴∣4−6+k∣42+(−3)2=112\therefore \frac{|4-6+\mathrm{k}|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{11}{2} বা, ∣k−2∣5=112\frac{|\mathrm{k}-2|}{5}=\frac{11}{2} বা, ∣k−2∣=552|\mathrm{k}-2|=\frac{55}{2} বা, k−2=±552\mathrm{k}-2= \pm \frac{55}{2} বা, k=2+552\mathrm{k}=2+\frac{55}{2} ['+' চিহ্ন নিয়ে] ∴k=592\therefore \mathrm{k}=\frac{59}{2} আবার, k=2−552\mathrm{k}=2-\frac{55}{2} ['-' চিহ্ন নিয়ে] ∴k=−512\therefore \mathrm{k}=\frac{-51}{2} k\mathrm{k} এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই, 4x−3y+592=0∴8x−6y+59=04 x-3 y+\frac{59}{2}=0 \therefore 8 x-6 y+59=0 এবং 4x−3y−512=0∴8x−6y−51=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-\frac{51}{2}=0 \therefore 8 \mathrm{x}-6 \mathrm{y}-51=0 ∴\therefore নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, 8x−6y+59=08 \mathrm{x}-6 \mathrm{y}+59=0 এবং 8x−6y−51=0 (Ans.) 8 \mathrm{x}-6 \mathrm{y}-51=0 \text{ (Ans.) }

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে x=−2\mathrm{x}=-2 এবং y=−2\mathrm{y}=-\sqrt{2} ∴r=x2+y2=(−2)2+(−2)2=6\therefore \mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2}=\sqrt{(-2)^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{6} এবং θ=tan⁡−1(−2−2)=35.26∘\theta=\tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{2}}{-2}\right)=35.26^{\circ} যেহেতু (−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, সেহেতু π<θ<3π2\pi<\theta<\frac{3 \pi}{2} ∴θ=180∘+35.26∘=215.26∘\therefore \theta=180^{\circ}+35.26^{\circ}=215.26^{\circ} ∴\therefore পোলার স্থানাঙ্ক (r,θ)=(6,215.26∘)(r, \theta)=\left(\sqrt{6}, 215.26^{\circ}\right) (Ans.)
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

A (a,−1),B(0,−2)(\mathrm{a},-1), \mathrm{B}(0,-2) এবং C(−2,−4)\mathrm{C}(-2,-4) ∴AB\therefore \mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দু (a+02,−1−22)≡(a2,−32)\left(\frac{\mathrm{a}+0}{2}, \frac{-1-2}{2}\right) \equiv\left(\frac{\mathrm{a}}{2}, \frac{-3}{2}\right) প্রশ্নমতে, a2=52∴a=5\frac{\mathrm{a}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} \therefore \mathrm{a}=\sqrt{5} A(5,−1)\mathrm{A}(\sqrt{5},-1) ও B(0,−2)\mathrm{B}(0,-2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমীকরণণ, x−55−0=y+1−1+2\frac{x-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-0}=\frac{y+1}{-1+2} বা, x−5=5y+5x-\sqrt{5}=\sqrt{5} y+\sqrt{5} ∴x−5y−25=0………\therefore x-\sqrt{5} y-2 \sqrt{5}=0 \ldots \ldots \ldots (i) (i) নং রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ, 5x+y+k=0\sqrt{5} \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{k}=0 (ii) নং C(−2,−4)\mathrm{C}(-2,-4) বিন্দুগামী। 5(−2)−4+k=0∴k=4+25\sqrt{5}(-2)-4+\mathrm{k}=0 \quad \therefore \mathrm{k}=4+2 \sqrt{5} k\mathrm{k} এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, 5x+y+4+25=0 (Ans.) \sqrt{5} x+y+4+2 \sqrt{5}=0 \text{ (Ans.) }
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

ΔABC\Delta \mathrm{ABC} এর ক্ষেফল =\frac{1}{2}\left|\[\begin{array}{rrr}\mathrm{a} & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ -2 & -4 & 1\end{array}\]\right| =\frac{1}{2}\left|\[\begin{array}{rrr}\mathrm{a}-0 & -1+2 & 1-1 \\ 0+2 & -2+4 & 1-1 \\ -2 & -4 & 1\end{array}\]\right| =\frac{1}{2}\left|\[\begin{array}{ll}\mathrm{a} & 1 \\ 2 & 2\end{array}\]\right|=\frac{1}{2}(2 \mathrm{a}-2) =(a−1)=(\mathrm{a}-1) বর্গ একক প্রশ্নমতে, a−1=1∴a=2a-1=1 \therefore \mathrm{a}=2 C(−2,−4)\mathrm{C}(-2,-4) কেন্দ্র এবং বৃত্তটি A(2,−1)\mathrm{A}(2,-1) বিন্দুগামী। ∴\therefore ব্যাসার্ধ =(−2−2)2+(−4+1)2=5=\sqrt{(-2-2)^2+(-4+1)^2}=5 বৃত্তের সমীকরণ, (x+2)2+(y+4)2=52(\mathrm{x}+2)^2+(\mathrm{y}+4)^2=5^2 বা, x2+4x+4+y2+8y+16=25x^2+4 x+4+y^2+8 y+16=25 ∴x2+y2+4x+8y−5=0\therefore x^2+y^2+4 x+8 y-5=0 (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর

P+Q=i^−2j^−3k^+3i^−j^+2k^=4i^−3j^−k^\mathbf{P}+\mathbf{Q}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}+3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}=4 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} P−Q=i^−2j^−3k^−3i^+j^−2k^=−2i^−j^−5k^\mathbf{P}-\mathbf{Q}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}-3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}=-2 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}} ∴(P+Q)⋅(P−Q)=4(−2)+(−3)(−1)+(−1)(−5)\therefore(\mathbf{P}+\mathbf{Q}) \cdot(\mathbf{P}-\mathbf{Q})=4(-2)+(-3)(-1)+(-1)(-5) =−8+3+5=0=-8+3+5=0 ∴(P+Q)\therefore(\mathbf{P}+\mathbf{Q}) ও (P−Q)(\mathbf{P}-\mathbf{Q}) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তটি যেহেতু উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে ∴h=k=r\therefore \mathrm{h}=\mathrm{k}=\mathrm{r} চিত্র অনুযায়ী h=4\mathrm{h}=4 ∴h=k=r=4\therefore \mathrm{h}=\mathrm{k}=\mathrm{r}=4 ∴\therefore বৃত্তের কেন্দ্র C(4,k)≡(4,4)\mathrm{C}(4, \mathrm{k}) \equiv(4,4) E ও F বিন্দু যথাক্রমে বৃত্তের পরিধির উপর x ও y অক্ষে অবস্থিত। ∴E(4,0)\therefore \mathrm{E}(4,0) এবং F(0,4)\mathrm{F}(0,4) C(4,4),E(4,0)\mathrm{C}(4,4), \mathrm{E}(4,0) এবং F(0,4)F(0,4) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। ধরি, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 বৃত্তটি C(4,4),E(4,0)\mathrm{C}(4,4), \mathrm{E}(4,0) এবং F(0,4)\mathrm{F}(0,4) দিয়ে যায়। অর্থাৎ 42+42+2×g×4+2×f×4+c=04^2+4^2+2 \times \mathrm{g} \times 4+2 \times \mathrm{f} \times 4+\mathrm{c}=0 বা, 8 g+8f+32+c=0……8 \mathrm{~g}+8 \mathrm{f}+32+\mathrm{c}=0 \ldots \ldots (i) আবার, 42+02+2×g×4+2×f×0+c=04^2+0^2+2 \times \mathrm{g} \times 4+2 \times \mathrm{f} \times 0+\mathrm{c}=0 বা, 8 g+16+c=0……8 \mathrm{~g}+16+\mathrm{c}=0 \ldots \ldots (ii) এবং 02+42+2×g×0+2×f×4+c=00^2+4^2+2 \times \mathrm{g} \times 0+2 \times \mathrm{f} \times 4+\mathrm{c}=0 বা, 8f+16+c=0……8 f+16+c=0 \ldots \ldots (iii) (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই, 8 g+8f+32+c−8 g−16−c=08 \mathrm{~g}+8 \mathrm{f}+32+\mathrm{c}-8 \mathrm{~g}-16-\mathrm{c}=0 বা, 8f+16=0∴f=−28 \mathrm{f}+16=0 \therefore \mathrm{f}=-2 (i) হতে (iii) বিয়োগ করে পাই, 8 g+8f+32+c−8f−16−c=08 \mathrm{~g}+8 \mathrm{f}+32+\mathrm{c}-8 \mathrm{f}-16-\mathrm{c}=0 বা, 8 g+16=0∴g=−28 \mathrm{~g}+16=0 \therefore \mathrm{g}=-2 g\mathrm{g} এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই, 8(−2)+16+c=0∴c=08(-2)+16+\mathrm{c}=0 \therefore \mathrm{c}=0 ∴\therefore নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2×(−2)x+2×(−2)y+0=0x^2+y^2+2 \times(-2) x+2 \times(-2) y+0=0 ∴x2+y2−4x−4y=0 (Ans.) \therefore x^2+y^2-4 x-4 y=0 \text{ (Ans.) }
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, (x−4)2+(y−4)2=42(x-4)^2+(y-4)^2=4^2 বা, x2−8x+16+y2−8y+16−16=0x^2-8 x+16+y^2-8 y+16-16=0 ∴x2+y2−8x−8y+16=0\therefore \mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2-8 \mathrm{x}-8 \mathrm{y}+16=0 এখানে, g=−4,f=−4g=-4, f=-4 ও c=16\mathrm{c}=16 (85,45)\left(\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right) বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ, x×85+y×45+(−4)(x+85)+(−4)(y+45)+16=0\mathrm{x} \times \frac{8}{5}+\mathrm{y} \times \frac{4}{5}+(-4)\left(\mathrm{x}+\frac{8}{5}\right)+(-4)\left(\mathrm{y}+\frac{4}{5}\right)+16=0 বা, 8x5+4y5−4x−325−4y−165+16=0\frac{8 x}{5}+\frac{4 y}{5}-4 x-\frac{32}{5}-4 y-\frac{16}{5}+16=0 বা, 8x+4y−20x−32−20y−16+80=08 x+4 y-20 x-32-20 y-16+80=0 বা, −12x−16y+32=0-12 x-16 y+32=0 ∴3x+4y−8=0……\therefore 3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}-8=0 \ldots \ldots (i) (i) নং রেখাটির সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, $ 3 x+4 y+k1=0……k_1=0 \ldots \ldots$ (ii) প্রদত্ত বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (−4)2+(−4)2−16\sqrt{(-4)^2+(-4)^2-16} =32−16=4=\sqrt{32-16}=4 ∴\therefore ব্যাস =2×4=8=2 \times 4=8 (i) ও (ii) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধবত্তী দূরত্ব =8=8 ∴∣−8−k1∣32+42=8\therefore \frac{\left|-8-\mathrm{k}_1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=8 বা, ∣−8−k1∣5=8 या, −8−k1=±40\frac{\left|-8-\mathrm{k}_1\right|}{5}=8 \text{ या, }-8-\mathrm{k}_1= \pm 40 ∴k1=−8±40\therefore \mathrm{k}_1=-8 \pm 40 নিয়ে, k1=−8+40=32\mathrm{k}_1=-8+40=32 নিয়ে, k1=−8−40=−48\mathrm{k}_1=-8-40=-48 চিত্র অনুযায়ী k1=−48\mathrm{k}_1=-48 ∴\therefore নির্ণেয় সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ, 3x+4y−48=03 x+4 y-48=0 ∴3x+4y=48 (Ans.) \therefore 3 x+4 y=48 \text{ (Ans.) }

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বা, x2+y2+2x+3y+4=0x^2+y^2+2 x+3 y+4=0 ∴x2+y2+2⋅1⋅x+2⋅32⋅y+4=0\therefore x^2+y^2+2 \cdot 1 \cdot x+2 \cdot \frac{3}{2} \cdot y+4=0 এখানে, g=1,f=32\mathrm{g}=1, \mathrm{f}=\frac{3}{2} এবং c=4\mathrm{c}=4 ∴\therefore কেন্দ্র (−g,−f)≡(−1,−32) (Ans.) (-\mathrm{g},-\mathrm{f}) \equiv\left(-1, \frac{-3}{2}\right) \text{ (Ans.) } ব্যাসার্ধ =g2+f2−c=12+(32)2−4=\sqrt{\mathrm{g}^2+\mathrm{f}^2-\mathrm{c}}=\sqrt{1^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2-4} =4+9−164=−34=i32[∵i=−1]=\sqrt{\frac{4+9-16}{4}}=\sqrt{\frac{-3}{4}}=\frac{i \sqrt{3}}{2}[\because \mathrm{i}=\sqrt{-1}] প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণটি একটি কাল্পনিক বৃত্ত নির্দেশ করে।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর

x2+y2−10x−16y+64=0x^2+y^2-10 x-16 y+64=0 কেন্দ্র (5,8)(5,8) ব্যাসার্ধ =(−5)2+(−8)2−64=25+64−64=5=\sqrt{(-5)^2+(-8)^2-64}=\sqrt{25+64-64}=5 কেন্দ্র (5,8) থেকে 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটির লম্ব দূরত্ব =∣3×5−4×8−8∣32+(−4)2=\frac{|3 \times 5-4 \times 8-8|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} =∣−25∣5=5=\frac{|-25|}{5}=5= বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ∴3x−4y−8=0\therefore 3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}-8=0 সরলরেখাটি প্রদত্ত বৃত্তের একটি স্পর্শক। (দেখানো হলো) আবার 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 \qquad (i) রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ, 4x+3y+k=0……(ii)4 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+\mathrm{k}=0 \ldots \ldots (ii) (ii) নং (5,8)(5,8) বিন্দুগামী। 4×5+3×8+k=0∴k=−444 \times 5+3 \times 8+\mathrm{k}=0 \quad \therefore \mathrm{k}=-44 k\mathrm{k} এর মান (ii) নং এ বসিয়ে, 4x+3y−44=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-44=0
…...(iii)(i)\ldots... (iii) (i)
নং কে 3 দ্বারা এবং (iii) নং কে 4 দ্বারা গুণ করে যোগ করি, 9x−12y−24+16x+12y−176=09 \mathrm{x}-12 \mathrm{y}-24+16 \mathrm{x}+12 \mathrm{y}-176=0 বা, 25x=200∴x=825 \mathrm{x}=200 \therefore \mathrm{x}=8 x\mathrm{x} এর মাन (i) নং এ বসিয়ে পাই, 3×8−4y−8=03 \times 8-4 \mathrm{y}-8=0 বা, 4y=16∴y=44 \mathrm{y}=16 \therefore \mathrm{y}=4 ∴\therefore স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক (8,4)(8,4) (Ans.)
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর

কেন্দ্র (0,−1)(0,-1) হতে 4x+3y+8=04 x+3 y+8=0 সরলরেখার লম্ব দূরত্ব =∣4×0+3(−1)+8∣42+32=∣8−3∣5=1=\frac{|4 \times 0+3(-1)+8|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|8-3|}{5}=1 যেহেতু প্রদত্ত সরলরেখাটি (0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক সুতরাং বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 1 ∴\therefore বৃত্তের সমীকরণ, (x−0)2+(y+1)2=12(\mathrm{x}-0)^2+(\mathrm{y}+1)^2=1^2 বা, x2+y2+2y+1=1x^2+y^2+2 y+1=1 ∴x2+y2+2y=0\therefore x^2+y^2+2 y=0 (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো