Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

মূলবিন্দু থেকে বৃত্তটির অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: 'খ' হতে, বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র [গণিত] বৃত্তের ব্যাসার্ধ [গণিত] ধরি, মূলবিন্দু গামী অপর স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] . (i) [গণিত] কেন্দ্র থেকে (ii) নং রেখার লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ [(i) নং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক] [গণিত] এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] ইহা [গণিত] অক্ষকে অর্থাৎ চিত্রের xx [গণিত] রেখাকে নির্দেশ করে। এবং [গণিত] [ইহাই নির্ণেয় অপর স্পর্শকের সমীকরণ] Ans.

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

মূলবিন্দু থেকে বৃত্তটির অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

উত্তর

বৃত্তের সমীকরণ, r−2cos⁡θ+4sin⁡θ=0\mathrm{r}-2 \cos \theta+4 \sin \theta=0 ⇒r2−2rcos⁡θ+4rsin⁡θ=0r\Rightarrow \mathrm{r}^{2}-2 \mathrm{r} \cos \theta+4 \mathrm{r} \sin \theta=0 \mathrm{r} ⇒x2+y2−2x+4y=0[r2=x2+y2,x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ]\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2 x+4 y=0\left[r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r \cos \theta, y=r \sin \theta\right] ∴\therefore বৃত্তের কেন্দ্র (−2−2,4−2)≡(1,−2)\left(\frac{-2}{-2}, \frac{4}{-2}\right) \equiv(1,-2)

উত্তর

চিত্র হতে, বৃত্তটি x\mathrm{x} অক্ষকে স্পশ্শ করে এবং A(1,2)\mathrm{A}(1,2) ও B(3,2)\mathrm{B}(3,2) বিন্দুগামী। ধরি, বৃত্তের সমীকরণ x2+y2+2gx+2fy+c=0…...(i)x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \ldots . . .(i) বৃত্তটি x\mathrm{x} অক্ষকে স্পর্শ করনে, g2=c..... (ii) \mathrm{g}^{2}=\mathrm{c} . . . . . \text{ (ii) } (i) নং A(1,2)\mathrm{A}(1,2) বিন্দুগামী হলে, 12+22+2⋅g⋅1+2⋅f⋅1+c=01^{2}+2^{2}+2 \cdot g \cdot 1+2 \cdot f \cdot 1+c=0 =2g+4f+c+5=0= 2 g+4 f+c+5=0 ∴2g+4f+c=−5…(iiii)\therefore 2 g+4 f+c=-5 \ldots (iiii) (i)নং B(3,2)\mathrm{B}(3,2) বিন্দুগামী হলে, 32+22+2⋅g⋅3+2⋅f⋅3+c=03^{2}+2^{2}+2 \cdot g \cdot 3+2 \cdot f \cdot 3+c=0 ⇒13+6g+4f+c=0\Rightarrow 13+6 g+4 f+c=0 6g+4f+c=−13....…(iv)6 g+4 f+c=-13 . . . . \ldots (iv) (iii)-(iv) করে, 6 g−2 g+4f−4f+c−c=−13+56 \mathrm{~g}-2 \mathrm{~g}+4 \mathrm{f}-4 \mathrm{f}+\mathrm{c}-\mathrm{c}=-13+5 =>4g=−8=>4 g=-8 ∴g=−2\therefore g=-2 (ii) হতে, g2=cg^{2} =c ⇒c=(−2)2\Rightarrow c =(-2)^{2} = 4 (iii) হতে, 2.(−2)+4f+4=−52 .(-2)+4 f+4=-5 ⇒−4+4f+4=−5\Rightarrow -4+4 f+4=-5 ⇒4f=−5\Rightarrow 4 f=-5 ∴f=−54\therefore f=-\frac{5}{4} g, f, c এর মান (i) নং এ বসিয়ে, x2+y2+2(−2)x+2⋅(−54)y+4=0x^{2}+y^{2}+2(-2) x+2 \cdot\left(-\frac{5}{4}\right) y+4=0 =4x2+4y2+(−4)⋅4x−10y+4⋅4=0= 4 x^{2}+4 y^{2}+(-4) \cdot 4 x-10 y+4 \cdot 4=0 ∴4x2+4y2−16x−10y+16=0\therefore 4 x^{2}+4 y^{2}-16 x-10 y+16=0 Ans.

উত্তর

'খ' হতে, বৃত্তের সমীকরণ, 4x2+4y2−16x−10y+16=04 x^{2}+4 y^{2}-16 x-10 y+16=0 ∴x2+y2−4x−52y+4=0\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-4 \mathrm{x}-\frac{5}{2} \mathrm{y}+4=0 ∴\therefore বৃত্তের কেন্দ্র (−4−2,−52−2)≡(2,54)\left(\frac{-4}{-2}, \frac{-\frac{5}{2}}{-2}\right) \equiv\left(2, \frac{5}{4}\right) বৃত্তের ব্যাসার্ধ =g2+f2−c=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c} =(−2)2+(−54)2−4[ g=−2,f=−54,c=4]=\sqrt{(-2)^{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}-4}\left[\mathrm{~g}=-2, \mathrm{f}=-\frac{5}{4}, \mathrm{c}=4\right] =54=\frac{5}{4} ধরি, মূলবিন্দু গামী অপর স্পর্শকের সমীকরণ, y=mx....y=m x . . . .. (i) ⇒mx−y=0…….. (ii) \Rightarrow \mathrm{mx}-\mathrm{y}=0 \ldots \ldots . . \text{ (ii) } কেন্দ্র থেকে (ii) নং রেখার লম্ব দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ [(i) নং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক] ⇒∣m⋅2(+54)∣m2+(−1)2=54\Rightarrow \frac{\left|\mathrm{m} \cdot 2\left(+\frac{5}{4}\right)\right|}{\sqrt{\mathrm{m}^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{5}{4} ⇒(2 m−54m2+1)2=(54)2\Rightarrow \left(\frac{2 \mathrm{~m}-\frac{5}{4}}{\sqrt{\mathrm{m}^{2}+1}}\right)^{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2} ⇒(2 m)2−2⋅2 m⋅54+(54)2 m2+1=2516\Rightarrow \frac{(2 \mathrm{~m})^{2}-2 \cdot 2 \mathrm{~m} \cdot \frac{5}{4}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}}{\mathrm{~m}^{2}+1}=\frac{25}{16} ⇒16(4m2−5m+2516)=25(m2+1)\Rightarrow 16\left(4 m^{2}-5 m+\frac{25}{16}\right)=25\left(m^{2}+1\right) ⇒64m2−80m+25−25m2−25=0\Rightarrow 64 m^{2}-80 m+25-25 m^{2}-25=0 ⇒39m2−80m=0\Rightarrow 39 m^{2}-80 m=0 ⇒m(39m−80)=0\Rightarrow \mathrm{m}(39 m-80)=0 ∴m=0,m=8039\therefore m=0, m=\frac{80}{39} M\mathrm{M} এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, y=0\mathrm{y}=0 ইহা x\mathrm{x} অক্ষকে অর্থাৎ চিত্রের xx′xx^{\prime} রেখাকে নির্দেশ করে। এবং y=8039\mathrm{y}=\frac{80}{39} ⇒80x=39y\Rightarrow 80 \mathrm{x}=39 \mathrm{y} ∴80x−39y=0\therefore 80 \mathrm{x}-39 \mathrm{y}=0 [ইহাই নির্ণেয় অপর স্পর্শকের সমীকরণ] Ans.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরএকটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামউদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মধ্যবিন্দুর ভুজ [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এ[গণিত] বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।বৃত্তটির [গণিত] স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব।[গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করেদেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, [গণিত] রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন