Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বিন্দু হতে উদ্দীপকের ১ম বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: এখানে, [গণিত] ... (1) ধরি, [গণিত] বিন্দু হতে (1) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল, [গণিত] স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] .. (2) (1) নং বৃত্তটির কেন্দ্র [গণিত] এবং ব্যাসার্ধ, [গণিত] কেন্দ্র [গণিত] থেকে (2) নং স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান। [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] m এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] হলে, স্পর্শকের সমীকরণ [গণিত] .. (3) এবং [গণিত] হলে, স্পর্শকের সমীকরণ [গণিত] বা, [গণিত] . (4) এখন (3) নং ও (4) নং রেখার উপর লম্বই হবে নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ, (3) নং রেখার উপর লম্বের সমীকরণ [গণিত] ইহা (-3,2) বিন্দুগামী। [গণিত] এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] আবার (4) নং রেখার উপর লম্বের সমীকরণ, [গণিত] ... (6) (6) নং রেখাটি [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এর মান (6) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] এবং অভিলম্বের সমীকরণ, [গণিত] , [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

বিন্দু হতে উদ্দীপকের ১ম বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শক এবং অভিলম্বের স…

উদ্দীপক

বৃত্তের সমীকরণ : x2+y2+6x+2y+6=0x^{2}+y^{2}+6 x+2 y+6=0 ……..(i)\ldots\ldots.. (i) x2+y2+8x+y+10=0x^{2}+y^{2}+8 x+y+10=0 ……..(ii)\ldots\ldots.. (ii)

Chittagong · 2023

উত্তর

এখানে, x2+y2−4x−6y=0x^{2}+y^{2}-4 x-6 y=0 বৃত্তটিকে x2+y2+2gx+2fy+c=0x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 এর সাথে তুলনা করে পাই, 2 g=−42 \mathrm{~g}=-4 বা, g=−2\mathrm{g}=-2 2f=−62 f=-6 বা, f=−3f=-3 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)≡(2,3)(-\mathrm{g},-f) \equiv(2,3) এখন (2,3)(2,3) কেন্দ্র এবং 3 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ (x−2)2+(y−3)2=32(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=3^{2} বা, x2−4x+4+y2−6y+9=9x^{2}-4 x+4+y^{2}-6 y+9=9 ∴x2+y2−4x−6y+4=0\therefore \quad x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+4=0 ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তদ্বয় : x2+y2+6x+2y+6=0x^{2}+y^{2}+6 x+2 y+6=0 ………(1)\ldots\ldots\ldots (1) এরং x2+y2+8x+y+10=0x^{2}+y^{2}+8 x+y+10=0
……….(2)(1)\ldots\ldots\ldots. (2) (1)
ও (2) নং বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ, x2+y2+8x+y+10−(x2+y2+6x+2y+6)=0x^{2}+y^{2}+8 x+y+10-\left(x^{2}+y^{2}+6 x+2 y+6\right)=0 বা, 2x−y+4=02 \mathrm{x}-\mathrm{y}+4=0
……..(3)(1)\ldots\ldots.. (3) (1)
ও (3) নং এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্ত : x2+y2+6x+2y+6+k(2x−y+4)=0x^{2}+y^{2}+6 x+2 y+6+k(2 x-y+4)=0 ……...(4)\ldots\ldots... (4) বা, x2+y2+(6+2k)x+(2−k)y+(6+4k)=0x^{2}+y^{2}+(6+2 k) x+(2-k) y+(6+4 k)=0 কেন্দ্র (−6−2k2,−2+k2)\left(\frac{-6-2 \mathrm{k}}{2}, \frac{-2+\mathrm{k}}{2}\right) কেন্দ্র (3) নং রেখার উপর অবস্থিত হলে, 2.−6−2k2−−2+k2+4=02.\frac{-6-2 k}{2}-\frac{-2+k}{2}+4=0 বা, −6−2k+2−k2+4=0-6-2 \mathrm{k}+\frac{2-\mathrm{k}}{2}+4=0 বা, −12−4k+2−k+8=0-12-4 \mathrm{k}+2-\mathrm{k}+8=0 বা, −5k−2=0-5 \mathrm{k}-2=0 বা, 5k=−25 \mathrm{k}=-2 বা, k=−25\mathrm{k}=-\frac{2}{5} (4) নং সমীকরণে k=−25\mathrm{k}=-\frac{2}{5} বসিয়ে পাই, x2+y2+6x+2y+6+−25(2x−y+4)=0x^{2}+y^{2}+6 x+2 y+6+\frac{-2}{5}(2 x-y+4)=0 বা, 5x2+5y2+30x+10y+30−4x+2y−8=05 x^{2}+5 y^{2}+30 x+10 y+30-4 x+2 y-8=0 বা, 5x2+5y2+26x+12y+22=05 x^{2}+5 y^{2}+26 x+12 y+22=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, 5x2+5y2+26x+12y+22=05 x^{2}+5 y^{2}+26 x+12 y+22=0.

উত্তর

এখানে, x2+y2+6x+2y+6=0x^{2}+y^{2}+6 x+2 y+6=0 ……...(1)\ldots\ldots... (1) ধরি, (−3,2)(-3,2) বিন্দু হতে (1) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল, =m=m ∴\therefore স্পর্শকের সমীকরণ, y−2=m(x+3)y-2=m(x+3) বা, y=mx+3m+2y=m x+3 m+2 ∴mx−y+3 m+2=0\therefore \quad \mathrm{mx}-\mathrm{y}+3 \mathrm{~m}+2=0
……..(2)(1)\ldots\ldots.. (2) (1)
নং বৃত্তটির কেন্দ্র (−62,−22)≡(−3,−1)\left(-\frac{6}{2},-\frac{2}{2}\right) \equiv(-3,-1) এবং ব্যাসার্ধ, r=(−3)2+(−1)2−6=10−6=4=2\mathrm{r}=\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}-6}=\sqrt{10-6}=\sqrt{4}=2 কেন্দ্র (−3,−1)(-3,-1) থেকে (2) নং স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান। ∴∣−3m+1+3m+2∣m2+(−1)2=2\therefore \frac{|-3 m+1+3 m+2|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=2 বা, ∣3∣m2+1=2\frac{|3|}{\sqrt{m^{2}+1}}=2 বা, 2m2+1=∣3∣2 \sqrt{\mathrm{m}^{2}+1}=|3| বা, 4(m2+1)=94\left(m^{2}+1\right)=9 বা, 4 m2+4=94 \mathrm{~m}^{2}+4=9 বা, 4 m2=9−44 \mathrm{~m}^{2}=9-4 বা, m2=54\mathrm{m}^{2}=\frac{5}{4} ∴m=±52\therefore \quad \mathrm{m}= \pm \frac{\sqrt{5}}{2} m এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, m=52\mathrm{m}=\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, স্পর্শকের সমীকরণ 5x−2y+35+4=0\sqrt{5} x-2 y+3 \sqrt{5}+4=0 ……..(3)\ldots\ldots.. (3) এবং m=−52m=-\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, স্পর্শকের সমীকরণ −52x−y−352+2=0-\frac{\sqrt{5}}{2} x-y-3 \frac{\sqrt{5}}{2}+2=0 বা, 5x+2y+35−4=0\sqrt{5} \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \sqrt{5}-4=0 …….(4)\ldots\ldots. (4) এখন (3) নং ও (4) নং রেখার উপর লম্বই হবে নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ, (3) নং রেখার উপর লম্বের সমীকরণ 2x+5y+k=0……(5)2 \mathrm{x}+\sqrt{5} \mathrm{y}+\mathrm{k}=0 \ldots \ldots (5) ইহা (-3,2) বিন্দুগামী। ∴−6+25+k=0∴k=6−25\therefore \quad-6+2 \sqrt{5}+\mathrm{k}=0 \quad \therefore \mathrm{k}=6-2 \sqrt{5} k\mathrm{k} এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 2x+5y+6−25=02 x+\sqrt{5} y+6-2 \sqrt{5}=0 আবার (4) নং রেখার উপর লম্বের সমীকরণ, 2x−5y+k=02 x-\sqrt{5} y+k=0
…...(6)(6)\ldots... (6) (6)
নং রেখাটি (−3,2)(-3,2) বিন্দুগামী ∴−6−25+k=0\therefore \quad-6-2 \sqrt{5}+\mathrm{k}=0 ∴k=6+25\therefore \quad k=6+2 \sqrt{5} k\mathrm{k} এর মান (6) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 2x−5y+6+25=02 x-\sqrt{5} y+6+2 \sqrt{5}=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, 5x−2y+35+4=0,5x+2y+\sqrt{5} x-2 y+3 \sqrt{5}+4=0, \sqrt{5} x+2 y+ 35−4=03 \sqrt{5}-4=0 এবং অভিলম্বের সমীকরণ, 2x+5y+6−25=02 x+\sqrt{5} y+6-2 \sqrt{5}=0, 2x−5y+6+25=02 x-\sqrt{5} y+6+2 \sqrt{5}=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরএকটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামউদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মধ্যবিন্দুর ভুজ [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এ[গণিত] বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।বৃত্তটির [গণিত] স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব।[গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করেদেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, [গণিত] রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন