Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

(ii) নং রেখার উপর লম্ব এবং (i) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] সরলরেখার সমীকরণ, [গণিত] প্রথমে (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি: সমীকরণটি হতে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] ; আর [গণিত] বৃত্তটির কেন্দ্র [গণিত] এবং ব্যাসার্ধ, [গণিত] এখন, (ii) নং রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ: [গণিত] যেহেতু (iv) নং রেখাটি (i) নং বৃত্তের একটি স্পর্শক, সেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র [গণিত] হতে (iv) নং রেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ ( [গণিত] ) এর সমান হবে। শর্তমতে, [গণিত] পরমমান তুলে দিলে আমরা পাই, [গণিত] (+) চিহ্ন নিয়ে পাই: [গণিত] (-) চিহ্ন নিয়ে পাই: [গণিত] এখন, [গণিত] এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: [গণিত] হলে, সমীকরণটি হবে [গণিত] হলে, সমীকরণটি হবে [গণিত] নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ [গণিত] এবং [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

(ii) নং রেখার উপর লম্ব এবং (i) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে এরূপ সরলরেখার …

উদ্দীপক

x2+y2+6x−6y−31=0x^{2}+y^{2}+6 x-6 y-31=0 ……..(i)\ldots\ldots.. (i) 4x+3y+7=04 x+3 y+7=0 ……..(ii)\ldots\ldots.. (ii) 2x−5y+1=02 x-5 y+1=0 ……..(iii)\ldots\ldots.. (iii)

Jessore · 2023

উত্তর

এখানে, r=cos⁡θ−sin⁡θr=\cos \theta-\sin \theta বা, r2=rcos⁡θ−rsin⁡θr^{2}=r \cos \theta-r \sin \theta বা, x2+y2=x−y[x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx^{2}+y^{2}=x-y\left[x=r \cos \theta, y=r \sin \theta\right. এবং r=x2+y2]\left.r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right] বা, x2+y2−x+y=0x^{2}+y^{2}-x+y=0
……..(i)(1)\ldots\ldots.. (i) (1)
নং কে x2+y2+2gx+2fy+c=0x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 এর সাথে তুলনা করে পাই, 2 g=−12 \mathrm{~g}=-1 বা, g=−12\mathrm{g}=-\frac{1}{2} 2f=12 f=1 বা, f=12f=\frac{1}{2} ∴\therefore কেন্দ্র (−g,−f)≡(12,−12)(-\mathrm{g},-f) \equiv\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) নির্ণেয় বৃত্তটির কেন্দ্র (12,−12)\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).

উত্তর

এখানে, 4x+3y+7=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+7=0 ….(i)\ldots. (i) 2x−5y+1=02 \mathrm{x}-5 \mathrm{y}+1=0
…….(ii)(i)\ldots\ldots. (ii) (i)
নং ও (ii) নং রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ, 4x+3y+742+32=±2x−5y+122+(−5)2\frac{4 x+3 y+7}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}= \pm \frac{2 x-5 y+1}{\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}} বা, 4x+3y+75=±2x−5y+129\frac{4 x+3 y+7}{5}= \pm \frac{2 x-5 y+1}{\sqrt{29}} বা, 4x+3y+7=±(1029x−2529y+529)4 x+3 y+7= \pm\left(\frac{10}{\sqrt{29}} x-\frac{25}{\sqrt{29}} y+\frac{5}{\sqrt{29}}\right) এখানে, a1a2+b1b2=4×2+3×(−5)=−7<0a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=4 \times 2+3 \times(-5)=-7<0 সুতরাং ঋণাত্মক চিহ্ন হতে প্রাপ্ত সমীকরণটি হবে স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ। বা, 4x+3y+7=−(1029x−2529y+529)4 x+3 y+7=-\left(\frac{10}{\sqrt{29}} x-\frac{25}{\sqrt{29}} y+\frac{5}{\sqrt{29}}\right) বা, 4x+3y+7+1029x−2529y+529=04 x+3 y+7+\frac{10}{\sqrt{29}} x-\frac{25}{\sqrt{29}} y+\frac{5}{\sqrt{29}}=0 বা, (429+10)x+(329−25)y+729+5=0(4 \sqrt{29}+10) x+(3 \sqrt{29}-25) y+7 \sqrt{29}+5=0 নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, (429+10)x+(329−25)y+729+5=0(4 \sqrt{29}+10) x+(3 \sqrt{29}-25) y+7 \sqrt{29}+5=0

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+6x−6y−31=0……(i)x^2 + y^2 + 6x - 6y - 31 = 0 \dots \dots (i) সরলরেখার সমীকরণ, 4x+3y+7=0……(ii)4x + 3y + 7 = 0 \dots \dots (ii) প্রথমে (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি: সমীকরণটি হতে পাই, 2g=6⇒g=32g = 6 \Rightarrow g = 3 এবং 2f=−6⇒f=−32f = -6 \Rightarrow f = -3; আর c=−31c = -31 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(−3,3)(-g, -f) = (-3, 3) এবং ব্যাসার্ধ, r=g2+f2−cr = \sqrt{g^2 + f^2 - c} =(3)2+(−3)2−(−31)= \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 - (-31)} =9+9+31= \sqrt{9 + 9 + 31} =49=7= \sqrt{49} = 7 এখন, (ii) নং রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ: 3x−4y+k=0……(iv)3x - 4y + k = 0 \dots \dots (iv) যেহেতু (iv) নং রেখাটি (i) নং বৃত্তের একটি স্পর্শক, সেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র (−3,3)(-3, 3) হতে (iv) নং রেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ (77) এর সমান হবে। শর্তমতে, ∣3(−3)−4(3)+k∣32+(−4)2=7\frac{\vert{}3(-3) - 4(3) + k\vert{}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 7 ⇒∣−9−12+k∣9+16=7\Rightarrow \frac{\vert{}-9 - 12 + k\vert{}}{\sqrt{9 + 16}} = 7 ⇒∣k−21∣5=7\Rightarrow \frac{\vert{}k - 21\vert{}}{5} = 7 ⇒∣k−21∣=35\Rightarrow \vert{}k - 21\vert{} = 35 পরমমান তুলে দিলে আমরা পাই, k−21=±35k - 21 = \pm 35 (+) চিহ্ন নিয়ে পাই: k−21=35⇒k=35+21⇒k=56k - 21 = 35 \Rightarrow k = 35 + 21 \Rightarrow k = 56 (-) চিহ্ন নিয়ে পাই: k−21=−35⇒k=−35+21⇒k=−14k - 21 = -35 \Rightarrow k = -35 + 21 \Rightarrow k = -14 এখন, kk এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: k=56k = 56 হলে, সমীকরণটি হবে 3x−4y+56=03x - 4y + 56 = 0 k=−14k = -14 হলে, সমীকরণটি হবে 3x−4y−14=03x - 4y - 14 = 0 নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ 3x−4y+56=03x - 4y + 56 = 0 এবং 3x−4y−14=03x - 4y - 14 = 0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরএকটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামউদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মধ্যবিন্দুর ভুজ [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এ[গণিত] বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।বৃত্তটির [গণিত] স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব।[গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করেদেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, [গণিত] রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন