Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রত্যেকবার যেকোনো 4 টি বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে (i) বাছাই এবং (ii) সাজানো যেতে পারে?

উত্তর: (i) DEGREE শব্দটিতে ৮টি বর্ণের মধ্যে 3 টি E রয়েছে। শব্দটি থেকে [গণিত] টি বর্ণ নিম্নলিখিত উপায়ে বাছাই করা যায়। 1. 3 টি E ও 3 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে 1 টি। 2. 2 টি E ও 3 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে 2 টি। 3. 4টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ। ∴ মোট বাছাই সংখ্যা [গণিত] (ii) আবার, 1. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় [গণিত] উপায়ে। 2. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় [গণিত] উপায়ে। 3. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় [গণিত] উপায়ে। ∴ মোট সাজানো যায় [গণিত] উপায়ে নির্ণেয় প্রত্যেকবারে 4টি বর্ণ নিয়ে 7 প্রকারে বাছাই এবং 72 উপায়ে সাজানো যাবে।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রত্যেকবার যেকোনো 4 টি বর্ণ …

উদ্দীপক

দৃশ্যকম্ব-১ : f(x)=tan⁡−1(11+x+x2)f(\mathrm{x})=\tan^{-1}\left(\frac{1}{1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^2}\right) দৃশ্যকক্ষ-২ : 'DEGREE′DEGREE^{\prime}

উত্তর

বামপক্ষ =nCr+nCr−1={ }^n C_r+{ }^n C_{r-1} \begin{aligned} & =\frac{n!}{r!(n-r}!}+\frac{n!}{(r-1}!(n-r+1)!} \\ & =\frac{n!}{r(r-1}!(n-r)!}+\frac{n!}{(r-1}!(n-r+1)(n-r)!} \\ & =\frac{n!}{(r-1}!(n-r)!}\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r+1}\right\} \\ & =\frac{n!}{(r-1}!(n-r)!} \times \frac{n+1}{r(n-r+1)} \\ & =\frac{(n+1)(n+1-1)!}{(n-r+1}(n-r)!r(r-1)!} \\ & =\frac{(n+1)!}{(n-r+1}!r!} \\ & =\frac{(n+1)!}{r!\{(n+1)-r\}!}\end{aligned} =n+1Cr=={ }^{n+1} C_r= ডানপক্ষ ∴nCr+nCr−1=n+1Cr\therefore \quad{ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡−1(11+x+x2)f(x)=\tan^{-1}\left(\frac{1}{1+x+x^2}\right) ∴f(0)=tan⁡−1(11+0+02)=tan⁡−1(1)\f(1)=tan⁡−1(11+1+12)=tan⁡−1(13)\f(2)=tan⁡−1(11+2+22)=tan⁡−1(17)\begin{aligned} \therefore \quad f(0) & =\tan^{-1}\left(\frac{1}{1+0+0^2}\right)=\tan^{-1}(1) \f(1) & =\tan^{-1}\left(\frac{1}{1+1+1^2}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \f(2) & =\tan^{-1}\left(\frac{1}{1+2+2^2}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\end{aligned} বামপক্ষ =f(0)+2f(1)+f(2)=f(0)+2 f(1)+f(2) =tan⁡−11+2tan⁡−1(13)+tan⁡−1(17)=tan⁡−11+tan⁡−1{2131−(13)2}+tan⁡−1(17)=π4+tan⁡−1(239−19)+tan⁡−1(17)=π4+tan⁡−1(23×98)+tan⁡−1(17)=π4+tan⁡−134+tan⁡−117=π4+tan⁡−1(34+171−34⋅17)=π4+tan⁡−1(21+42828−328)=π4+tan⁡−1(25282528)\begin{aligned} & =\tan^{-1} 1+2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ & =\tan^{-1} 1+\tan^{-1}\left\{\frac{2 \frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}\right\}+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ & =\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9-1}{9}}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ & =\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right) \\ & =\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} \frac{3}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{7}=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}}\right) \\ & =\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{21+4}{28}}{\frac{28-3}{28}}\right)=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}\right)\end{aligned} =π4+tan⁡−1(1)=π4+π4=2⋅π4=π2==\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=2 \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}= ডানপক্ষ ∴f(0)+2f(1)+f(2)=π2\therefore f(0)+2 f(1)+f(2)=\frac{\pi}{2}. (দেখানো হলো)

উত্তর

(i) DEGREE শব্দটিতে ৮টি বর্ণের মধ্যে 3 টি E রয়েছে। শব্দটি থেকে 4\mathbf{4} টি বর্ণ নিম্নলিখিত উপায়ে বাছাই করা যায়। 1. 3 টি E ও 3 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে 1 টি। 2. 2 টি E ও 3 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে 2 টি। 3. 4টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ। ∴ মোট বাছাই সংখ্যা =1×3C1+3C2×1+4C4=3+3+1=7=1 \times{ }^3 \mathrm{C}_1+{ }^3 \mathrm{C}_2 \times 1+{ }^4 \mathrm{C}_4=3+3+1=7 (ii) আবার, 1. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় =3×4!3!=3×4=12=3 \times \frac{4!}{3!}=3 \times 4=12 উপায়ে। 2. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় =3×4!2!=3×12=36=3 \times \frac{4!}{2!}=3 \times 12=36 উপায়ে। 3. উপায়ের ক্ষেত্রে সাজানো যায় =1×4!=24=1 \times 4!=24 উপায়ে। ∴ মোট সাজানো যায় =12+36+24=72=12+36+24=72 উপায়ে নির্ণেয় প্রত্যেকবারে 4টি বর্ণ নিয়ে 7 প্রকারে বাছাই এবং 72 উপায়ে সাজানো যাবে।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরএকটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামউদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মধ্যবিন্দুর ভুজ [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এ[গণিত] বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।বৃত্তটির [গণিত] স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব।[গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করেদেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, [গণিত] রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন